- •Н.Э. Самойленко а.Б. Антиликаторов Основы автоматики и системы автоматического управления:
- •Учебное пособие
- •Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
- •Введение
- •Основные понятия
- •1.1. Структура сау
- •1.2. Классификация сау
- •Программы и законы управления
- •1.4. Основные элементы автоматики
- •Статические характеристики элементов сау
- •1.6 Динамические характеристики элементов
- •Линейные динамические звенья сау
- •2.1. Основные характеристиеи лдз
- •2.2. Временные и частотные характеристики
- •2.3 Основные типы лдз
- •2.4. Способы соединения звеньев сау
- •3. Устойчивость линейных систем
- •Понятие устойчивости
- •3.2. Математическая постановка задачи
- •Оценка устойчивости сау по корням
- •3.3. Алгебраический критерий устойчивости
- •3.4. Частотные критерии устойчивости сау
- •4. ЦИфровые системы автоматики
- •4.1. Определение дискретной системы.
- •4.2 Методы математического описания
- •Разностные уравнения вход-выход.
- •2)Описание линейной системы при помощи взвешенной временной последовательности
- •3)Описание линейной системы при помощи разностных уравнений в переменных системах.
- •4.3 Прохождение непрерывного сигнала через
- •4.5 Некоторые свойства z-преобразования
- •Теорема о начальном значении. Предположим, что задано z – преобразование f(z) и требуется определить начальные значения f(0) последовательности.
- •Синтез дискретных систем
- •4.8 Простейшие дискретные линейные системы и цифровые фильтры
- •Нерекурсивный фильтр
- •5. Описание систем радиоавтоматики
- •5.1. Системы частотной автоподстройки
- •5.2. Системы фазовой автоподстройки
- •5.3. Системы слежения за временным положением импульсного сигнала
- •5.4. Угломерные следящие системы
- •5.5. Обобщенные функциональные и структурные схемы радиотехнических следящих систем
- •5.6. Системы автоматической регулировки усиления
- •6. Содержание учебной дисциплины
- •Раздел 1. Введение ( 2 часа)
- •Раздел 2. Основные понятия теории управления и сау ( 2 часа)
- •Раздел 3. Линейные сау ( 12 часов)
- •Раздел 4. Нелинейные сау (6 час.)
- •Раздел 5. Цифровые сау (6 часов)
- •Раздел 6. Оптимальные сау (4 часа)
- •Раздел 7. Перспективы развития сау (2 часа)
- •7. Исследование динамических
- •Лабораторный практикум
- •7.1. Общие указания
- •7.2. Лабораторная работа №1. Исследование линейных динамических звеньев сар
- •Лабораторно-практические задания и методические указания по их выполнению
- •Лабораторные задания и методические указания по их выполнению
- •Работе №1
- •7.3. Лабораторная работа № 2.
- •Лабораторные задания и методические указания по их выполнению
- •Контрольные вопросы по лабораторной работе №2
- •7.4.Лабораторная работа № 3. Исследование устойчивости сар
- •Математическая модель исследуемой системы
- •Лабораторные исследования влияния дополнительных звеньев на устойчивость простейших систем
- •Контрольные вопросы по лабораторной работе №3
- •7.5 Лабораторная работа №4. Исследование сар по их нелинейным моделям
- •Модель системы
- •Лабораторно-практическое задание и методические указания по его выполнению
- •Лабораторное задание и методические указания по его выполнению
- •8. Синтез дискретной сар на основе аналогового прототипа. Курсовая работа
3.2. Математическая постановка задачи
Математически САУ будет устойчивой, если
lim xсв(t)=0 , (3.2)
t
в противном случае система неустойчива.
