Закатов Вища геодезія 1

Из рис. 12~следует, что угод между плоскостями параллели и первого вертикала измеряется углом СМп = В. Позтому радиус г параллели определится через радиус кривизни первого вертикала N по формуле

r ~ N cos В = МС.

Учитнвая внражение для радиуса параллели из (4.9), получаем

откуда

(5.10)

V i —e^sin2 В *

или

или, принимая во внимание обозначение (4.36), получим

(5.10')

(5.11)

т. е. длина отрезка нормали Мп равна радиусу кривизни первого вертикала Из (5.3) и (5.10) имеем

Отсюда видно, что

N ^ M .

Для вичислений используются в соответствующих случаях величини ^

и обозначаемие символами (1) и (2), т. е.

(5.13)

Значення зтих величин вьібирают из специальньїх геодезических таблиц по аргументу широти.

Радиус кривизни меридиана М, как увидим далее, служит для внчисления длин дуг меридианов и разностей широт; радиус кривизни первого вертикала N — для внчисления длин дуг параллелей и разностей долгот и азимутов.

Для вичислений на счетннх машинах полученнне вираження (5.3) и (5.10) для М и N неудобнн в связи с необходимостью вичислять дробние степени W и V; в атом случае целесообразно представить М и N в виде сходящихся рядов.

ЗО

и подстановки числових значений злементов референц-зллипсоида Красовского- в метрах, получим:

Вьіше бьіли полученьї формули для главннх радиусов кривизни, вьівод которнх основнвался на классическом подходе к решєнию задач сфероидической геодезии. Учитнвая важность полученннх формул, а также методические соображения, дадим вьівод формул для М и N в другой форме, пользуясь иньїм приемом их получения.

Воспользуемся известньш разложением Зйлера степенной функции в цеп­

Разложение (5.15) сходится, как известно, на всей комплексной плоскости переменного у, разрезанной по вещественной оси от у = —1 до у = —сю. В случае у вещественного положительного разложение (5.15) применимо для любого значення аргумента у. Для зтого достаточно взять нужное количество звеньев цепной дроби (5.15). Ограничиваясь двумя из них, запишем:

Далее, пользуясь известньш методом подсчета подходящих дробей, опуская подробности дальнейших математических викладок, для вираження (5.16) можно записать, что

Применим формулу (5.17) для внчисления величин М , N, записав их в виде:

ЗІ-

В формулах (5.20) и (5.21) значення переменного у, входящего в (5.17),

Можно доказать, что абсолютная погрешность приближения (5.16) равна модулю разности между соседними подходящими дробями того же типа и может

где символ А2 указьівает, что погрешность соответствует двум звеньям цепной дроби, т. е. формуле (5.16).

Приняв в вираженнях (5.20) и (5.21) величину квадрата зксцентриситета ег (или є'2) равной 0,0067, для любого значення широти В получим:

Таким образом, формули (5.22)—(5.27) обеспечивают вичисление величин W, V, М и N с достаточной точностью, т. е. до 1 -10-8 .

Заметим, что полученнне формули (5.26) и (5.27) для М и N более удобнн и прости для вичислений на счетннх машинах, нежели формули (5.14).

§ 6. Средний радиус кривизни

Средним радиусом кривизни в данной точке поверхности назнвается предел, к которому стремится среднее арифметическое из радиусов кривизни нормальних сечений, когда число их стремится к бесконечности.

Пусть на рис. 13 меридиональное сечение в данной точке М изображено линией РМ Р j, а сечение первого вертикала — WMO. Зти два сечения являются главннми нормальними сечениями, имеющими соответственно максимальную и минимальную кривизну.

32

Пусть кривая МА изображает произвольное нормальнеє сечение в точне М поверхности зллипсоида, заданное азимутом А, т. е. сечение расположено под углом А к меридиональному сечению.

На оснований формули Зйлера, устанавливающей зависимость между радиусом кривизни рА произвольного нормального сечения и радиусами кри­ визни главньїх нормальних сечений, имеем

Вообразим, что А принимает последовательно значення: 0, ІАА, 2 А А , ЗА Л -* -2л —2 АА, 2п—АА,

визни всех зтих нормальних сечений, проведенннх из точки М через интервалш

АА

Таким образом, согласно определению среднего радиуса кривизни R , получим

Разделим в подннтегральной функции числитель изнаменательнаіУсозМ, тогда

1 + i r tg-

Винесем за знак интеграла 1f M N

Таким образом, из (6.2) следует, что средний радиус кривизни для точек зллипсоида вращения равен среднему геометрическому из радиусов кривизни главннх нормальних сечений — меридиана и первого вертикала, проведенннх из той же точки.

Внражение для R может бить написано в функции величин W и V так:

Средний радиус кривизни применяется при изображении частей поверхности зллипсоида на шаре, при внчислении сферических избнтков треугольников и в других случаях.

В таблицах, составленних ЦНИИГАиК и Центральной внчислительной частью для зллипсоида Красовского, даются через интервалн по широте в f логарифми величини (1), (2), R, а также значение функции V.

