Нерекурсивный фильтр

Разностное уравнение для нерекурсивного фильтра первого порядка имеет вид:

(4.66)

Z-передаточная функция, соответствующая (4.67):

(4.67)

Схема ДЛС, соответствующая (4.68), приведена на рис. 4.17.

Рис. 4. 17

Координаты нуля находятся из уравнения:

=0, (4.68)

откуда . (4.69)

Нули и полюсы D(Z) связаны со спектральными свойствами ДЛС: полюсы определяют максимумы спектра (резонансные частоты), а нули связаны с минимумами амплитудного спектра (антирезонансы).

Рис. 4. 18 Рис. 4. 19

Фильтр является абсолютно устойчивым, так как полюс находится в нуле. Признаком устойчивости фильтра является расположение его полюсов внутри единичной окружности (рис. 4. 18). Отклик системы на единичный импульс, описываемый выражением:

, (4.70)

изображен на рис. 4.19.

Комплексный коэффициент передачи аналогового прототипа фильтра:

, (4.71)

Рис. 4.20

Для АЧХ фильтра из (4.71): найдем

(4.72)

Рассмотрим некоторые частные случаи для АЧХ (4.72), представленные на рис. 4.20.

1. .

Ход xарактеристики при изменении относительной частоты от 0 до напоминает дифференцирующую цепь.

2. .

Ход характеристики при тех же значениях частоты напоминает плохой интегратор.

Характерно, что фильтр имеет значение «чистого нуля» на некоторых частотах.

При высокой крутизне S_py РХ и большой инерционности ФНЧ можно считать, что система АРУ поддерживает постоянной суммарную мощность сигнала и шума на выходе усилителя.

Это свойство усилителя с АРУ используется анализе характеристик дискриминаторов радиотехнических следящих систем [1].

5. Описание систем радиоавтоматики

5.1. Системы частотной автоподстройки

Системы частотной автоподстройки применяются в возбудителях (синтезаторах частоты) радиопередатчиков для стабилизации несущей (средней) частоты, в радиоприемниках для поддержания постоянства промежуточной частоты,

используются в качестве перестраиваемых узкополосных следящих фильтров и демодуляторов сигналов с частотной модуляцией в приемниках с обратной связью по частоте.

Рассмотрим часть упрощенной функциональной схемы супергетеродинного приемника (рис. 5.1).

Для стабилизации промежуточной частоты сигнала в приемнике используется система ЧАП. Входной сигнал U_c(t) преобразуется в смесителе (СМ) на промежуточную частоту, усиливается усилителем промежуточной частоты (УПЧ) и поступает на последующие каскады приемника (детектор, усилитель низких частот).

Рис. 5.1

При отсутствии системы автоподстройки нестабильность частот входного сигнала и гетеродина (ПГ) приводит к уходу промежуточной частоты сигнала за пределы полосы пропускания УПЧ и нарушению нормальной работы приемника. Система ЧАП, включаемая в состав приемника для устранения этого явления, работает следующим образом. Напряжение с выхода УПЧ подается на частотный дискриминатор (ЧД). При появлении отклонения  промежуточной частоты сигнала от ее номинального значения, совпадающего с центральной частотой УПЧ, на входе ЧД возникает напряжение, зависящее от величины и знака отклонения . Выходное напряжение ЧД, пройдя через фильтр низких частот (ФНЧ), поступает на подстраиваемый генератор (ПГ) и изменяет его частоту, а следовательно, и промежуточную частоту сигнала так, что исходное рассогласование  уменьшается.

Таким образом, в результате работы системы ЧАП промежуточная частота сигнала поддерживается близкой к центральной частоте УПЧ, что позволяет сузить полосу УПЧ и повысить качество приема.

Системы ЧАП применяются и в доплеровских измерителях скорости движения объектов в качестве фильтра, отслеживающего изменения частоты отраженного объектом (радиолокационного) сигнала. В этом случае параметры системы ЧАП выбираются так, чтобы колебания ПГ отслеживали медленные изменения частоты полезного сигнала и слабо реагировали на сравнительно быстрые изменения его частоты, обусловленные действием помех.

При выполнении этих требований частота колебаний ПГ изменяется в соответствии с изменением частоты полезного сигнала. В то же время колебания ПГ имеют значительно меньшую глубину шумовой частотной модуляции (ЧМ) и более узкий спектр, чем результирующее колебание на входе и могут поэтому рассматриваться как результат фильтрации системой ЧАП полезного сигнала из смеси с помехами. Полоса пропускания построенного таким способом автоматически перестраиваемого по частоте фильтра зависит от быстродействия системы ЧАП и может составлять единицы и доли герц. Дальнейшее сужение полосы пропускания ограничивается появлением ошибок в воспроизведении изменений частоты полезного сигнала.

Однако в данном случае теряется информация об амплитуде и начальной фазе сигнала. Частота колебаний ПГ при безошибочной работе системы ЧАП отличается от

частоты сигнала на постоянную величину, равную номинальному значению промежуточной частоты _пр0; этот сдвиг при измерении частоты полезного сигнала не играет роли, поскольку заранее известен и может быть легко учтен при обработке результатов измерения.

Система ЧАП, изображенная на рис. 5.1, является замкнутой системой автоматического управления. Ее можно рассмотреть как систему стабилизации промежуточной частоты сигнала, в которой задающим воздействием является номинальное значение этой частоты, или как следящую систему, в которой задающим воздействием является значение частоты входного сигнала. При анализе поведения системы ЧАП последний подход оказывается более удобным.

Для анализа свойств системы ЧАП (устойчивости, быстродействия, точности слежения и др.) необходимо располагать ее математическим описанием. Для его получения нужно подробнее познакомиться с отдельными элементами системы ЧАП.

