Закатов Вища геодезія 1

4. Переход от В 2 к В 2, т. е. вьічисление искомой широтьі второй точки по формуле (30.6).

5. Вьічисление долготьі второй точки.

В<2, ~ Вх-j-1\-

6. Переход от азимута а 2 г на шаре к обратному азимуту геодезической линии А 2.і на зллипсоиде по формуле (30.7).

О б р а т н а я г е о д е з и ч е с к а я з а д а ч а

Данн в качестве исходньїх координати двух точек. Требуется определить расстояние между ними, прямой и обратньїй азимути геодезической линии,

и вьічисление а, а г 2, а 2Л.

3.Вьічисление прямого и обратного азимутов геодезической линии на оснований формул (30.2) и (30.11).

4.Переход от о к s по формуле (16.13), которую перепишем, опустив

s4r]2 cos Ax. 2 tg Bx

--------------- ------------- p = Do

8 A 4

и имея в виду, что величина ~ приближенно представляет собой длину дуги

р

сечения первого вертикала, равную одной секунде в средних широтах 31 м, формулу (30.14) окончательно перепишем так:

140

Приведенньте формули и указанньїй порядок вичислений позволяют решать прямую и обратную геодезические задачи.

Предложение о практическом использовании формул настоящего пара­ графа для решения прямой и обратной геодезических задач сделано Г. В. Багратуни и опубликовано в Трудах МИИГАиК (вьш. 9, стр. 36—40); под его руководством составленн вспомогательнне таблицн для решения геодезических задач. В зтих таблицах приведенн (только в несколько иньїх обозначениях) величини lg к, иг, v2, р г, р 2. В упомянутой статье приведена таблица наибольших погрешностей внчисления азимутов и расстояний (при средней широте 55°), которая приводится здесь в сокращенном виде (табл. 13).

§ 31. Решение прямой геодезической задачи по методу Рунге — Кутта — Мерсона

Развитие и широкое применение современной внчислительной техники существенно расширили возможности практического использования различннх методов и математических формул решения вьічислительньїх геодезических задач. Те формули и способи, которне ранее, при прежних методах, били трудоемки и неудобни для вичислений, стали целесообразнн и зффективнн при использовании злектронно-внчислительних машин.

Приведем формули для решения прямой геодезической задачи Рунге — Кутта — Мерсона, внвод которнх основнвается на численном интегрировании

141

В2 = 49о00'40,236" + -у - (—1°10'24,508"— 4°54'15,816" —1°16'20,108") = 45°20'10,020*

L2 = 43°18'28,727" + (—2°04'17,622" — 7°43'37,160" —1°48'15,818") = 37°30'23,426#

А2 = 229°16'01,160" —180° + ~Y (—1°33'49",293"—5°40'13,788" — 1°17/00Д21'Г) = 45°00'29,548"

142

стольннх злектрических машинах для средних (умеренннх) расстояний до 300 км с ошибками порядна 0,003"—0,006". Для больших расстояний ошибки, естественно, будут больше.

В табл. 15 приводится пример на решение задачи по приведенннм формулам.

§ 32. Решение прямой и обратной задач методом хорд зллипсоида. Формули Молоденского

В основе рассмотренннх способов решения главной геодезической задачи Лвжит решение сфероидических треугольников, образованннх соответствующими кривими на поверхности зллипсоида (обнчно геодезическими линиями). Такои подход к решению задач приводит к применению бесконечннх рядов со сложной структурой; общий член зтих рядов остается неизвестннм. Таким образомй задача не получает строгого решения в замкнутой форме.

Решение главной геодезической задачи методом хорд заключается в замене сфероидических треугольников плоскими, образованннми хордами, соединяющими вершини треугольников. В зтом случае искомне величини будут определяться формулами замкнутого вида в злементарннх функциях.

Идея использования хорд и основаннне на ней методи решения геодезических задач били рассмотренн и исследованн еще в прошлом столетии, но практического применения не получили. В 1954 г. М. G. Молоденский обратил внимание на возможность и целесообразность использования в ряде случаев упомянутнх методов и разработал теорию решения геодезических задач с использованием хорд.

н Ниже будет дан вивод формул прямой и обратной геодезических задач, предполагая, что все исходнне даннне относятся к поверхности зллипсоида.

Принципиальная сторона зтого метода проста. Положение точек в геодези­ ческих внчислениях задается криволинейннми координатами В и L. По про­ стим и точним формулам переходим к системе прямоугольннх прямолинейннх пространственннх координат X, Y, Z. В зтой системе координат все задачи, ввязанньїе с определением взаимного положення точек, решаются в замкнутом виде, включая, конечно, прямую и обратную геодезические задачи. Обратннй переход от координат X, У, Z осуществляется точно так же, на основе тех же фо рмул.

