4.5 Некоторые свойства z-преобразования

Z–преобразование обладает рядом свойств, позволяющих анализировать особенности ДЛС. Приведем лишь теоремы о начальном и конечном значениях.

Теорема о начальном значении. Предположим, что задано z – преобразование f(z) и требуется определить начальные значения f(0) последовательности.

По определению

(4.32)

Этот ряд сходится при всех , поэтому при всех

Теорема о конечном значении. Ограничим последовательность f (кг ), положив К = N, где N– достаточно большое число. Образуем функцию f(k_r-_r), запаздывающую относительно f (к_r ) на _r . Если

, (4.33)

то Z – преобразование для f_n (кг) будет

(4.34)

Найдем разность FN (Z) и FN-1(Z) при Z = 1;

Пусть , тогда

(4.35)

Формула (4.35) устанавливает связь между Z - преобразованием и конечным значением функции.

4.6 Z-передаточная функция дискретной системы

Разностные уравнения вход-выход имеют вид:

(4.36)

Число y(k)характеризует выход в момент кr (шаг дискретизации r обычно опускают). Числа y(k-1), y(k-2) характеризуют предыдущее значение выхода, запоминаемые в памяти ЭВМ.

Аналогично числа и U(k), и U(k-1)характеризуют вход в дискретные моменты k, k-1, … и т.д., они также хранятся в памяти машины.

Уравнение (4.36) называют рекурсивным или разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным.

Положим в (4.36)

, (4.37)

где

- дельта – последовательность Кронекера

( -импульс – одиночный). Подставляя (4.36) в (4.35), получим реакцию системы, которую обозначим через K(k):

(4.38)

Взвешенную временную последовательность (4.38) называют весовой (рис. 4. 11)

Если импульс воздействует на вход не при k = 0, а в произвольный момент (в j – той позиции ), то реакция системы

Рис. 4. 11

в k – той позиции будет (для k ≥ j )

, (4.39)

где - коэффициент для входного воздействия.

В общем случае, когда входная последовательность представляет сумму (поток) дельта последовательностей, приложенных в моменты k= 0, 1, 2, …, то есть,

временную последовательность на основании принципа суперпозиции на выходе можно определить как

(4.40)

или, после замены переменных m = k – j

(4.41)

Выражение (4.41) – аналог интеграла свертки для непрерывных систем. Воспользуемся (4.9) в самом общем виде:

, (4.42)

где К(k) – взвешенная временная последовательность, g(m) – дискретизированный входной сигнал.

Взяв Z – преобразование от (4.42), получим

;

или (для правой части (4.11)):

(4.43)

С

(4.44)

делав замену переменных n = k – m в (4.43), найдем

(4.45)

откуда .

W(Z) называют Z – передаточной функцией дискретной системы. Через Y(Z) и G(Z) обозначены Z–преобразования последовательностей y(n_r) и g(n_r), то есть, выходной и входной последовательностей.

Пример Z – передаточной функции. Пусть необходимо определить W(Z), соответствующую s – передаточной функции:

(4.46)

Посмотрим вначале – какой непрерывной системе соответствует s - передаточная функция (1.46). Взяв обратное преобразование Лапласа от W(s), получим

(4.47)

где K(t) – импульсная переходная функция, или функция веса, то есть, реакция системы на единичный  - импульс (t). Далее от (4.47) перейдем к дискретной весовой временной последовательности согласно правилу:

(4.48)

то есть,

(4.49)

Z – преобразование этой последовательности и будет представлять Z - передаточную функцию, соответствующую s – передаточной функции непрерывной системы (4.46):

, (4.50)

Описанный здесь способ получения Z – преобразования по s – преобразованию Лапласа позволяет осуществлять синтез дискретных систем по известным характеристикам исходных аналоговых систем.