Закатов Вища геодезія 1

Г л а в а У

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЬІЕ ФОРМУЛЬІ

§ 33. Дифференциальние формули первого рода

После обработки триангуляции и вьічисления геодезических координат пунктов может вказаться, что н а ч а л ь н н е данньїе (длина и азимут исходной сторони, координати начального пункта), принятне при обработке, подлежат небольшим изменениям. 9то, естественно, внзнвает необходимость исправления всех внчисленннх широт, долгот и азимутов триангуляции. Конечно, можно заново решить треугольники и вичислить широти, долготн и азимути

Р

А

Рис. 63 Рис. 64

на основе нових исходннх данньїх, однако проще исправить координати пунк­ тов путем вьічисления поправок к ним.

Формули, внражающие поправки геодезических координат пунктов и ази­

Бнвают случаи, когда необходимо изменить параметри принятого рефе- ренц-зллипсоида. 9то может случиться при использовании старих триангуляций, которне относились в России к зллипсоидам Вальбека, Кларка, Бесселя, тогда как в настоящее время в CCGP принят зллипсоид Красовского. Кроме того, в связи с переходом к зллипсоиду Красовского возникает необходимость перевнчисления координат пунктов на зтот зллипсоид, так как в старих ката­ логах приведенн координати пунктов, вичисленние с использованием параметров зллипсоида Бесселя, которнй бнл принят в геодезических работах

СССР до 1942 г. Конечно, координати, отнесеннне к новому зллипсоиду, могут бить полученн путем перевнчисления координат пунктов с использованием нових значений параметров референц-зллипсоида. Однако и в зтом случае проще получить новьіе координати пунктов путем вьічисления и введення поправок

ц и а л ь н н м и ф о р м у л а м и в т о р о г о р о д а .

150

Виведем дифференциальньїе формульї первого рода.

Пусть в результате ранее вьіполненньїх вичислений полученьї геодезические координати конечних точек сторони триангуляции АВ (см. рис. 62), ее длина,

и длина линии АВ — на малне величини d A x 2 и ds соответственно. Найдем вираження для поправок в координати пункта В и в обратннй азимут Л 2 і» т. е. dB2, d b 2 и dA 2 хкак функции изменений dBx, d A x 2 и ds. Учитнвая, что d B x, d A x 2 и ds — малне величини, имеем:

чивать геодезическую линию ВА вокруг точки В до тех пор, пока она не пройдет через точку А г. Точка А переместится в положение А х. Перемещаем точку А х (в положение А г, сохраняя при атом длину линии А В , равной s. Тогда точка В переместится в положение В'х и, очевидно, А'В\ = s. Будем поворачивать ли­ нию А'В' вокруг точки А ' до тех пор, пока ее азимут не сделается равннм А х 2; при атом В[ переместится в положение В г. Очевидно, разность широт точек В и Вг получится

dBв2 , дВ2dBx dBx,

т. е. ато будет часть поправки dB2, обусловленная изменением широти точки А

151

а разность широт точек В г и В[ равна

М х dBі sin А Хш2 sin А г х

152

Полагая cos2 t — ї й cos2 І — 1, долучаєм

dt ~ dl sin B2+ tgZ cos B2 dB2.

Принимая B O внимание (33.8), (33.7) и (33.5), последнее уравнение примет

вид

на величину В В г = ds, причем широта начальной точки и азимут линии АВ

остались без изменения. Таким образом, dB[ — изменение широтьі точки В , обусловленное изменением в длине геодезической линии АВ на ds, равно разности широт точек В и В г.

Азимут линии В В г равен А 2л — 180°, позтому по формулам для решения прямой геодезической задачи найдем

153

Рассуждая так же в отношении долготьі второй точки и обратного азимута, получаем

обозначения, предполагаем, что изменился азимут А г 2 геодезической линии АВ на малую величину dA х_2, в результате чего точка В переместилась в положение В х (рис. 67). Определим длину линии, соединяющей точки В и В х. Если би линия АВ располагалась на плоскости, то, очевидно, кривая малой длинн В В Х, будучи злементарной дугой окружности, равнялась би длине геодезиче­ ской линии s, умноженной на угод dA 1>2, т. е. существовало би равенство В В 1 =

где т — функция длиньї и азимута геодезической линии, при которой справед­ ливо написанное равенство. Величина т назнвается п р и в е д е н н о й д л и - н о й г е о д е з и ч е с к о й л и н и и .

Для определения приведенной длинн геодезической линии, учитивая близость земного зллипсоида к шару и небольшую величину дифференциальннх поправок, примем зллипсоид за сферу с радиусом, равннм среднему радиусу

Изменение широти точки В , внзванное изменением азимута А х^ на <£41>2, будет, очевидно, равно разности широт точек В и В х. Имея в виду, что азимут

154

нения начального азимута.

На рис. 68 через В обозначено положение конечной точки линии с азиму­ том А^а*, если азимут А х 2 изменяется на dA х 2, то точка В перемещается в В х.

dt = d b £ !• 2sin 5 2== —mcos Ач. і (2)2 ig B^dAx%2.

