Закатов Вища геодезія 1

Используя главньїе членьї формул со средними аргументами для разности координат (26.34), (26.35), дифференцируя по переменньїм а и а (или е), после преобразований и некоторьіх упрощений, получим:

Полученнне формули дифференциальньїх поправок второго рода не являются точними. Если длини сторон триангуляции не превьішают 40—50 км, то формули обеспечивают точность поправок порядка 0,001—0,002".

Но дифференциальнне формули второго рода нужньї и при составлении уравнений градусних измерений для вьівода размеров зллипсоида и установле­ ння исходннх геодезических дат, а также при уравнивании триангуляции 1 класса. Однако длязтих целей точность внведенних внше формул недостаточна.

Вполне пригоднн для зтих целей новьіе дифференциальнне формули Красовского [31]. В них устанавливается зависимость изменений коор­ динат от изменений большой полуоси, сжатия и висоти геоида над референц-

Если возникает необходимость исправления координат пунктов данноп триангуляции за изменение координат исходннх пунктов, азимута и длини исходной сторони, то применяют дифференциальнне формули только первого рода и поправки нужно вичислять последовательно, так как поправки каждого последующего пункта — функции поправок координат предндущего. Несколько иначе нужно вичислять поправки при перенесений координат на новий зллипсоид; при зтом если даже координати исходного пункта не изменились, поправки за переход на новий зллипсоид внчисляют по дифференциальннм формулам второго и первого рода.

Например, необходимо вичислить поправки за переход на новий зллип­ соид в координати пунктов ряда, изображенного на рис. 70 по ходовой линии АСЕ, причем координати исходного пункта не изменяются.

Очевидно, для нахождения поправок координат пункта С достаточно вичи­ слить поправки второго рода за изменение разности координат пунктов А и С.

160

Но после введення поправок в координатьі пункта С для нахождения поправок в координати пункта Е и всех последующих возникает необходимость внчисления, кроме поправок второго рода, еще поправок первого рода, так как на новом зллипсоиде координати пункта С изменились.

Таким образом, при перевнчислении координат на новий зллипсоид необходимо применять формули обоих видов. В отличие от дифференциальннх формул первого рода поправки второго рода в разности координат пунктов можно вичислить о д н о в р е м е н н о для многих сторон триангуляции.

В заключение приведем дифференциальние формули для совместного внчисления поправок за изменение координат и параметров зллипсоида, пригоднне для использования вплоть до триангуляции 1 класса *:

В приведенннх формулах поправки внраженн в функции средних аргументов Вт и Л т. Формули пригодни для внчисления на счетннх машинах. Результати вичислений округляют до 0,001", что соответствует точности формул.

* См. [2, стр . 24 0 ].

'll П. C. Закатов

Г л а в а VI

ПЛОСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЬІЕ КООРДИНАТИ

ГАУССА - КРЮГЕРА

§ 35. Общие сведения

Конечная практическая цель триангуляционньїх и полигонометрических работ — определение положення геодезических пунктов на поверхности принятого референц-зллипсоида. Положение зтих пунктов можно опрєделить

вразличньїх системах координат. Необходимо вичислять координати пунктов

втакой системе, которая била би проста и обеспечивала би наиболее удобное и легкое использование координат в разнообразннх практических целях.

Такой системой является с и с т е м а п л о с к и х п р я м о у г о л ь н и х к о о р д и н а т . В зтой системе внчисляют координати пунктов сьемочного обоснования, для которнх координати триангуляционннх пунктов являются исходними, производят различного рода расчетн при проектировании и строительстве разнообразннх инженерннх сооружений и перенос проектов в натуру. Использование топографических планов существенно облегчается, если на них нанесена сетка координатних линий в прямоугольной плоской системе коор­ динат. Прямоугольнне координати геодезических пунктов необходимн при использовании геодезических данннх для оборонних целей.

Система геодезических координат имеет ряд достоинств; она наиболее удобна для решения научннх задач вьісшей геодезии и в зтой системе координат обьічно обрабатнвают триангуляцию 1 класса, однако она неудобна для широ­ кого использования в указанних практических целях. Действительно, взаимное положение пунктов в зтой системе определяется в угловнх единицах (гра­ дусах, минутах и секундах широти и долготи), причем линейное значенії© зтих единиц различно в зависимости от широти места; направлення меридианов, от которнх отсчитнваются азимути, не параллельнн между собой; вичислений при помощи геодезических координат, даже при малих расстояниях, сложни, трудоемки и требуют известной подготовки вичислителя.

