Закатов Вища геодезія 1

системах. ІІрежде чем приступать к вьічислению искомнх величин, т. е. к решению обратной геодезической задачи, необходимо сделать расчет влияния па взаимное положение пунктов, определенннх указанннми координатами, различия систем координат (разньїе начала координат, различньїе размерн и ориентировки зллипсоида); искажений проекций; ошибок графического определения координат по картам; случайньїх ошибок геодезических связей в каждой системе координат и т. п. Определив таким образом взаимную ошибку коорди­ нат пунктов, затем установим необходимую точность вичислений искомьіх расстояний и азимутов.

Приведенньїе примерьі и расчетьі не исчерпьівают, конечно, всех случаев, имеющихся на практике; они являются только иллюстрацией методического порядка, которьій должен бить применен при установлений необходимой и достаточной точности вичислений при решении главной геодезической задачи.

3. О точности формул для вичисления геодезических координат

Изложеннне вьіше соображения и виводи о точности вичислений не затрагивали вопроса о точности формул, применяемнх для вичисления координат.

В предндущих рассуждениях как би предполагалось наличие точних формул для вичислений. Между тем используемне формули для вичисления координат основани на разложениях функций в бесконечнне ряди. Позтому все применяемне формули вичислений в зтом смисле являются нестрогими и неточними. Конечно, используя соответствующее число членов ряда, можно получить формули для вичислений с любой заданной точностью. Позтому всегда внвод тех или иннх формул для вичисления координат необходимо сопровождать исследованиями об их точности при сохранении того илииного числа членов в рядах. Практически приходится, исходя из заданной точности получения формул, устанавливать члени, подлежащие учету при разложении рядов, и вводить их в формули в виде поправочних членов. Другие члени рядов, по их малости, приходится считать пренебрегаемнми по сравнению с заданной точностью и не вводить их в получаемне формули. Критерием точности тех или иннх формул является степень малой величини, которой пренебрегали при виводе формул. Малне величини, степень которнх характеризует вели­ чину учтенннх или отброшенннх членов, должни бить оговоренн.

При виводе формул для решения главной геодезической задачи за такую

для вичисления геодезических координат пунктов триангуляции, т. е. когда

у 1 1 1

s = ЗО км, отношение — == — ; позтому считается, что е2 = — , а = щ ,

такие члени формул, как е2 е2 (В2 — В і),—[члени второго порядка малости.

При виводе формул решения геодезической задачи на значительнне рас-

а = уже будет второго порядка малости.

Иногда за малую величину, степень которой характеризует точность формул, принимается е. Так, например, в формулах дуги меридиана их точ­ ность характеризуется степенью е в отброшенннх членах ряда. Для характе­

90

ристики точности формул следует принимать за основу не порядок малости сохраненннх членов ряда, а порядок малости отброшенньїх членов.

' Чтобн обеспечить необходимую точность вьічислений, необходимо з форімулах сохранять члени, дающие основание считать их практически точними. Для атого необходимо, чтобьі формула по точности имела по крайней мере десятикратний «запас прочности».

Исходя из указанннх соображений, приведем расчетн по обоснованию требуемой точности формул для вичисления координат пунктов триангуляции 1 класса. Положим s — ЗО км или (в дуговой мере) 1000". Поставим условие, чтобн порядок ошибок формул бнл в десять раз меньше реальной точности вичислений координат (0,0003"),! тогда отбрасьіваемне при виводе формул члени должнн бить меньше 0,00003" или в относительной форме внзнваемая

получаем:

Отсюда делаем вьівод, что если длиньї сторон триангуляции меньше ЗО км, то необходимо в формулах сохранять члени третьего порядка малости и можно пренебрегать членами четвертого порядка.

В СССР длиньї сторон триангуляции 1 класса нередко достигают 40— 60 км, а в отдельннх случаях и 60 км. Произведя аналогичннй расчет, при­ ходим к виводу, что в атом случае ограничиваться только членами третьегс порядка недостаточно. Позтому при внчислении геодезических координат пунктов триангуляции 1 класса обьічно применяют формули с удержанием членов четвертого порядка малости.

Следует ясно представить себе, что должно бить полное соответствие между точностью вьічислений, используемим числом десятичннх знаков и точностью применяемнх формул.

При применении методов прямого пути решения главной геодезической задачи, как уже указивалось, точность формул характеризуется точностью рабочих формул связи злементов зллипсоидального и соответствующего ему сферического треугольника.

Ми видим, что способи решения геодезической задачи достаточно разнообразнн. И зто не случайно. В практике возникает необходимость вичислений координат на разньїе расстояния и с различной точностью.

§ 25. Формули для решения прямой геодезической задачи по способу вспомогательной точки,

вьівод формул по Красовскому

Пусть данн координати точки А: широта В 1 и долгота Lv азимут А г 2 геодезической линии с А на В и расстояние s между точками А жВ; требуется определить координати В 2 и Ь 2 и обратннй азимут А 2 г с точки В на точку А (см. рис. 42).

Настоящий способ решения прямой геодезической задачи основан на при­ менении косвенного пути решения задачи; как уже указивалось, он заклюлается в том, что непосредственно определяются не координати точки В, а разности координат точек А жВ, после чего легко находятся и искомьіе координати второй точки.

91

Общий путь решения задачи путем введення вспомогательной точки, через которую осуществляется вьічисление координат, указан внше.

Построим вспомогательную точку С на меридиане А Р таким образом, чтобьі геодезическая линия, проходящая через точки В и С, имела в С ази­ мут, равннй 90°. Тогда при переходе от А к С члени в формулах со множителем sin АС обратятся в нуль и будем иметь:

Bc = B l| + 4 f + . . . ,

Lo — L lt

А са ~ —АдсА~ 180°.

Иначе говоря, в формуле для вичисления широти внпадают третий, пятьш и т. д. члени разложения, долгота точки С равна долготе точки А , а обратннй азимут получается добавлением к прямому 180°.

При внчислении разностей координат точек В и С, т. е. при переходе

второй, четвертий и т. д.

При виводе формул будем исходить из того, что длина сторони меньше

Сферический избнток треугольника находится по формуле

Решая треугольник ABC по теореме Лежандра, получаем:

)

92

причем принято, что cos у = 1; ато внзовет ошибку в АС и ВС четвертого порядка малости, а при переходе в дальнейшем к разности координат, т. е*

ки — ошибку пятого порядка малости (за величину первого порядка

принята величина у «=*0,005; при зтом величина е2 «*0,007 будет также ве-

личиной первого порядка).

Раскладиваем последние вьіражения для АС и ВС по строке Тейлора, ограничиваясь по малости є двумя членами ряда и принимая во внимание (25.1):

Но широта Вт нам неизвестна, так как неизвестна разность Ь. Поскольку

- ^ = / № „ ) = / ( в 1 + ^ ) .

то, применяя ряд Тейлора, получаем

яли, ограничиваясь двумя членами ряда,

93

находим

Из последнего вьіражения напишем формулу с ошибкой до величиньї третьего порядна малости, которая будет использована в последующих ви­ водах,

Логарифмируя последнее вьіражение и принимая во внимание, что

<94

приходим к формуле

Более точное вьіражение для Ь" можно долучить, если для разности широт

АС

точек А и С исходить из формульі (7.13), а не (7.15), т. е. вместо Ь = -— р"

М т

принять

Последняя формула пригодна для внчисления координат в триангуляции 1 класса при сторонах до 60 км. При длинах сторон до 30—35 км следует

Построим сферический треугольник сгЬгр (рис. 44), соответствующий трехграннику с ребрами Спс, Впс и Рпс, с центром сферьі в пс; радиус сфери

примем равньїм единице. Угол мешду плоскостью СВпси плоскостью меридиана, проходящего через точку В, обозначим через 90° — Z.

Из прямоугольного треугольника с хЬір 1 (рис. 45) напишем:

Имея в виду, что с, І и t — малне величини первого порядка, перепишем вираження (25.23), раскладнвая тригонометрические функции зтих величин в ряд

принимая во внимание (25.24),

4 1 + ~r) = 4 1 + J r ) ’

откуда

б) « ( 1 + _F ) = с (* — - j- )

или

*(1+_т) =т

96

откуда

Пренебрегая ошибками пятого порядна малости, можно в поправочних членах величини І и t заменить через X и т

Угол между нормальной плоскостью DCnc и плоскостью РСпс обозначим через 90° — ©; тогда угол при сг в треугольнике dc1b1 (рис. 45) будет равен ©. Угол BncD обозначим через т|; зтот угол на рис. 45 изобразится дугой bxd.

Очевидно, треугольник cxpd — равнобедренннй; проведем биссектрису уі^ла І; она пересечет сторону c xd в точке е под прямим углом. Из прямоугольного треугольника с хре имеем

Из (25.31) и (25.32) имеем:

Так как І = X ^1 — "V)’ т0 после перемноження получим:

Рассматривая дугу BD как дугу нормального сечения с радиусом К^г. находим

Р

Рассматривая ату же дугу как дугу меридианного сечения с радиусом М0, получаем

или логарифмически

98

6 . С в о д к а ф о р м у л