Разрез в пространстве

Как решить проблему, которая не позволяет рассматривать магнитное поле как потенциальное. Желтое кольцо - это провод с током. Ток индуцирует магнитное поле вокруг себя. Так что, если будет контур, содержащий провод, у нас сразу же будет соотношение но это запрещено. Если это так, то мы вообще не можем использовать скалярный магнитный потенциал. В таком случае мы должны сделать разрез в пространстве.

Черная линия – линия разреза. Начинается с бесконечности, огибает провод, а затем переходит в бесконечность.

Мы будем считать, что наша проблемная область - это пространство вокруг этой линии.

Теперь любой замкнутый контур не будет содержать ток внутри. В таком случае мы можем использовать определение скалярного магнитного потенциала.

Разрез в пространстве необходимо сделать, если мы хотим рассмотреть системы с током.

Laplace equation for the scalar magnetic potential (Уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала)

Basic equations (Основные уравнения):

In general case (В общем случае):

Для среды с постоянной магнитной проницаемостью μ:

– Уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала

Это уравнение имеет решение только в том случае, если к задаче будут применены правильные граничные условия.

10. Vector magnetic potential. Inductance (Векторный магнитный потенциал. Индуктивность)

Vector magnetic potential (Векторный магнитный потенциал)

Векторный магнитный потенциал универсален. Он существует как в проводящих средах с токами, так и в изолирующей области, где вообще нет токов, может использоваться в статическом магнитном поле и может использоваться в электродинамике, где магнитное поле зависит от времени.

Main equations (Основные уравнения):

Рассмотрим вектор , удовлетворяющий соотношению:

Почему это возможно. Давайте применим операцию div к обеим частям этого отношения. Мы получим:

и, как мы знаем

Magnetic flux (Магнитный поток)

Определение потока:

Т еорема Стокса:

Differential equation for the vector magnetic potential (Дифференциальное уравнение для векторного магнитного потенциала)

Ampere’s law (закон полного тока):

Напряженность магнитного поля и индукция связаны между собой:

Принимая во внимание , мы получим:

Если μ константа:

Identical transformation (Идентичная трансформация):

Gauging of the vector magnetic potential (Калибровка векторного магнитного потенциала)

Векторный потенциал, определяемый соотношением не является уникальным (он не может дать нам уникальное определение вектора A).

Добавление термина к значению векторного потенциала не изменяет индукцию, поскольку

Мы можем изобрести много различных функций, которые будут удовлетворять этому соотношению. Как избавиться от всего этого большого количества решений и сохранить только одно из них? Мы можем ввести дополнительное свойство в векторе A. И это дополнительное свойство называется калибровкой.

Наиболее часто используется ‘кулоновское измерение’ ‘Coulomb gauging’:

Калибровка вектора магнитного потенциала необходима, чтобы обеспечить единственность вектора в пространстве. Существует несколько калибровок, позволяющих прийти к этой цели. Зачастую используется Кулоновская калибровка.