Таким образом, полная поправка в обратннй азимут будет иметь вид

втом различием между R и N, и положим во втором члене, что R sin 4-=s;

тогда получим окончательно

2

155

Таким образом, на оснований формули (33.1) дифференциальньїе формули первого рода в окончательном виде примут вид:

Зти формули пригоднн для расстояний до 200—250 км.

Точньїе формули, справедливне для любих значений s, имеют вид*.

Для топографических и картографических целей, когда расстояния не превншают 40—50 км, а поправки координат достаточно иметь с точностью 0,001—0,002", формули (33.24) можно упростить. Пренебрежем сфероидичностью Земли и заменим приведенную длину геодезической линии т длиной геодезической Л И Н И И S (в

данном случае дугой большого круга), тогда:

CM. [44, стр . 27 8 ].

156

2. Аналогично предьідущему, учитьівая формулу (33.18), долучаєм

= + sinA2ш1(ІА1ш2. (33.27)

Построим сферический треугольник АВ Р (рис. 69) и на меридиане точки А виберем точку С, как ато делалось при виводе формул для решения прямой геодезической задачи.

Обозначим = от. Из треугольника ABC имеем

Придерживаясь принятих обозначений и по-прежнему пренебрегая сфероидичностью Земли, получаем

dA2 1'2= (cos ст— sin a cos А2 хtg В2) dAx2,

Или

Из треугольника АВР (C M . рис. 69)

cos Bxcos Z= cos n cos B2— sin a cos A2>1sin B2,

157

позтому

HO

следовательно, окончательно

(33.32)

Вираження dBs2, dL\ и d A \ -x остаются такими же, как и в формулах (33.24). Сіделав все зти преобразования, получим дифференциальние формули первого рода в упрощенном виде

(33.33)

Для нелогарифмического внчисления поправок формули (33.33) перепишутся:

dB2= cos І dBx— cos Bxsin l dAx,2 — 0,03234" cos A2.x ds

(33.34)

— 0,03234" sin A2. Xtg B2 ds

тде принято c подстановкой приближенннх числових значений:

(1)2 s - (2)й s = 0,03234" ds.

Из сравнения упрощенннх формул с более точними формулами (33.25) •следует, что в первнх ошибочнн козффициентн при d A x и dBx на величини порядка е2о. Следовательно, при расстояниях в 40—50 км и значеннях dAx ш dBx в несколько секунд погрешности, обусловленнне приближенностью фор­ мул, могут достигать величини порядка 0,001'*. Формулами (33.33) следует пользоваться лишь при вьічислении координат пунктов как опорних для сьемок.

К дифференциальннм формулам І рода следует отнести формули, служащие для решения обратной, по сравнению с рассмотренной, задачи: определить

158

Опуская внвод, приведем внвод формул в окончательном виде*:

р"ds = —М 2cos А 2. х dB2—r2sin А 2. х dL2

т dAx. 2 = М 2sin А 2. t dB2— r2cos A2%x d b 2

(33.35)

/ 1

Написаннне формули соответствуют случаю, когда изменились координати второй точки, т. е. В 2, Ь 2. Если изменить индексьі «1» на «2», то формули будут справедливн для случая, когда изменяются координати первой точки, т. е.

В і, Lx.

При одновременном изменении координат точек 1 и 2 формульї примут вид

р"ds — — М г cos Аь 2 dBx — М 2cos А2ш1 dB2—r2sin А2. х (db2— dLx)

m dA2tl = M2 ( ^ :) 1 sin A2. xdB2 + Mx sin А 1ш%dBx-{-

+ rxcos Ax. 2 {dL2~dLx)

іде r радиус параллели под данной широтой.

п

34.Дифферєнциальньїе формульї второго рода

,jit Пусть некоторая триангуляция вичислена на поверхности зллипсоида, размерн которого определяются большой полуосью ах и сжатием а г (или зксцентриситетом Єх). Как известно из гл. IV, геодезические координати пунктов їриангуляции внчисляют путем последовательной передачи разностей коор- |ршат смежннх пунктов. При внчислении разностей координат используют ООДовнне геодезические величини (1), (2), которне являются функциями больШой полуоси, зксцентриситета зллипсоида и широти. Если возникает задача реревнчисления триангуляции на поверхность нового зллипсоида, размерн ^оторого определяются большой полуосью а2 и сжатием а 2 (или е2), то, очеІйдно, изменение размеров зллипсоида внзнвает изменение разностей коор­ динат. Отсюда следует, что внвод формул для поправок за изменение параметров зллипсоида должен заключаться в нахождении формул для поправок в разПости координат пунктов ходовой линии, по которой внчислялись координати. формули зтих поправок легко найдутся путем дифференцирования главннх Членов известннх виражений для разностей широт, долгот и азимутов.

*См. [2, стр. 235, 236].

159*