Таким образом, для практического использования наиболее удобна си­ стема плоских прямоугольних координіг.

Известно, что поверхность зллипсоида не может бить развернута на плоскость без искажений, позтому и не может бить предложена система плоских прямоугольних координат, в которой без искажений било би виражено взаимное положение точек земной поверхности. Поставленная задача сводится к изображению поверхности зллипсоида на плоскости по некоторому определенному закону. Математически такой закон (или проекция) в общем виде может бить внражен уравнениями

(35.1)

В зтих уравнениях х и у — плоские прямоугольнне координати изобра-

жаемой на плоскости точки, внраженние как функции геодезических коорди­ нат той же точки на поверхности зллипсоида. Если вибрать под тем или иннм условием закон изображения точек зллипсоида на плоскости, то можно, пользуясь написанннми формулами, получить формули для перехода от расстояшш

162

и углов на поверхности аллипсоида к соответствующим расстояниям и углам на плоскости.

Законов изображения поверхности аллипсоида на плоскости может бнть бесчисленное множество; очевидно, кажднй закон изображения определяется видом функции f x и / 2 в уравнениях (35.1).

При виборе закона изображения аллипсоида на плоскости, т. е. функций /j и /2, приходится иметь в виду, что желательно обеспечить единой системой плоских прямоугольньїх координат всю территорию государства, так как атим самим будет создана основа для единообразного внчисления результатов последующих геодезических работ и получения топографических планов в единой системе.

Конкретнне требования, которне следует поставить при виборе функций f x и / 2: минимальное искажение изображаемнх на плоскости алементов поверх­ ности аллипсоида; легкость и простота учета искажений, хотя би за счет некоторого, конечно сравнительно небольшого. увеличения самого размера атих

особенно когда необходимо переходить от числових значений геодезических координат пунктов к числовим значенням координат на плоскости. Поправки за искажения или за перенос злементов триангуляции с аллипсоида на пло­ скость и обратно должнн вичисляться с ошибками, в 5—10 раз меньшими ошибок непосредственннх измерений.

Если координати опорних геодезических пунктов данн в проекции, то топографические плани не требуют какой-либо укладки на плоскость путем соответствующего их редуцирования. Графические материалн сьемок получаются в принятой проекции и лишь ч и с л о в н е даннне сьемок в виде длин сторон и углов теодолитннх и тахеометрических ходов, измеряемих непосредственно на местности, должньї бнть исправлени за переход к проекции. Но в атом случае целесообразно учитнвать только искажения длин с тем, чтобн в пределах определенной зони масштаб изображений можно било считать п о с т о я н н н м . 9то обусловливает внбор равноугольной или конформной проекции, для которой утловне искажения при переходе с аллипсоида на плос­ кость отсутствуют, а масштаб линейннх искажений одинаков по всем напра­ вленням. Зтим облегчается учет искажений и редуцирование геодезических данннх с аллипсоида на плоскость.

Но системьі прямоугольньїх плоских координат с єдиним началом, позволяющей отобразить точки всей поверхности аллипсоида на плоскости, практически бнть не может, так как искажения становятся слишком большими. Позтому неизбежно разделение земной поверхности на части или зони, которьіе изображаются на плоскости одна независимо от другой, каждая со своим на­ чалом координат. Если примем определеннне условия в отношении величини

ихарактера искажений, то возникнут определеннне требования к размерам

иконфигурации атих зон. При виборе проекции следует стремиться к минимальному числу зон на территории данного государства. Кроме того, проекция должна обеспечивать легкость перехода из зони в зону и возможное едино-

образие при вичислениях в разннх зонах.

Указанним вьіше требованиям из числа существующих проекций наилучшим образом удовлетворяет конформная проекция Гаусса — Крюгєра. Зту проекцию Гаусе предложил в 1825—1830 гг.; в 1912 г. Крюгер разработал детали применения и дал рабочие формули для вичислений в атой проекции, поатому ее назнвают проекцией Гаусса — Крюгєра.

§36. Основньїе сведения

оконформной проекции Гаусса — Крюгера зллипсоида на плоскости

При использовании проекции Гаусса — Крюгера земной зллипсоид разделяется на зони меридианами. Каждая зона представляет собой сфероидический двуугольник, построенньїй от одного полюса до другого и ограниченньїй ме-

по долготе и совпадают поочередно с граничними и средними меридианами карти масштаба 1 : 1 000 000.

