Уравнения Пуассона и Лапласа

и при отсутствии свободных зарядов (Gauss law) because .

Для линейного диэлектрика

Laplace’s equation

В общем случае и для линейного диэлектрика

Poisson’s equation

is Laplace operator.

Мы говорим только о статических полях, которые не зависят от времени. В противном случае эти уравнения не работают, более того, потенциала просто не существует.

Если диэлектрическая проницаемость не постоянна, мы можем разделить нашу систему на несколько (линейная диэлектрическая проницаемость постоянна и не зависит от напряженности поля или смещения) систем и рассмотреть отдельно.

3. Electrostatic Energy (Электростатическая энергия)

Сила в электрическом поле:

Работа (от механики):

Определение разности потенциалов:

Для бесконечно удаленной точки "а":

Работа выполняется электрическим полем без какой-либо внешней силы. Это изолированная система.

Energy conservation law Закон сохранения энергии (общая энергия не может быть изменена):

(W – potential energy, A – work).

Но что именно делает работа? Эта работа в изолированной системе (где существуют только заряды и электрическое поле) преобразуется в потенциальная энергию, если нет других участников всего этого события.

Итак, у нас есть:

Но если существует внешняя сила, которая перемещает заряд и движется так, что скорость заряда постоянна (или скорость на старте = скорость в конечной точке), то изменения кинетической энергии не происходит. В этом случае внешняя сила, приложенная к электрическому заряду, выглядит следующим образом (равна, но с противоположным знаком): . И в конце концов мы получаем то же самое отношение: .

Virtual experiment. (Эксперимент по нахождению энергии системы)

Рассмотрим три точки P₁, P₂ и P₃ в свободном от заряда пространстве. Точечные заряды Q₁, Q₂ и Q₃ переносятся из бесконечности в эти точки, respectively and in turn (соответственно и по очереди).

Никакой работы по переносу точечного заряда Q₁ из бесконечности в точку P₁ не выполняется (потому что вначале не было электрического поля). Тогда у нас есть

U₂₁ потенциал индуцированный в точке P₂ из-за Q₁,

U₃₁ потенциал индуцированный в точке P₃ из-за Q₁,

U₃₂ потенциал индуцированный в точке P₃ из-за Q₂.

Если мы хотим найти потенциал в любой точке, нам нужно суммировать потенциалы, которые индуцируются всеми зарядами.

Теперь мы перевернем этот эксперимент и перейдем к началу заряда Q₃, затем Q₂, затем Q₁.

U₂₃ потенциал индуцированный в точке P₂ из-за Q₃,

U₁₂ потенциал индуцированный в точке P₁ из-за Q₂,

U₁₃ потенциал индуцированный в точке P₁ из-за Q₃.

И если мы добавим два уравнения, то получим:

U₁ потенциал индуцированный в точке P₁ из-за Q₂ и Q₃,

U₂ потенциал индуцированный в точке P₂ из-за Q₁ и Q₃,

U₃ потенциал индуцированный в точке P₃ из-за Q₁ и Q₂.

Следствия

В общем случае:

Если заряды распределены по пространству:

для пространственных зарядов (U – функция, потому что она каким-то образом распределена по пространству, где мы интегрируем). Эти заряды действительно могут существовать.

для поверхностных зарядов (например, проводящий электрод)

для линейных зарядов (этого не существует в нашем мире, потому что мы не можем сжать заряды в бесконечно тонкую линию, но на практике у нас могут быть ПОЧТИ линейные заряды (линии передачи энергии – провода), и мы можем аппроксимировать это как тонкую линию? но плохие последствия могут произойти из–за приближения - это может дать нам бесконечное W_e, и мы не сможем его вычислить)

Подставляя в выражение энергию зарядов, распределенных в объеме (теперь это не только электростатическое поле, но и в электрическом поле это следствие тоже работает):

(для любого поля)

Применение Gauss theorem (not Gauss law for field! по-русски это формула Остроградского - Гаусса) to the first term:

У нас есть статическая система, которая ограничена (не бесконечно). Итак, у нас есть точка, которая очень далека от системы. До сих пор эта система могла казаться точкой (может быть точкой заряда, а может и нет). И если мы движемся в бесконечность, то наш потенциал и смещение, вызванные этой точкой, обратно пропорциональны радиусу.

Площадь сферической поверхности

Э нергия:

В итоге имеем:

Кроме того, мы можем сделать кое-какой вывод (но это своего рода sumption [предположение]). Нельзя говорить, что мы выделим в области объём, и там будет какая-то энергия. Энергия W_E=Q*U говорит нам, что на самом деле энергия концентрируется в заряде, а через объёмную плотность энергии формула говорит, что энергия концентрируется вокруг заряда. Что из этого правильно и нет – может быть потом он расскажет, а может и нет.

Энергия на единицу объема (объемная плотность электрической энергии):

Для изотропной среды: