
- •1. Electrostatic field. Coulomb’s law. Gauss law (Электростатическое поле. Закон Кулона. Закон Гаусса)
- •Variables and units
- •Закон Кулона
- •Напряжённость электрического поля
- •Закон Гаусса
- •2. Poisson’s and Laplace’s equations for the potential of electric field (Уравнения Пуассона и Лапласа для потенциала электрического поля) Electric Potential. (Электрический потенциал)
- •Уравнения Пуассона и Лапласа
- •3. Electrostatic Energy (Электростатическая энергия)
- •Virtual experiment. (Эксперимент по нахождению энергии системы)
- •Следствия
- •4. Power and Joule’s Law (Энергия и закон Джоуля-Ленца)
- •5. Continuity Equation (Уравнения непрерывности)
- •6. Electric field induced by the charged wire placed above the flat boundary between two different dielectrics.
- •Image method for the flat boundary between magnetic media (Метод изображений для плоской границы между магнитными носителями)
- •8. Static magnetic field. Biot–Savart’s Law. Ampere’s Law (Статическое магнитное поле. Закон Био–Савара. Закон Ампера)
- •Variables and units (Переменные и единицы измерения)
- •Main Relations (Основные соотношения)
- •Magnetic flux density (Индукция магнитного поля)
- •Закон Био-Савара
- •Ampere’s law (Закон полного тока)
- •Разрез в пространстве
- •Laplace equation for the scalar magnetic potential (Уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала)
- •10. Vector magnetic potential. Inductance (Векторный магнитный потенциал. Индуктивность)
- •Vector magnetic potential (Векторный магнитный потенциал)
- •Magnetic flux (Магнитный поток)
- •Differential equation for the vector magnetic potential (Дифференциальное уравнение для векторного магнитного потенциала)
- •Gauging of the vector magnetic potential (Калибровка векторного магнитного потенциала)
- •Integral presentation of the vector magnetic potential (Интегральное представление векторного потенциала)
- •Индуктивность
- •Mutual inductance (Взаимная индуктивность)
- •Inductance of thin contours (Индуктивность тонких контуров)
- •12. Internal inductance of a thin conductor (Внутренняя индуктивность тонкого проводника) Flux linkage of a thin current layer (Потокосцепление тонкого слоя с током)
- •Internal inductance of a thin conductor (Внутренняя индуктивность тонкого проводника)
- •13. Inductance of a two wire transmission line (Индуктивность двухпроводной линии).
- •14. Variable separation method in a cylindrical coordinate system (Метод разделения переменных в цилиндрической системе координат).
- •Angular function (Угловая функция)
- •Radial function (Радиальная функция)
- •General solution of the Laplace’s equation in a cylindrical coordinate system (Общее решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат)
- •15. The Faraday’s law (Закон электромагнитной индукции)
- •Lenz’s Law (правило Ленца)
- •Induction by a temporal change of b (Индукция за счёт временного изменения b)
- •16. Induction through the motion of a conductor (Индукция за счет движения проводника).
- •17. Induction by simultaneous temporal change of b and motion of the conductor (Индукция одновременным изменением b во времени и движением проводника).
- •18. Unipolar generator (униполярный генератор).
- •19. Hering’s paradox (Парадокс Геринга)
- •20. Diffusion of magnetic fields into conductors (Распространение электромагнитного поля в проводнике)
- •21. Periodic electromagnetic fields in conductors. (Периодическое электромагнитное поле в проводниках)
- •Penetration of the electromagnetic field into a conductor. (Проникновение электромагнитного поля в проводник)
- •The skin effect. (Скин-эффект)
- •22. Poynting theorem. (Теорема Пойнтинга) Electromagnetic Field Energy. (Энергия электромагнитного поля)
- •The rate of decrease of the electromagnetic field energy in a closed volume. (Скорость уменьшения энергии электромагнитного поля в замкнутом объёме)
- •Transmission of energy in a dc line (Передача энергии в линиях постоянного тока)
- •The field picture near the wires with current (Картина поля вблизи провода с током)
- •25. Energy flows in static electric and magnetic fields (Поток энергии в статических электрических и магнитных полях).
