Закатов Вища геодезія 1

Принимая во внимание вираження (20.3) и (20.4), переписнваем формулу

(20.2)

или

Искомие значення углов плоского треугольника в окончательном виде вшразятея простими формулами:

Обозначая

2R2 s'

внражение для сферического избьітка є" напишется

Значение / берется из таблиц по аргументу широти (табл. 4); при вичисле­ ний сферического избнтка є с использованием указанннх таблиц значений / длинн сторон треугольников внражаются в десятих долях километра.

Формули (20.9) и внражают теорему Лежандра для малих сферических треугольников. Если сторони плоского и сферического треугольников соответственно равньї, то углн плоского треугольника равни углам сферического треугольника, уменьшенннм на одну треть сферического избнтка. Углн А 1г

# !, С х назнваются п л о с к и м и п р и в е д е н н н м и у г л а м и. Если удерживать при виводе мальїе величини четвертого порядка, то разности между сферическими и плоскими приведенннми углами внразятся формулами:

а2)

(20. 11)

где

2_ а2+ 62_^с2 ' ~ З

71

Вьівод зтих формул см. в работе [31].

При сторонах треугольника длиной около 200 км максимальнеє значение

члена —^ (т2 — а2) будет меньше 0,0 0 1 в равносторонних треугольниках

значение зтого члена будет равно нулю. Таким образом, при решении треугольников, стороньї которьіх не превншают 200 км, зтим членом можно пренебречь.

Лишь при длинах сторон треугольников свьіше 200 км следует учитьівать второй член формул (20.11). Но в зтом случае нельзя считать треугольники сферическими, а необходимо учитьівать их сфероидичность, т. е. вводить поправочньїе члени, внражающие различие между углами сфероидического и сферического треугольников, имеющих соответственно равньїе сторони.

Формули для вичислений зтих сфероидических поправок, которне ми приводим без внвода, для углов А, В, С сфероидического треугольника имеют вид:

в углн треугольников не вводятея. Треугольники триангуляции рассматриваютея как сферические с радиусом, равннм ереднему радиусу кривизни той части зллипсоида, на которой расположена триангуляция.

В особнх случаях может, однако, возникнуть необходимость учета попра­ вок за сфероидичность треугольников. Если А, В, С — углн сфероидического треугольника, а А г, В г, С г — углн плоского треугольника, имеющего сторони, соответственно равнне сторонам сфероидического треугольника ABC, то переход к плоским приведенннм углам совершается по формулам:

Таким образом, если возникает необходимость учитнвать второй поправоч­ ний член теореми Лежандра, то надо рассматривать треугольники как сферо-

72

идические. Суммарное значение обеих поправок меньше 0,001", если сторони треугольника не превосходят 200 км.

Более точная формула для сферического избьітка треугольников имеет вид

При уравнивании триангуляции 1 класса углн треугольников внчисляют, удерживая тнсячнне доли секунди. Отсюда следует, что ошибка в определении сферического избнтка не долшна превосходить величини порядки 0,0005".

Рассмотрим, при каких размерах сторон треугольников можно при внчислениях пренебрегать вторим членом в формуле для є". Если взять равносторонний треугольник со сторонами 90 км, то числовое значение поправочного члена

чае, если сторони треугольников больше 90 км. Поскольку сторони треуголь­ ника триангуляции 1 класса обьічно не превосходят 90 км, то внчисления сфери­ ческого избнтка практически почти всегда следует вести без учета второго члена, т. е.

В последней формуле А х — приведенний плоский угод.

Рассмотрим, в каких случаях можно пренебрегать при внчислении сфери­ ческого избнтка различием между углами А и А х. Погрешность в в вследствие ошибки в А внразится формулой

Ає" = - CC°L- р"АА = є" ctg А АА .

2Д2

є* Очевидно, АА = г-тг, позтому

Зр"

Авя

є"2 ctg А Зр"

Ставя по-прежнему условие Ає" «<0,0005" и полагая, что ctg А = 1, находим

є"2-А є" . Зр'= 300,

є"«*17"

Следовательно, при величине сферического избнтка меньше 17", что соответствует при равносторонней форме треугольников длинам сторон около 90 км, равличием между А жА х в формуле (20.15) можно пренебрегать и сферический избнток вичислить по формуле

__ be sin А

Если сторони треугольников близки или больше 90 км, то є" следует ви­ числять двумя приближениями: сначала получить приближенное значение сферического избнтка и по нему вичислить приближенное значение приведеш ного плоского угла

73

G зтим приближенньїм значением угла А [ сферический избьіток вьічисляется по формуле

внчисления геодезических координат». М., Геодезиздат, 1953). С зтим обозначением формула для внчисления сферического избнтка примет вид

є" = fbc sin А.