Вкаждой зоне изображение осевого меридиана принимаетея за ось абсцисс,

аизображение екватора — за ось ординат. Зти кривьіе на поверхности зллипсоида изображаютея на плоскости прямими линиями. Следовательно, в каждой

164

зоне имеется своє начало координат — пересечение осевого меридиана с еква­ тором.

В проекции Гаусса — Крюгера осевой меридиан изображается без искажения.

На рис. 72, а показана зона с номером тг; кривьіе Р Е Р Ги Р Е 1Р 1 — граничнне меридианьї; пунктирная кривая РР' — осевой меридиан, долгота которого L 0 в системе шестиградусньїх зон определяется по формуле L 0 = 6п — 3. Положение точки А, расположенной в зтой зоне, определяется широтой В и долготой Z, отсчитнваемой от осевого меридиана.

Р

изображение осевого меридиана, принимаемая за ось абсцисс, и прямая еег — изображение екватора, принимаемая за ось ординат.

Если а — изображение точки А на плоскости, то ее положение определя­ ется показанньїми на рис. 72 прямоугольннми плоскими координатами х н у .

Проекция Гаусса — Крюгера конформна. Понятие об условиях и свойствах конформного изображения одной поверхности на другой дано в § 28 глави IV. Напомним основнне условия и свойства конформного изображения: бесконечно малий контур на еллипсоиде изображается подобннм ему на плоскости; угловне искажения отсутствуют; масштаб изображения в каждой точке зависит только от координат данной точки и не зависит от направлення.

В проекции Гаусса — Крюгера поверхность шестиили трехградусной зони изображается с заметними искажениями, но достоинство проекции — сравнительная простота и високая точность учета искажений в пределах шестиградусной зони, чем и обусловлен внбор зтой проекции в геодезии.

Пусть на еллипсоиде (рис. 73) дана некоторая триангуляция, состоящая из треугольников A B C , BC D, CDE\ РО — осевой меридиан зони, в которой расположена данная триангуляция. Пусть долгота етого осевого меридиана £ 0; АР — меридиан, проходящий через точку А ‘, A T — касательная к еллипсоиду и параллельная плоскости осевого меридиана.

165

Угол между направлением меридиана А Р и касательной A T назьівается г е о д е з и ч е с к и м с б л и ж е н и е м м е р и д и а н о в в А ж обозначается буквой у г. Угол в А между направлением меридиана АР жгеодезической линией АС єсть азимут сторони АС; обозначим его через А ас', угол в А между направлением касательной А Т и направлением АС єсть г е о д е з и ч е с к и й д и р е к ц и о н н н й у г о л ; обозначим его через Гас- Очевидно, для зллипсоида получится равенство

Пусть на плоскости (рис. 74) в проекции Гаусса — Крюгера изображение тех же злементов будет: точка а — изображение точки А ; линия ор — изобра­ жение осевого меридиана ОР; кривая an—изображение меридиана, проходящего

П t,

X

Рис. 74 Рис. 75

через точку А; кривая at — изображение касательной AT; точки b жс — соответственно изображения точек В жС; кривне ab, ас, cb ... — изображения геодезических линий AB, АС, СВ ж т. д.

Так как проекция конформна, то углн между изображениями линий зллипсоида на плоскости не исказятся и будут соответственно равньї А а с , Т ’а с , у ' •

Проведем через точку а линию, параллельную изображению осевого мери­ диана, т. е. оси абсцисс; обозначим ее через a tx. Угол между кривой, изображающей меридиан точки а, т. е. an, жзтой прямой, параллельной оси абсцисс,

также перенесутся с зллипсоида на плоскость без искажений, но зти угльї, перенесенньїе на плоскость, относятся к треугольникам, соединенннм кривьіми ab, ас, cb и т. д., что практически неудобно. Для последующих вичислений соединим точки а, Ь, с с прямими линиями — хордами. Тогда триангуляция на плоскости представится сетью плоских прямоугольннх треугольников; решение треугольников и другие вьічисления можно производить по формулам прямолинейной тригонометрии. Но для зтого необходимо осуществить переход от углов между изображениями на плоскости геодезических линий, являющимися кривими, к углам, образованннм прямими линиями, соединяющими точки а, Ь,с. Иначе говори, для каждой сторони триангуляции, точнеє для каждого направлення, должна бить определена поправка, представляющая собой малий угол между кривой, изображающей геодезическую линию на плоскости, и хордой. Если кривая akb (рис. 75) — изображение сторони АВ на плоскости,

166

a ab — хорда, соединяющая точки а и 6, то угод между направлением кривой akb (т. е. касательной к ней в точне а) и прямой аЬ будет искомой поправкой,

поправки и вводятся в измеренньїе направлення для образования на плоскости треугольников с прямолинейннми сторонами.

