Закатов Вища геодезія 1

Щ

мими линиями, г) масштаб изображения по осевому меридиану равен единице. Пусть на рис. 76: ОЕ — зкватор зллипсоида, а РО — осевой меридиан.

Дана точка А, имеющия геодезические координати — широту В и долготу L; точка А х расположена на бесконечно малом расстоянии от точки А в произволь-

с широтой В.

Пусть прямне ОхжОу — ось абсцисс и ось ординат соответственно (рис. 77), расположеннне перпендикулярно одна к другой, суть изображения зкватора

Рис. 78

и осевого меридиана на плоскости. Пусть точка а — изображение на плоскости точки А; точка ах, находящаяся на бесконечно малом расстоянии от точки а, соответствует точке А х. Обозначим прямоугольнне координати точки а на пло­

как злементарннй, тогда найдем, что А ХС равно злементу дуги меридиана MdB,

170

или

i = V = T -

Уравнение (37.6) вьіражает масштаб изображения для произвольного закона изображения. Для обеспечения конформности изображения масштаб т по всем направленням должен бить одинаков и зависеть только от координат данной точки, но не от направлення злемента ds. Следовательно, вид функции, определяющий зависимость между координатами на плоскости и геодезическими координатами на зллипсоиде, должен бить таков, чтобьі внражение

(37.6) для масштаба не зависело от отношения дифференциалов ^или-^у-,

которне определяют направление отрезков dS или ds.

В теории функции комплексного переменного доказивается, что Р + iQ только тогда является аналитической функцией комплексного переменного

Согласно изложенному вшше свойству функций комплексного переменного, для того чтоби масштаб изображения не зависел от направлення отрезка ds

или от ^|, необходимо, чтоби х + іу било некоторой аналитической функцией

от q + il или х — іу — аналитической функцией от (q — il), т. е. чтоби

Справедливость и достаточность последнего условия можно еще доказать следующим образом. Если имеет место условие (37.8), то

Следовательно, внражение (37.11) имеет место, если поставлено условие (37.8). На оснований формул (37.9) и (37.11) внражение (37.7) примет вид

171

Производньїе /' (q -{- il) и /' (q — il) при наличии условий (37.8) и (37.10) зависят только от координат х, у или q, І, но не зависят от их дифференциалов, позтому не зависят от них и вьіражения (37.12) и (37.7), что и требовалось до­ казать.

Условие (37.8) обеспечит конформность изображения при любом произвольном виде аналитической функции /.

Для получения конформного изображения зллипсоида на плоскости по Гауссу вид функции / определяют путем введення следующих дополнительньїх

Разложим / (q + il) в ряд Тейлора, предполагая, что величина іі сравнительно невелика. Будем иметь

Приравнивая порознь действительньїе и мнимьіе части в полученном вира­ жений, находим в общем виде основньїе уравнения, о п р е д е л я ю щ и е з а к о н и з о б р а ж е н и я т о ч е к з л л и п с о и д а на п л о с к о с т и в проекции Гаусса:

Очевидно, чем больше Z, тем больше должно бшть удержано членов вуравнениях (37.16) и (37.17), т. е. чем больше будут искажения на краях зоньї, тем учет зтих искажений сложнее.

Как указьівалось вьіше, в настоящее время наибольшая протяженность зон по долготе принята 6°. Таким образом, удаление пунктов от осевого меридиана по долготе не превосходит 3°, позтому последующие рабочие формули для вичислений при применении проекции Гаусса — Крюгера и рассчитанн

§ 38. Формульї для определения конформних плоских координат х н у

по геодезическим координатам В и X

Вьівод рабочих формул для внчисления координат Гаусса — Крюгера по геодезиче ким координатам, очевидно, сводится к нахождению производннх

Так как dX — дифференциал дуги меридиана, то

dX — М dB,

или, учитнвая формули (5.9) и (5.10), можно написать

Применяя правило дифференцирования сложной функции, пишем в общем виде внражение для второй производной

dB

2V d V = — 2e'2 cos В sin В dB, V dV — — e*2 cos2 Big В dB,

173

или

Пользуясь формулами (37.16), (37.17) и (38.9), находим главньїе члени виражений для х н у как функций геодезических координат:

х — Х-\— — 1"%sin В cos В + ..

Вираження (38.10) для х н у , полученние без учета второго и последующих членов рядов (37.16) и (37.17), для точних вичислений непригоднн. Для получения формул, позволяющих (вести внчисления требуемой в триангуляции

точности, необходимо вичислить производнне] до шестого порядка включи-

тельно и после подстановки их значений в формули (37.16) и (37.17) получить вираження для х н у .

Не приводя викладок, связанннх с получением указанннх производних внсшего порядка, и последующих преобразований при подстановке зтих про-

174

§ 39. Формульї для вьічисления геодезических координат

по координатам Гаусса — Крюгера

Вьівод настоящих формул дадим по методу, предложенному Г. В. Багратуни *.

Решая уравнения в общем виде относительно q -f- іі и q — іі, получаем

q-\~И—F (х+ іу)

(39.1)

q — и —F (х— іу)

Применяя ряд Тейлора к (39.1), находим

Ч ІІ- F (х+іу) ^F(x) + iyF1 (х) —j - F n (х) —

- i f F m (x) + ^ F l V {x) + . . .

* Труди МИИГАиК. Вші. 24, стр. 57—59.

175

С учетом поставленньїх условий уравнения (39.3) и (39.4) примут вид:

Далее вспомним, что

M d B

dq

A COS JO

M d B

УJ N cos В *

На оснований последнего в общем виде можем написать

в і = ц Ш -

Применяя ряд Тейлора и заменяя (q — qx), на оснований (39.6) полупаєм

Формульї (39.4) и (39.9) в общем виде решают задачу перехода от прямо-

176

близкую к точне а. Разности координат точек а и аг будут равнн dx и dy. Из еле­ ментарного треугольника ааха 2 (рис. 81) имеем

dx

причем щ находится из уравнения кривои aw, для которои, как для дуги па-

р ал л ел и , широта В должна бьіть принята постоянной величиной (можно взять

злементарннй треугольник, используя злементьі кривой an и прямой аЬ\ однако зто невьігодно, так как в зтом случае широту В нельзя считать по­

стоянной величиной, что усложнило бм последую щ ее дифференцирование).

dy а

У

Уравнение (40.1) можно переписать так:

В результате дифференцирования формул (38.11) и (38.12) по І с учетом всех членов и после подстановки в (40.2) получим

178

в функции плоских координат получится путем заменьї в (40.5) І через прямоугольнне координатьі и заменьї аргумента В через В х. Последняя замена осуществляется путем предварительного разложения по строке Тейлора виражений:

§41. Формули для вьічисления масштаба изображения

Для получения формул масштаба изображения в функции геодезических координат согласно формулам (37.2) и (37.4) напишем