4.2 Методы математического описания
дискретных систем
Дискретные системы, также как и непрерывные системы, имеют три формы математического описания во временной области в виде:
-разностных уравнений входа-выхода, являющихся аналоговым дифференциальным уравнением;
-взвешенной временной последовательности, являющейся аналогом описания непрерывных систем при помощи импульсной переходной функции;
-разностных уравнений в переменных состояниях, являющихся аналогом описания дифференциальных уравнений в переменных состояниях для непрерывных систем [3].
Разностные уравнения вход-выход.
Понятие разностного уравнения введено ранее (см. уравнение (4.6)). При этом его приводят к виду:
(4.7)
Число y(k)
характеризует выход в момент
(шаг дискретности
обычно опускают). Числа y(к-1),
y(к-2)
характеризуют вход в дискретные моменты к, к-1,…и так
далее (они также хранятся в памяти). Уравнение (1.7) называют рекурсивным, или разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным.
2)Описание линейной системы при помощи взвешенной временной последовательности
Для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, очень важным и удобным является понятие импульсной переходной функции (ИПФ).
ИПФ для непрерывной системы определяют как её реакцию на дельта-функцию. Она имеет вид некоторой непрерывной функции.
В дискретных системах в случае входного воздействия в виде дельта-функции получается последовательность чисел, а не непрерывная функция времени. Рассмотрим систему, описываемую разностным уравнением (4.7), находившуюся в состоянии покоя до момента приложения входного воздействия, то есть y(k)=0 при k = -1, -2; …
Пусть:
(4.8)
где
- дельта-последовательность.
Положив в уравнении
(4.7)
и обозначив получающуюся реакцию через
h(k),
можно записать:
(4.9)
Взвешенную временную последовательность h(k) называют весовой. Вычисление h(k) по уравнению (4.9) проведём следующим образом.
Полагая, что h(k) = 0, k < 0, получим:
(4.10)
Рассмотрим
теперь общий случай, когда входная
функция представляет собой сумму
-последовательностей,
приложенных в моменты k=0,
1, 2, …, то есть:
или
(4.11)
Тогда на основании принципа суперпозиции регулируемая переменная системы будет равна сумме реакций, вызванных сигналами: u(0), u(1),…,u(k):
или 
(4.12)
Таким образом, если на вход системы, находящейся в покое, подана временная последовательность чисел – u(0), u(1),…, то временная последовательность на выходе:
.
(4.13)
После замены переменной m = k-j
(4.14)
Выражения (1.13) и (1.14) являются аналогами интеграла свёртки для непрерывных систем.