Вследствие малой кривизньї линии акЬ зти редукции малн и их вьгчисление, как увидим далее, не представляет особого труда; при работах малой точности ими можно пренебрегать. Угод между прямой a t x, параллельной оси абсцисс,

Далее будет доказано, что различие в длинах кривой akb и хордьі ab всегда пренебрегаемо мало.

Пусть на зллипсоиде исходной стороной триангуляции будет АВ. Длину геодезической линии, соединяющей точки А и Z?, обозначим s0. Очевидно, ари переходе на плоскость расстояние между точками а и Ь не будет равно sQвслед­ ствие искажений проекции. Для перехода от расстояния AB = s0 к расстоянию на плоскости между точками а и Ь необходимо ввести поправку, назнваемую р е д у к ц и е й р а с с т о я н и й .

Числовие величиньї поправок за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и редукции расстояний по мере удаления от осевого меридиана возрастают. Следовательно, для вьічисления указанннх поправок необ­ ходимо знать координатні вершин треугольников, причем вследствие малости поправок зти координатні достаточно знать приближенно.

Изложенньїе сведения позволяют установить следующий порядок действий для перехода с зллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера, если исходнніми данньїми являются длина s0, азимут А вьіходной сторонні триангу­ ляции и геодезические координатні В и L одного из начальних ее пунктов.

1. Переход от геодезических координат — широти В и долготн L началь­ ного пункта — к прямоугольннм координатам х и у зтого же пункта в проекции Гаусса — Крюгера и внчисление для зтого же пункта сближения меридианов на плоскости, позволяющего получить приближенное значение дирекционного

2.Приближенное внчисление сторон треугольников и предварительннх координат их вершин с использованием внчисленних координат исходного пункта х и у и приближенного значення дирекционного угла, полученного по формуле (36.3).

3.Внчисление редукции длиньї исходной сторони за переход с зллипсоида на плоскость и поправок за кривизну изображения геодезической линии на пло­ скости для каждого измеренного направлення в триангуляции*.

* Изложенннй порядок вичислений применяется при обработке результатов наблюде- ний в триангуляции 2 класса; в триангуляции 1 класса внчисление поправок производят Двумя приближениями. В нервом приближении поправки внбирают из таблиц, а аргументи — значення ординат п разности абсцисс — определяют по чертежу сети.

167

Вводя в длину исходной сторони и в измереннше направлення зти поправки, полупаєм длину и дирекционннй угол исходной сторони и направлення, редуцированнне на плоскость. После внполнения атих вичислений сеть становится подготовленной к уравниванию и окончательному внчислению координат пунктов на плоскости.

4. Уравнивание триангуляции на плоскости; по уравненннм углам окончательное внчисление сторон треутольников и окончательних прямоугольннх координат всех пунктов триангуляции.

Систему прямоугольннх координат Гаусса — Крюгера ввели в СССР

в 1930 г. В связи с увеличением обьема топографо-геодезических работ возникла необходимость иметь координати опорной геодезической сети в прямоугольной системе, причем единообразно внбранной. Плоские прямоугольнне координати применялись и до указанного времени; в землеустройстве — ко­

при самостоятельно внбранннх началах (например, системи координат Баумана в триангуляции Донбасса). Естественно, такой разнобой в применении системи плоских прямоугольннх координат затруднял использование материалов топографо-геодезических работ в общих целях, создавал неудобства при сми­ каний сьемок на граничних линиях районов, имеющих свои системи координат, вьізнвал необходимость различного рода перевнчислений.

Всвязи с зтим третье геодезическое совещание при Госплане СССР в 1928 г. винесло решение о необходимости введення системи координат Гаусса — Крю­ гера, установило шестиградусную ширину зон по долготе, определило положение осевьіх меридианов каждой зони (как зто указано вьіше) и наметило мероприятия для введення новой системи координат.