- •26. The reduced magnetic potential (Редуцированный магнитный потенциал). Reduced scalar magnetic potential (Редуцированный скалярный магнитный потенциал)
- •Combination of scalar magnetic potential and reduced magnetic potential (Комбинация скалярного магнитного потенциала и редуцированного магнитного потенциала)
- •27. Classification of numerical methods of the electromagnetic field modeling (Классификация численных методов моделирования электромагнитного поля). (Классификация численных методов)
- •Classification of the problems (Классификация проблем)
- •Classification of the methods (Классификация методов)
- •28. Method of moments (Метод моментов)
- •Discretization of the problem domain (Дискретизация проблемной области)
- •Algebraic equation system (Алгебраическая система уравнений)
- •29. Finite element method (Метод конечных элементов)
- •30. Finite functions (Ограниченная функция – отлична от нуля только в пределах треугольника)
- •Simplex coordinates
- •Approximation of functions inside triangles (Аппроксимация функций внутри треугольника)
- •Approximation of the equation (Аппроксимация уравнения)
- •31. Weighted residual method (метод взвешенных невязок)
- •32. Weak formulation of the electromagnetic field modeling problem (ослабленная формулировка постановки задачи моделирования электромагнитного поля)
- •33. Boundary conditions in electric and magnetic fields (Граничные условия в электрических и магнитных полях)
- •1) First type boundary conditions (Первый тип граничных условий)
- •34. Main equations of electromagnetic field in integral form. (Основные уравнения электромагнитного поля в интегральной форме)
- •35. Main equations of electromagnetic field in differential form. (Основные уравнения электромагнитного поля в дифференциальной форме)
- •36. Electric field of a point charge (Электрическое поле точечного заряда)
- •37. Electric field of a uniformly charged sphere (Электрическое поле равномерно заряженной сферы)
- •38. Flat capacitor. Field. Surface charge. Capacity. (Плоский конденсатор. Поле. Поверхностный заряд. Вместимость.)
- •39.2 Inductance of a cylindrical coil with the rectangular cross section(Индуктивность цилиндрической катушки прямоугольного сечения).
- •4 0.1 Electric field induced by charged line placed above conducting surface (Электрическое поле, создаваемое заряженной линией, помещенной над проводящей поверхностью).
Discretization of the problem domain (Дискретизация проблемной области)
Мы должны разделить кирпич на основные элементы (тетраэдры, призмы или параллелепипеды)
Algebraic equation system (Алгебраическая система уравнений)
Намагниченность каждого элемента считается постоянной (самый простой подход). Более сложные схемы аппроксимации не используются.
Для формирования системы уравнений используется метод коллокаций (мы должны выбрать некоторую центральную точку внутри элемента, и магнитное поле, индуцируемое всеми частями магнитной системы, вычисляется только для этой центральной точки. И затем предполагается, что везде внутри элемента напряженность магнитного поля имеет одинаковое значение)
29. Finite element method (Метод конечных элементов)
Основные этапы:
Постановка задачи – область задачи, уравнение, граничные условия, свойства материала.
Дискретизация проблемной области.
Аппроксимация неизвестной функции.
Аппроксимация решаемого уравнения и граничных условий.
Решение системы алгебраических уравнений (в общем случае – нелинейных).
Постобработка.
Discretization (Дискретизация)
Выбор
типа элемента
Node – узел (точка, вершина)
Примеры сетки (треугольники и
четырехугольники)
Линейная
аппроксимация
Количество свободных параметров остается прежним!
В принципе, мы можем выразить коэффициенты a, b, c в терминах узловых потенциалов U1, U2, U3
В линейном приближении вершины совпадают с узловыми.
30. Finite functions (Ограниченная функция – отлична от нуля только в пределах треугольника)
Конечная функция внутри треугольника может иметь разные зависимости. Все зависит от величины узлового потенциала.
Существуют три совершенно особые конечные функции:
Конечная функция, связанная с первым узлом:
Аналогичные соотношения справедливы для 2 других конечных функций.