Для внчисления радиуса кривизни нормального сечения, имеющего азимут А , можно воспользоваться, конечно, формулой (6.1). Для практических вичи­ слений, путем несложннх преобразований, ее удобнее представить в другом

Формула (6.7) используется, например, при внчислении поправки за приведение измеренной длинн базиса к поверхности референц-зллипсоида.

34

Интегрируя почленно, находим

s = a ( l _ e 2) |л (В2 — Вх) — — (siп 2В3 — sin 2B1)4 - “ (sin 4В2— sin 4ВХ)— . . . j .

(7.7)

Полученная формула является общей для дуги меридиана. Рассмотрим основнне преобразования формули (7.7) в зависимости от цели ее применения.

1. При внчислении геодезических таблиц, например для внчислени таблиц координат Гаусса — Крюгера, возникает необходимость вичислять длинн дуг меридианов от зкватора до точек дуги, расположенннх через опре-

Особенность зтого случая в том, что широта В может изменяться от 0 до 90°; длина дуги при зтом может бить значительной, и внчисления следует вести, как правило, с большим числом членов.

После подстановки числових значений злементов зллипсоида Красовского внражение (7.8) напишется

S$ = 6 367 558,4969В - 16 036,4803sin 2 В + 16,8281 sin 4В—

2. При обработке градусних измерений с целью внвода размеров земно зллипсоида формула (7.7) становится неудобной. В зтом случае широти концов

36

измеренннх меридианньїх дуг, участвующих в обработке градусних измерений,

Преобразуем формулу (7.7), учитнвая изложеннне соображения и заменяя разности синусов через произведения синусов и косинусов соответствующих углов.

Для уменьшения алгебраических преобразований ограничимся только чле­

3. Для вичислений в триангуляции, когда сторони незначительнн и редко превосходят 40—50 км, дадим более простую и удобную формулу. Для зтого

которая, очевидно, представляет собой длину дуги окружности с радиусом, равннм радиусу кривизни меридиана в точке со средней широтой. На основа­ м и (7.5) напишем

— а (1 - е 2) ^В‘г г (А — В cos 2Вт-\- С cos 4Вт).

37

ііШІг

Подставим значення коаффициентов А, В, С

Sl~ a ( i - e ° ) и ь = * £ _ { ( і + | ^ + і | **) _

s = M m

Окончательная формула для вичислений в триангуляции имеет вид

поправочний член в (7.13) можно отбросить и внчисления вести по формуле

Следовательно, при длине дуги, меньшей 45 км, можно рассматривать ее как сферическую с центральним углом, равннм разности широт конечних точек, и описанную радиусом меридионального сечения, соответствующим средней широте дуги.

Козффициентн А, В, С, введенние ранее при виводе формул для дуги меридиана, для зллипсоида Красовского имеют следующие значення:

А= 1,005 051 7739,

В= 0,005 062 37764,

С= 0,000 010 62451,

D = 0,000 000 02081.

В табл. 2 приведенні для справок длини дуг меридиана на зллипсоиде Кра­ совского для некоторнх широт с точностью до 0,1 м.

После елементарних преобразований формула (7.13) приводится к логарифмическому виду. Удержанное число членов обеспечивает внчисление дуг до 400 км длиной

38

где

lg к = lg 1 (ХІО8 е2 = 3,93І5_10.

8~

На оснований формули (7.14) можно решить обратную задачу: определить разность широт конечних точек дуги по длине дуги и средней широте ее

Практически нередко приходится решать следующую задачу.

Данн широта первой точки В г, расстояние по дуге меридйана до второй точки s; требуется определить широту второй точки В 2. Имеем

В2 = В1-{- (В2— В і).

Для определения (В 2 — B x) воспользуемся формулой (7.16); однако сразу по зтой формуле искомая разность (В 2 — В г) не может бить вичислена, так как неизвестна средняя широта Вт,по которой должен бить рассчитан радиус М т

или взята из таблиц величина (1)т . Рассмотрим решение задачи с применением метода последовательннх приближений.

В нервом приближении внчисляют (В 2 — В і), используя для определения

(1) широту первой точки, получают приближенное значение (В 2 — В г), т. е.

(В2 В1)1 s (1)х;

далее

(£2)і = в х + (в 2— в 1)1

С зтим значением широти второй точки внчисляют приближенно среднюю

широту (Вт) ! = ; используя найденную приближенную среднюю

широту (Вт)1, находят разность широт (В 2 — B ^ 2 и среднюю широту (Вт)2 во втором приближении. Аналогично производят внчисления в третьем при­ ближении, четвертом и т. д. до тех пор, пока два смежннх приближения не дадут одинаковне результати в пределах заданной точности, которне и будут окончательннми.

Внше било дано общепринятое решение по виводу формули длинн дуги меридиана, основанное на разложении подннтегральной функции (7.1) в ряд по биному Ньютона и последующем почленном интегрировании.

Дадим несколько иное и также, конечно, приближенное решение исходного интеграла

39