143

Пусть имеем на поверхности зллипсоида вращения точки А и В с коорди­ натами: для точки А. . . В х и Ь х — в геодезической системе координат и Х х, У і, Z x — в системе прямоугольньїх прямолинейньїх координат; соответственно для точки В ... В 2, Ь 2 и Х 2, У 2, Z 2.

Зависимость между координатами вьіражается формулами:

X— N cos В cos L

У=• N cos В sin L

5і .2 — расстояние между точками А и В по прямой (хорде зллипсоида). Обозначая

cos а = 1,

При зтом принято, что плоскость XOZ совмещена с меридианом первой точки, т. е. L x = 0, а (Ь2 — Ь х) представляет разность долгот точек А и В.

Возведем уравнения (32.3), (32.4) и (32.5) в квадрат и сложим. Имея в виду,

где ф — угол между нормалями в точках А и В, определяемнй из вираження

144

ezxM

І —cos а = cos Вхcos z1%2 — —sin Вхsin zx 2cos A x 2; (32.8)

P

из треугольника M z xN

из треугольника M z xP

Определим азимут A x 2 прямой AB через геодезические координати ee концов.

Умножим (32.8) на sin В х и (32.10) на cos В х и образуем их разность, тогда получим

п cos Bx— l sin Вх= cos2 Вхsinzt 2 cos A lm2+ sin2 Вхsinz1 2 cos Лі. 2 =

Для вираження ctg A x 2 заменим в последнем виражений І, т и п согласно (32.3), (32.4) и (32.5). После преобразований получим

Формули (32.6), (32.14) и (32.15) принципиально решают задачу. При решении обратной геодезической задачи по зтим формулам непосредственно

Для получения внражения для разности широт умножим формулу (32.4)

тна —sin В г cosec Ь 2, а (32.5) на р cos В г и сложим.

Получим:

- -p - N x-p- cos Bx sin Bx ——Sx. 2 m1# 2sin Bxcosec L2 + slt 2 nx 2-p -co s B x. (32.18)

После преобразований

Заменим в полученной формуле Nx cos Bx из (32.16), т. e.

NxCosBx = mX' 2«i. 2 ctg Z2 —$X. 2^1.2

и внесем значення Z1-2 и т гл из (32.8) и (32.9).

,146

Внесем преобразования

—s m B xcoszx 2 C O S 5 1 + (1 — cos2 Bx) sin zx 2 cos Ax 2 =

= —COS Bx(sin BxCOSZ^ 2+ cos Bxsinzb 2 COS Alm2) -j-sinz^ 2 cos^4t 2 =

Нтобьі ознакомить читателя с иньїм, отличньїм от предьідущих, методическим подходом к решению главной геодезической задачи.

Способ Молоденского приводит к построению пространственной или «трехмерной» геодезии. Для атой цели вводится третья координата — висота нунктов над аллипсоидом Я; вираження для пространственннх координат имеют вид:

В заключение главьі отметим следующее.

При виборе методов и формул для решения геодезических задач необходимо брать такие, которьіе обеспечивали бьі заданную точность вичислений и требовали би наименьшего внчислительного труда. Рекомендовать єдиний, наиболее целесообразннй метод получения формул и единьїе формули для ре-

нительно коротких расстояниях, при более длинннх заменяется прямим путем решения задачи. То же самое следует сказать и о прямих методах решения задачи: будучи пригодннми для вичислений координат на большие расстояния, при уменьшении расстояний между пунктами зти методи не получают серьезного упрощения и уступают косвенним методам, формули которнх резко упрощаются при малих расстояниях, так как можно пренебрегать некоторьши поправочними членами. Но и в пределах каждого из двух •основних путей решения геодезической задачи, в зависимости от требуемой точности вичислений и наличия в распоряжении внчислителя вспомогательннх вичислительннх средств (таблиц и т. п.), при одних и тех же расстояниях могут бить принятн разньїе методи и формули.

Вичисление геодезических координат является одним из основних вопросов, рассматриваемнх в сфероидической геодезии; зту задачу не без основания назнвают главной геодезической задачей. Однако с введением системи прямоугольннх координат Гаусса — Крюгера производственное значение вопроса о решении геодезической задачи на зллипсоиде уменьшилось. В настоящее время координати пунктов триангуляции 2 класса и ниже внчисляют на плоскости •с применением соответствующих простих формул. Лишь при обработке три­ ангуляции 1 класса внчисления ведут в системе геодезических координат на поверхности зллипсоида. Однако знание методов решения прямой и обратной геодезических задач необходимо для каждого геодезиста независимо от его специализации и сфери производственной деятельности. Для специалистов, использующих результати геодезических и топографических работ, система прямоугольннх плоских координат может спитаться основной; для геодезиста же остается основной система геодезических координат на зллипсоиде. При реше­ нии основних научннх вопросов вьісшей геодезии все внчисления ВЬІПОЛНЯІОТСЯ на поверхности зллипсоида с применением геодезических координат.

Рассмотрим различнне способи контроля внчисления геодезических коор­ динат.

148