Закатов Вища геодезія 1

100

Зти формули имеют много общего с формулами, полученньїми ранее; однако их внвод иной — основан на перспективном изображении сфероидического треугольника АРВ на сферу радиуса N х. Они удобньї для программирования, відчислення на ЗВМ. Вспомогательньїе таблицн для приближенньїх вичислений по атим формулам имеются в «Руководстве по вьічислению азимута и длиньї геодезической линии на поверхности аллипсоида Красовского» [49].

§ 26. Решение геодезической задачи по формулам со средними аргументами.

Вьівод формул путем разложения в ряд разностей широт, долгот и азимутов

В § 23 данн общие основания применения рядов для внвода разностей широт, долгот и азимутов; отмечена целесообразность использования рядов со средними аргументами:

101

Поясним ото подробнее. Пусть на рис. 47 кривая АВ представляет геодезическую линию между начальной точкой А и конечной В.

Возьмем точку С, расположенную на середине кривой АВ. Если длина геодезической линии А В равна s, то точка С будет находиться от точек А жВ

на одинаковом расстоянии, равном Обозначим координати точки С через

В0, Ь0 и азимут геодезической линии в отой точке через А 0. Применим нервую строку рядов (23.4), т. е.

102

1

Как видно, разности (Вт — Б 0); (Lm — L 0) и (АІП— А 0 ± 180°) — малне величини второго порядна.

Формули (26.4) и (26.7) в общем виде решают задачу. Конечная цель — получить формули для разностей координат и азимутов в функции Вт и А т. Очевидно, зто будет достигнуто в результате вичислений и подстановки производннх в формули (26.4) с принятием во внимание (26.7).

Дальнейший ход вьівода: а) нахождение исходннх дифференциальннх уравнений и внчисление производннх; б) получение рабочих формул путем подстановки найденннх производннх в уравнения (26.4) с учетом (26.7).

Исходнне дифференциальнне уравнения (13.4):

103

или

Переходим к получению виражений для (В 2 — В г), (Ь2 — Ь г) и (А 2л —

— А і 2 ± 180°) согласно (26.4).

Так как ми ставим цель получить искомне разности координат в функдии Вт и А т, а в вираженнях (26.4) производньїе отнесени к аргументам В 0 и 4 0, то в нервую очередь необходимо установить зависимость между указанньши

личин, которне здесь можно рассматривать как постояннне. Таким образом, вадача заключается в получении вираження функции при некоторнх малих приращениях аргумента; конечно, для зтого следует применить ряд Тейлора.

Попутно сделаем замечание: широта Вт не соответствует А т в том смисле, что если взять на дуге А В точку с широтой Вт, то азимут геодезической линии в ней не будет равен А т. Позтому при внчислении приращений в ряде Тейлора

104

(с ошибкой на мальїе величини четвертого порядка) или, принимая во внимание

105

Опуская в (26.27) мальїе величини в пятой степени, после алгебраических преобразований получаем

(26.28)

Из (26.28) следует, что с ошибкой на величину третьего порядна малости можно написать:

(26.29)

Используя зти вираження для преобразования поправочних членов, допускаєм ошибку пятого порядка малости и вьіше. Позтому, принимая во внимание (26.29), уравнение (26.28) примет вид

(26.30)

Полученная формула пригодна для вичисления координат на расстояния до 200—250 км.

Внвод формул для (L2 — Lj) и (Л 2-і — ^ і - 2 ± 180°) производится аналогично, поатому, не приводя атих внводов, напишем формули в окончательном виде:

(2 +7Tl5.4-9ng,*g. + 5n* )

(26.32)

Для вичисления координат при расстояниях, соответствующих длинам сторон треугольников 1 класса, в формулах достаточно сохранить малне ве­

личини в третьей степени, т. е. не принимать во внимание члени -^-r\ 2 и меньше.

II* 1

G атой точностью перепишем формулу (26.28), тогда

106

или

^2.1 ~ A\. 2 — 180° -f-1 )

Вформулах (26.37) определяемне величини b, І и t — функции средней

широти Вт и среднего азимута А т, которие неизвестнн. Неизвестнн также и аргументи Ь и І в поправочних членах. Поатому задача решается методом последовательннх приближений.

Полагая в нервом приближении

= В± -J- s cos А 1 2 (1)і ~ Ві -J- b ,

V = s sin Аг 2 sec J5j (2)1?

А 2 . і - ■А г 2 ± 180° + ssin^lj 2tg-Si (2)і = Ліш2 ± 180°+ Ґ,

107

ВНЧИСЛЯЮТ!

Аи o + Ua. 1 ± 180°)

2

Co значеннями Ь'\ V и tr рассчитьівают поправочньїе члени формул (26.37), (26.38) и внчисляют, принимая во внимание В'т и А 'т , значення Ь", І” и t". Таким образом, получаются новьіе значення искомьіх величин в третьем приближении. Так поступают до тех пор, пока результати вичислений из двух смежннх приближений не станут одинаковнми.

Полученнне формули очень прости и достаточно точнн для вичислений координат в триангуляции. Единственннй, но существенннй недостаток их — необходимость применения приближений, что увеличивает обтьем вичислений.

27. Решение обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами

Искомне s, A j 2 и А 2 х легко определяются из формул для решения прямой геодезической задачи (26.37).

Используя прежние обозначения по заданньш координатам конечних точек, имеем:

(27.1)

Внчисляя по формулам (26.38) и значення Д lg b и Д lg І на оснований (26.37) легко получаем

(27.2)

откуда

По А т находим далее:

Для вьічисления t имеем последнюю формулу из системи (26.37); целесообразно вьічисления проводить по следующей формуле, которую получаем из сопоставления второго и третьего виражений в формулах (26.37).

Искомне азимути определяются:

(27.6)

108

Формульї для решения обратной геодезической задачи для нелогарифмических вичислений при помощи арифмометра или иной счетной машини при­ ведем без внвода:

точек 1 и 2 вичислить расстояние s между зтими точками, а также прямой А 12 и обратньш А зі геодезические азимути.

Заметим, что неудобство, возникающее при решении прямой геодезической задачи, — необходимость применения последовательннх приближений, при решении обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами отпадает.

Образец таблиц для D при решении обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами (нелогарифмические внчисления).

109