При решении треугольников триангуляции 2 класса и ниже необходимость учета понравочннх членов как в теореме Лежандра, так и при внчислении є отпадает.

Для общей ориентировки приводим числовьіе значення сферических избьітков при различннх длинах сторон (для равносторонних треугольников):

Сферический избьіток треугольников вшчисляют при помощи четнрехзначннх или пятизначннх таблиц логарифмов, обнчно одновременно с предва-

9тот пример, как и последующие три примера на решение сферических треугольников, взятьі с некоторьши сокращениями и изменениями ИЗ [10].

Нетрудно установить порядок применения теореми Лежандра к решению сферических треугольников по трем его сторонам. Очевидно, в зтом случае

74

реугольники сначала надо решать как плоские, принимая сторони сферических треугольников прямолинейньїми, а к вьічисленньїм таким образом углам

В зтом случае формули для вичислений будут следующие:

С = Сх+ \

Формула для вичисления сферического избнтка:

При соответствующих длинах сторон треугольников и точности измерений должнн учитьіваться сфероидические поправки, приведеннне в формулах (20.13), а сферический избнток — по формуле (20.14).

Пример на решение треугольника по сторонам приведен в табл. 6.

є" = 4,08"

Рассмотрим решение треугольников, образованннх хордами между пунк­ тами, расположенньши на поверхности зллипсоида .

Обозначим по-прежнему через А, В VL С угльї треугольника, вершиньї

которого лежат на поверхности зллипсоида, через а, Ь, с — длинн хорд между вершинами и через R — средний радиус кривизни в области расположения треугольника, принимаемого за сферический.

Имеем:

и аналогично

При зтом при разложении функций в ряд ми ограничивались его первнм членом.

Принимая во внимание (20.22), (20.23) и (20.24), окончательно напишем

Полученньїе формули позволяют решать треугольники с достаточной точностью со сторонами до 100 км.

Для практических вичислений формули (20.20) представим в следующем

76

где к = 409-10"11 (при таком значений к длинн сторон внражаются в десятих долях километра).

П р и м е р н а р е ш е н и е с ф е р и ч е с к о г о т р е у г о л ь н и к а по х о р д а м * .

Даннне для вичислений взяти из примера на решение треугольника по способу Лежандра, исходная сторона АС — Ь.

Р е ш е н и е :

1. Вичисление углов:

2. Вичисление исходной сторони b хордового треугольника

Ь — Ь— 0,25/с • Ь3

(0,25& = 10210~н)

* Пример заимствован из [10].

77

3 . Внчисление сторон а и с.

50 636, 566

а:8іп( л — |-)

50 636, 565

с: sin ( с ----1“)

§21. Решение треугольников по способу аддитаментов

При решении треугольников по теореме Лежандра, рассмотренной вьіше, поправки за сферичность для применения формул плоской тригонометрии вводились в угльї; возможно использование и сферических углов, но с введением поправок — а д д и т а м е н т о в — в сторони. Изложим зтот способ.

Сохраняя прежние обозначения, для сферического треугольника ABC имеем:

При зтой размерности к сторони треугольников должни бить внраженн в десятих долях километра.

Рис. 41

Порядок вичислений при применении способа аддитаментов будет следующий:

1. Из исходной сторони а внчитается ее аддитамент А а и таким образом внчисляется а';

2. G полученньш значением а' треугольник решается как плоский с использованием сферических углов, т. е. вичисляются Ь', с';

3. Полученнне значення Ьл, с' исправляют аддитаментами А ь и А с и получают искомне значення сторон треугольника.

Очевидно, при внчислении длин сторон вдоль триангуляционного ряда (рис. 41) достаточно исправить исходную сторону а аддитаментом А а, далее с зтим значением а' решить все треугольники как плоские при помощи сфери­ ческих углов и затем исправить внчисленнне значення сторон их адди­ таментами.

79