5.3. Виды конечных элементов

Выше были рассмотрены системы, включающие одномерные симплекс-элементы, при этом функции формы элемента (5.4) оставались одинаковыми для задач из разных предметных областей. Физическая сущность задачи отображается матрицей жесткости. В электрических системах эта матрица зависит от сопротивлении R, емкостей С, индуктивностей L элементов, составляющих систему. В системах, характеризующих работу строительных конструкций, матрица жесткости непосредственно связана с погонными жесткостями для растянутых (сжатых) элементов, – для изгибаемых элементов и т.д. Для нелинейных систем, например, для схемы «в» (рис. 5.2), где связь между напором V и расходом J имеет вид , матрица жесткости будет представлять уже не массивы констант, а некоторые функции от напора жидкости.

В случае функции двух переменных х, у используют плоские конечные элементы в виде многоугольников, обычно треуголь­ника и прямоугольника.

Рассмотрим двумерный симплекс-элемент, представляющий собой плоский треугольник (рис. 5.3).

Интерполяционный поли­ном, аппроксимирующий непрерывную функцию v(x, у) внутри симплекс-элемента, имеет вид

(5.16)

Рис. 5.3. Двумерный симплекс-элемент

Для придания этому выражению вида, удобного для применения в методе конечных элементов, будем поступать так же, как это делали на втором этапе п.п. 5.1 [см. формулы (5.1)...(5.6)]. Гранич­ные условия будут иметь вид:

при функция v(x, у) примет значение ;

при функция v(x, у) примет значение .

Используя формулу (5.16), получим систему трех уравнений для определения коэффициентов Подставляя эти коэффици­енты в полином (5.16) и проделав необходимые преобразования, аналогичные рассмотренным в § 5.1, запишем аналогичную (5.5) формулу

(5.17)

где функции формы элемента имеют вид:

(5.18)

Здесь ∆ – площадь треугольника конечного элемента;

– коэффициенты, определяемые путем круговой перестановки индексов выражений:

. (5.19)

Формулы (5.16)...(5.19) будут одинаковыми для всех задач, где используют треугольные симплекс-элементы. Матрицы жесткостей будут зависеть от физической сущности задачи. Рассмотрим это на примере плоской задачи теории упругости. Заметим, что в этом случае каждый узел имеет две степени свободы, поэтому вектор имеет две компоненты v_x и каждую из которых определяют по формуле (5.17).

Деформации внутри конечного элемента можно выразить че­рез перемещения с помощью зависимостей Коши:

Выполняя дифференцирование равенства (5.17) с учетом обозна­чений (5.18), запишем зависимости Коши в матричной форме:

(5.20)

или

. (5.20 а)

Для перехода от деформаций тела к напряжениям используем закон Гука при плоском напряженном состоянии:

(5.21)

или

. (5.21 а)

Матрицы D и В содержат всю информацию о конечном элементе: матрица D определяет его упругие характеристики а матрица В – геометрические. Остается определить еще одну матрицу (матрицу жесткости К), которая связывает усилия, дей­ствующие в узлах конечного элемента, с перемещениями этих узлов. Для записи этой матрицы воспользуемся принципом воз­можных перемещений, согласно которому при равновесии тела работа внешних сил Р на возможных перемещениях узлов т. е. равна по величине работе внутренних сил на тех же перемещениях: , где – деформация, отвечающая воз­можным перемещениям; – объем конечного элемента. В ре­зультате преобразований получим искомую связь между усили­ями в узлах конечного элемента и перемещениями этих узлов:

, (5.22)

где матрица жесткости К будет равна

(5.23)

Матрица жесткости (5.23) конечного элемента не зависит от действующих на элемент нагрузок и поэтому остается неизмен­ной для всех нагружений. Элементы этой матрицы представляют собой коэффициенты канонических уравнений метода перемеще­ний для расчета одного конечного элемента.

Рассмотрим объединение конечных элементов в ансамбль на примере простейшей сети из трех конечных элементов (рис. 5.4).

Для каждого конечного элемента мы можем записать фор­мулу (5.17), заменяя узлы конкретными номерами. Так, для первого элемента

.

Поступая аналогично с остальными узлами, получим:

(5.24)

Рис. 5.4. Ансамбль трех конечных элементов

Напомним, что узловые значения искомой функции

пока еще не известны и подлежат определению. С этой целью нужно использовать какой-нибудь принцип, выража­ющий физическую сущность задачи. В задачах строительной механики таким принципом могут быть уравнения равновесия с учетом совместности перемещений. Когда мы все это продела­ем, задача будет решенной, поскольку формулы (5.20), (5.21), (5.24) с учетом обозначений (5.18), (5.19) позволяют определить в любой точке области нормальные и касательные напряжения, найти угловые и линейные деформации, вычислить перемещения данной точки в направлении осей х и у. Совокупность указанных формул, полностью определяющих поведение исследуемой систе­мы, составляет ее математическую модель.

Перейдем к объединению конечных элементов в систему.

Пусть в узлах системы конечных элементов действуют внеш­ние силы, определяемые вектором

(5.25)

К каждому i-му узлу сети примыкает в общем случае конеч­ных элементов, каждый из которых вносит свой вклад в матрицу жесткости. Поэтому для каждого i-го узла суммарная матрица жесткости будет представлять собой сумму элементов матриц жесткости всех примыкающих к узлу элементов, т. е.

, (5.26)

в то время, как узловые перемещения для всех этих элементов будут общими в силу совместности перемещений всех элементов, соединенных в i-м узле. Поскольку узлы имеют две степени свободы, вектор перемещения i-го узла будет содержать две ком­поненты перемещений точно так же, как внешняя сила [см. формулу (5.25)] имеет две компоненты P_xi, P_yi. Совокуп­ность перемещений всех m неопорных узлов сети конечных эле­ментов определится m-мерным вектором перемещений:

(5.27)

Общую матрицу жесткости для всей конструкции можно выра­зить в виде

. (5.28)

Окончательная зависимость между вектором сил (5.25) и век­тором перемещений (5.27) будет иметь вид

. (5.29)

Таким образом, вектор узловых значений искомой функции будет равен

. (5.30)