В1930 г. били изданьї составленнне под руководством Ф. Н. Красовского «Руководство, формули и таблицн по применению прямоугольннх координат

Гаусса — Крюгера», что и способствовало введенню зтой системи координат в практику геодезических работ. После зтого координати Гаусса — Крюгера полупили в СССР всеобщее распространение, и в настоящее время во всех каталогах геодезических пунктов обязательно помещают плоские прямоуголь­ нне координати в зтой системе.

Искажение длин на краю шестиградусной зони может достигать величини

масштабов — 1 : 100 000, 1 : 50 000 — зти искажения во взаимном положений точек при сьемках не ощущаются. Учитивать зти искажения необходимо при постановке топографических работ указанннх масштабов лишь при развитии сьемочного обоснования в виде малих триангуляций, теодолитннх ходов и т. п. Измереннне длинн линий исправляют путем введення поправок, внбираемнх из специальннх таблиц.

При крупномасштабннх сьемках, если они к тому же производятся не графическим, а числовим методом, в пределах небольших участков изменение масштаба становится заметннм и его нельзя спитать постоянньш даже при не­ больших расстояниях (20—50 км) от осевого меридиана. При проектировании по карте или перенесений проектов в натуру графическая точность масштаба карти и установленние допуски требуют учета размеров искажения. Значительно больший обьем непосредственних измерений, требующих учета искажений с большой точностью, не позволяет применять шестиградусную зону для сьемок крупного масштаба без того, чтобн не осложнить производство сьемок

168

У

и использование их результатов. Позтому наиболее просто и практически удобно в такого рода работах не применять шестиградуснне зоньї. Для примера приведем описание применения зтой системи координат в городских геодезических работах.

Известно, что городские сьемки, ведущиеся, как правило, числовими методами, включают создание топографических планов масштабов от 1 : 5000 до 1 : 2000 и крупнеє. При зтом целесообразно применять систему координат

вследующем общем плане.

Вкачестве исходного принимают пункт городской триангуляции 1 класса, расположенннй, по возможности, посередине города и являющийся в то же

время пунктом государственной триангуляции или имеющий с последней наиболее надежную и короткую связь. Меридиан, проходящий через зтот пункт, принимается за осевой. Зтим достигается то, что все пункти городской опорной геодезической сети располагаются в непосредственной близости от осевого меридиана, позтому искажения проекции, а следовательно, и поправки мали; ато позволяет пренебрегать ими, а в особо точних работах учитнвать не по полннм формулам. Следовательно, опорная сеть при таком виборе осевого меридиана будет редуцирована на плоскость с минимальннми искажениями, вбольшинстве случаев пренебрегаемнми. Для обеспечения близости в значеннях координат между зтой местной системой координат и общегосударственной шестиградусной системой, для окончательного внчисления координат пунктов следует брать те координати начального пункта, которне заданн из государ­ ственной триангуляции. С зтой же целью следует ориентировать городскую триангуляцию по дирекционному углу одного из направлений с местного исход­ ного пункта, но отнесенному к осевому меридиану общегосударственной шести­ градусной зони. Различия в значеннях координат, внчисленннх в общегосу­ дарственной и местной системах, будут независимо от порядка их вичислений, так как базиси городских триангуляций приходится редуцировать на среднюю уровенную поверхность города. Но при таком виборе и порядке внчисления координат, которнй описан, неизбежнне различия между значеннями коор­ динат, внчисленннми в общегосударственной и местной системах, будут мини­ мальннми, а материалн топографических сьемок масштаба 1 : 5000 легко могут бить использованн для государственного картографирования.

Зтот пример показивает, как можно применить проекцшо Гаусса — Крюгера на отдельном участке территории, на котором производят точнне сьемки крупного масштаба и которнй используется под строительство разнообразннх инженерннх сооружений.

Целесообразно применять шестиградуснне зони для внчисления координат государственннх триангуляций, если сплошнне топографические сьемки государственного значення ставятся в масштабе 1 : 100 000 и 1 : 50 000. В настояЩее время приступили к сплошннм азрофототопографическим сьемкам в мас­ штабах 1 : 25 000,1 : 10 000 и 1 : 5000. Для сьемок в зтих масштабах искажения при применении шестиградусннх зон получаются значительннми. Для районов зтих сьемок целесообразно применять трехградуснне зони.

§ 37. Основнме формули

Перейдем к виводу основних формул проекции Гаусса — Крюгера. Задача заключается в определении функций f x и / 2 из уравнений (35.1)

(37.1)

169