Во многих случаях скорость протекания переходных процессов в резонансных контурах СМ, УПЧ, ЧД, а также в нагрузке ЧД много выше, чем в ФНЧ. При этом СМ, УПЧ и ЧД можно считать безынерционными элементами по отношению к изменению частоты сигналов, поступающих на их входы.

Преобразование частоты описывается соотношением:

_пр = _с - _г, (5.1)

где _пр - промежуточная частота на выходе смесителя, _с - частота сигнала, _г - частота подстраиваемого генератора.

Отклонение  промежуточной частоты от ее номинального значения _пр0 составляет величину

 = _пр - _пр0 . (5.2)

При условии безынерционности УПЧ частоты сигналов на его входе и выходе совпадают.

В качестве ЧД системы ЧАП используются дискриминаторы с расстроенными контурами, с фазовым детектированием и другие, которые применяются и для демодуляции ЧМ колебаний.

Различие терминов частотные детекторы и частотные дискриминаторы связано с их применением либо для демодуляции ЧМ колебаний, либо в составе систем ЧАП и не является принципиальным.

Выходное напряжение ЧД при действии на его входе сигнала и внутреннего шума приемника можно представить в виде суммы математического ожидания (среднего значения) и центрированной случайной составляющей

U_д(t) = M[U_д(t)] + (t, ) = F() + (t,), (5.3)

где M[U_д(t)] = F() - математическое ожидание выходного напряжения, зависящее от расстройки ; М - обозначение операции вычисления математического ожидания; (t, ) - флюктуационная составляющая напряжения U_д (t);  = _пр - _п - расстройка промежуточной частоты _пр сигнала по отношению к переходной (центральной) частоте _п дискриминатора.

Зависимость F() математического ожидания выходного напряжения ЧД от расстройки  называют дискриминационной характеристикой (ДХ). Типичная ДХ ЧД показана на рисунке 5.2.

Вид функции F(), а также характеристики случайного процесса t, зависят от типов и параметров УПЧ и ЧД, отношения сигнал-шум в полосе УПЧ, наличия и характера флюктуаций сигнала и от других факторов.

При малых рассогласованиях  дискриминационная характеристика линейна и F() = S_д (S_д – крутизна). Переходную частоту _п стремятся сделать равной _пр0 для того, чтобы на выходе дискриминатора формировалось напряжение, зависящее от величины отклонения  промежуточной частоты от ее номинального значения _пр0.

Рис. 5.2

При этом, как следует из (5.2) и (5.4), выполняется равенство  однако изменение источника напряжений, температуры, давления, влажности приводят к тому, что часто-ты _пр0 и _п могут различаться на некоторую величину, харак-теризующую нестабильность переходной частоты дискримина-тора. Тогда

_п = _пр0 + . (5.5)

Из (5.2), (5.4), (5.5) следует, что связь между расстройками  и  определяется равенством:

 = _пр - _п =  - , (5.6)

ФНЧ, включаемый на выходе ЧД, является, как правило, линейным устройством и описывается линейным дифференциальным уравнением, которое для однозвенного RC-фильтра имеет вид:

86

, (5.7)

где Т_ф = RC - постоянная времени фильтра, U_ф(t) - напряжение на выход фильтра.

Уравнение (5.7) можно записать в операторной форме (p=d/dt):

(Т_ф p +1) U_ф(t) = U_д(t), или

, (5.8)

где К_ф(p) - операторный коэффициент передачи фильтра (ОКП).

Вид ОКП К_ф(p) и параметры ФНЧ системы ЧАП зависят от ее назначения.

ФНЧ систем ЧАП радиолокационных приемников обычно содержат интеграторы.

Довольно часто используют фильтры, содержащие два интегратора. ОКП таких фильтров К_ф(p)=R_u2(1+T₁p)/p². Вид ОКП ФНЧ существенно влияет на свойства системы ЧАП.

Типичным примером ПГ является транзисторный LC – автогенератор с варикапом в колебательном контуре. Перестройка частоты осуществляется за счет изменения барьерной емкости варикапа под действием напряжения смещения U_ф, поступающего с выхода ФНЧ.

Зависимость частоты ПГ (рис. 2.3) от управляющего напряжения, поступающего с выхода ФНЧ системы, называют регулировочной характеристикой (РХ).

_гмакс - величина максимально возможного изменения частоты генератора под действием управляющего напряжения.

Рис.5.3

При малых величинах напряжения U_ф регулировочная характеристика линейна и описывается выражением:

_г = _гс + S_p U_ф, (5.9)

где S_p - крутизна, _гс - значение собственной частоты генератора при отсутствии управляющего напряжения.

Собственная частота генератора _гс с учетом ее нестабильности _гс определяется выражением:

_гс = _г0 + _гс = _с0 - _пр0 + _гс (5.10)

где _г0, _с0 - номинальные значения частот ПГ (гетеродина) и сигнала.

Соотношения (5.1)-(5.10) описывают процесс управления в системе ЧАП.

Структурная схема системы автоматического управления - такая схема, в которой каждой математической операции, описывающей процесс управления, соответствует определенное звено. Структурная схема является формой представления математического описания системы и удобна для ее анализа.

Структурная схема системы ЧАП, построенная на основании (5.1)- (5.10) имеет вид, показанный на рис. 5.4.

Рис. 5.4

Сумматор изображен в виде кружка, разделенного на секторы. Затененный сектор сумматора отображает операцию вычитания. Если при исследовании системы ЧАП ввести в рассмотрение отклонения _с, _г частот сигналов и гетеродина от их номинальных значений, _c = _c - _c0, _г = _г - _г0, а также положить нестабильность переходной частоты дискриминатора равной нулю _гс=0, то структурная схема системы ЧАП упрощается (рис. 5.5).

Рис. 5.5