Конечные функции для треугольников = симплексные координаты (координаты – потому что каждая точка внутри треугольника может быть описана определенным значением конечных функций, поэтому поведение этих функций аналогично координатам).
Simplex coordinates
Двумерные симплексные координаты:
Другим
определением положения точки является
набор симплексных координат
На самом деле только 2 из 3 симплексных координат независимы:
Общее соотношение для симплексных координат:
Approximation of functions inside triangles (Аппроксимация функций внутри треугольника)
Аппроксимируемая функция - это потенциальная: U(x, y)
Напряженность
электрического поля
Потенциал
внутри треугольника (знак волны
означает ‘Апроксимацию’):
Конечная функция:
Аппроксимация напряженности поля:
Approximation of the equation (Аппроксимация уравнения)
Потенциал внутри треугольника (знак волны означает ‘Апроксимацию’):
Конечная функция:
Уравнение:
Если мы
подставим аппроксимацию потенциала в
это уравнение, мы полностью потеряем
информацию, потому что
31. Weighted residual method (метод взвешенных невязок)
Этот метод используется для решения различных задач, и идея, лежащая в основе этого метода, нетривиальна. Давайте обратимся к исходному уравнению:
Давайте
выберем некоторую произвольную функцию
ψ (x, y)
(мы можем выбрать некоторую произвольную
функцию, которую в будущем мы будем
называть взвешенной функцией). Очевидно,
что если правое исходное уравнение
равно нулю, то произведение этого
оператора Лапласа и весовой функции
будет равно нулю.
Теперь давайте интегрируем это произведение по области s (это s соответствует всей проблемной области)
Также необходимо помнить, что мы говорим о методе конечных элементов и всех конечных функциях, и, следовательно, эти взвешенные функции также будут ограничены определенным элементом, они будут равны нулю вне рассматриваемого элемента и будут отличны от нуля внутри них. Вот почему на первый взгляд (взгляд) этот интеграл очень сложен, его следует интегрировать по широкой области, но на практике он всегда должен интегрироваться в очень маленькой области, которая ограничена рассматриваемыми элементами.
В зависимости от выбора весовых функций существуют различные методы взвешенных невязок, однако, наш выбор – метод Галеркина.
Это исходное уравнение, и это верно только потому, что лапласиан потенциала равен нулю. Очевидно, что лапласиан такого приближения не обязательно будет равен нулю, он может отличаться от нуля, поэтому интеграл от произведения весовой функции Лапласа и после интегрирования даст нам так называемый ‘взвешенный остаток’ – R:
Итак, идея метода Галеркина – это особый выбор весовых функций:
для использования метода взвешенных остатков;
использовать аппроксимационные функции для взвешивания:
чтобы установить остатки равными нулю; Rj=0
применить процедуру интегрирования по частям к интегралу (слабая формулировка)
Давайте предположим, что весовая функция совпадает с конечной функцией, которая соответствует только этому треугольнику, конечно, существуют три разные функции, поэтому для каждого треугольника мы должны использовать три весовые функции. Второе предположение, установить остатки равными нулю, очевидно, мы можем выбрать аппроксимацию потенциала таким образом, чтобы остаток действительно был равен нулю, не потому, что лапласиан потенциала равен нулю, а потому, что произведение этого потенциала и весовой функции после интегрирования даст ноль. А теперь давайте применим процедуру интегрирования по частям к интегралу.
Действительно, если мы непосредственно вычислим этот интеграл, используя аппроксимацию потенциала, мы можем получить точный ноль (ноль будет равен нулю), поэтому, чтобы избежать этой трудности, можно использовать некоторое математическое преобразование, которое называется интегрированием по частям. Очень важная часть метода Галеркина заключается в том, что прямолинейное вычисление интеграла такого вида даст нам нулевой ответ только потому, что вторая производная от полинома первого порядка всегда равна нулю, и таким образом мы не сможем найти решение. Для того, чтобы преодолеть эту сложность в методе Галеркина предполагается провести идентичное преобразование – интегрирование по частям.