4. ЦИфровые системы автоматики

4.1. Определение дискретной системы.

Разностные уравнения

Входные и выходные сигналы непрерывных систем являются функциями непрерывного времени t.

Если независимая переменная t принимает только конечное множество значений , то сигнал называется дискретным. Формирование дискретного сигнала можно представить себе следующим образом (рис.4.1).

Рис. 4.1

g(t)

Пусть имеется ключ Кл (рис. 4.1), который включается на очень короткий промежуток времени . Если на вход такого ключа подать непрерывный сигнал g(t), то на его выходе образуется последовательность импульсов g*(t).

Причём величена (амплитуда) каждого из импульсов, будет равна амплитуде непрерывного сигнала в дискретные моменты . В дальнейшем принимают, что интервал , (называемый интервалом или шагом дискретизации по времени) является постоянным =const. Поэтому для интервала наблюдения имеем:

;

где К – целое число.

Ключ по существу является импульсным амплитудным модулятором непрерывного сигнала и называется импульсным элементом. Известно, что непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями, а дискретные – разностными уравнениями.

Понятие разностного уравнения поясним на следующем примере. Предположим, что нам необходимо вычислить интеграл:

(4.1)

Предположим, что подынтегральная функция не интегрируемая в замкнутом контуре. Тогда обычный прием интегрирования заключается в том, что функция u(t) апроксимируется кусочно-постоянной функцией (t) (рис. 4.2), причём

,

(4.2)

Формула (4.2) требует запоминания всех прежних значений сигнала для того, чтобы определить значение интеграла в данный момент . Гораздо более простой способ состоит в том, что вначале находят:

, (4.3)

а затем вычисляют выражение для разности (4.2) и (4.3):

(4.4)

или

(4.5)

Согласно (4.5), необходимо запомнить только предыдущее значение интеграла и его значение в данный момент времени, чтобы определить значение интеграла в последующий момент .

Выражение (4.5) является разностным уравнением 1-го порядка.

Алгоритм его решения заключается в следующем:

1) запоминается начальное условие: y(0)=0 – начальная сумма;

2) формулу (4.5) применяют последовательно для значений к = 0, 1, 2, …, то есть:

…………….

На каждом шаге этого итерационного процесса каждое последующее значение выхода вычисляют сложением его предыдущего значения c предыдущем значением выхода , умноженным на .

В общем случае линейное разностное уравнение имеет вид:

(4.6)

Для того, чтобы при помощи этой формулы вычислить , необходимо запомнить предыдущие значения выхода

и входа ,

а затем выполнить указанные действия умножения и сложения.