Свободное движение системы описывается дифференциальным уравнением , которое для линейных САУ имеет вид
= 0, (3.3)
где коэффициенты аi постоянны (i=1,...,n). Решение дифференциального уравнения (3.3) имеет вид:
хсв(t)= c 1 exp(p1t) + c 2 exp(p2t) +...+ c n exp(pnt) (3.4)
где ci , i=1,…,n постоянные интегрирования, которые определяют из начальных условий, а рi , i=1,…,n - корни характеристического уравнения САУ.
Характеристическое уравнение системы имеет вид:
a 0 р n + a 1 р n-1 +...+ a n-1 р + а n = 0 . (3.5)
В зависимости от вида корней уравнения (3.5) переходный процесс будет затухающим или расходящимся и, соответственно, система будет устойчивой или неустойчивой.
Оценка устойчивости сау по корням
характеристического уравнения
При оценке устойчивости необходимо рассмотреть три возможных случая.
1. Корни вещественны.
2. Пары комплексно-сопряженных корней.
3. Корни чисто мнимые.
Если все корни вещественные и отрицательные, то есть
р i = - i, i= 1,…,n, άi >0
в этом случае
хсв(t) . (3.6)
Если все корни вещественные и отрицательные, то каждое слагаемое хсв в формуле (3.6) стремится к нулю при t и, следовательно, хсв(t) 0, то есть необходимое и достаточное условие устойчивости (3.2) выполнено и САУ устойчива.
Если все корни вещественные, но среди них имеется хотя бы один положительный корень р к = к 0 , то соответствующее ему слагаемое в (3.6) будет иметь вид ск exp(кt) и будет стремиться к при t.
При этом, хотя все слагаемые в хсв(t) , кроме одного, будут затухать, переходный процесс САУ в целом будет расходящимся, а САУ - неустойчивой.
Если все корни вещественные, отрицательные и есть пара комплексно- сопряженных корней р k =-+j . р k+1=--j. Тогда комплексным корням в Хсв(t) соответствуют слагаемые А= ск exp[-(-j)t] и B= ск exp[-(+j)t]. C учётом формул Эйлера можно записать
А+В= De-a tsin(t+). (3.7)
Сумма слагаемых, соответствующих комплексно-сопряжённым корням, представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой и амплитудой De-a t.
Параметр - это параметр затухания огибающей k – кривой переходного процесса.
при 0
Рис. 3.4
при >0
Рис. 3.5
Таким образом, если действительная часть комплексного корня , САУ устойчива, в противном случае - нет.
В случае чисто мнимых корней и р к =j . р k+1=-j.
Составляющая, соответствующая данным корням в хсв(t) имеет вид
скexp(j)+скexp(-j)=Аsin(t+). (3.8)
Таким образом, имеем незатухающие колебания с угловой частотой и постоянной амплитудой А (рис. 3.6).
Рис. 3.6
Таким образом, можно сформулировать критерий устойчивости для устойчивости линейных САУ необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения (3.5) были отрицательными.
Re(Pi)
Рис. 3.7
Eсли хотя бы один вещественный корень или вещественная часть хотя бы одной пары комплексных корней положительны, то переходный процесс будет расходящимся и САУ будет неустойчивой.
Наглядно графически необходимые и достаточные условия устойчивости САУ можно представить, изобразив корни (3.5) в комплексной плоскости.
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно чтобы все корни лежали в левой полуплоскости (рис. 3.7). Если корни находятся на мнимой оси, то говорят, что САУ находится на границе устойчивости.
На практике большинство САУ являются нелинейными, то есть реальные характеристики звеньев и реальные дифференциальные уравнения приходится приближенно заменять линейными. Закономерность такого подхода обосновал Ляпунов.
Справедливы три теоремы линеаризации.
Если линеаризованная система устойчива, то
устойчива исходная нелинейная система.
Если линеаризованная система неустойчива, то
неустойчива исходная нелинейная система.
Если линеаризованная система находится на границе
устойчивости, то для определения устойчивости исходной нелинейной системы нужно провести дополнительные исследования с целью проверки lim xсв(t)=0.
t