- •394026 Воронеж, Московский просп., 14 оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Введение в теорию систем
- •1.1. Основные понятия, характеризующие строение и функционирование систем
- •1.2. Закономерности систем
- •1.3. Системный подход и системный анализ
- •1.4. Сложная и большая система
- •1.5. Классификация систем
- •1.6. Система как всеобщность свойства материи
- •1.7. Методика системного анализа
- •Глава 2. Методы описания систем
- •2.1. Качественные методы описания систем
- •2.2. Количественные методы описания систем. Уровни описания систем
- •2.3. Методы формализованного представления систем
- •2.4. Кибернетический подход к описанию систем
- •Глава 3. Моделирование систем
- •3.1. Классификация видов моделирования систем
- •3.2. Построение моделей систем
- •3.3. Проверка адекватности моделей, анализ чувствительности и работоспособности
- •3.4. Основные положения теории планирования эксперимента
- •3.4.1. Этапы планирования эксперимента
- •3.4.2. Полный факторный эксперимент
- •3.4.3. Дробный факторный эксперимент
- •3.5. Обработка и анализ результатов моделирования систем
- •3.5.1. Метод наименьших квадратов
- •3.6. Аналитические модели сложных систем
- •3.6.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях
- •3.6.2. Метод Эйлера и его модификации
- •3.6.3. Метод Рунге-Кутта
- •3.6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений n-го порядка при заданных начальных условиях
- •3.6.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •3.6.6. Метод начальных параметров
- •3.6.7. Редукция к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.7. Имитационное моделирование
- •3.7.1. Композиция дискретных систем
- •3.7.2. Содержательное описание сложной системы
- •3.7.3. Пример построения имитационной модели анализа надежности сложной системы
- •3.8. Когнитивное моделирование
- •Глава 4. Модели многосвязных технических систем
- •4.1. Типы элементов
- •4.2. Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •4.3. Метод получения топологических уравнений.
- •Глава 5. Конечно-элементные модели. Метод конечных элементов
- •5.1. Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •5.2. Сети одномерных конечных элементов
- •5.3. Виды конечных элементов
- •5.4. Выделение конечных элементов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
3.4.3. Дробный факторный эксперимент
Число опытов в полном факторном эксперименте быстро возрастает с ростом числа факторов. Так, при трех факторах будем иметь 23 = 8 опытов, при 5 факторах – 25 = 32 опыта, а при 8 факторах уже 28 = 256 опытов. Это вызывает необходимость разработки методов отбора части переменных, наиболее существенно влияющих на поверхность отклика. Поэтому, хотя полный факторный план 2k является удобным с точки зрения простоты проведения анализа параметров функции регрессии, тем не менее при большом числе факторов его применяют редко. 0ри трех и более факторах количество опытов можно существенно сократить за счет потери части информации, не очень существенной при построении линейных моделей. Для этого вместо плана 2* следует использовать описанный ниже дробный факторный план 2k-p, который предназначен для реализации 2k-p опытов. Для построения дробных планов (реплик) используют матрицы полного факторного эксперимента. Дробные планы создают делением числа опытов полного факторного эксперимента на число, кратное двум. Так получают 1/2 реплики (полуреплику), 1/4 реплики (четвертьреплику) и т. д.
Вначале рассмотрим линейную функцию регрессии, зависящую от трех факторов:
(3.9)
Для оценки четырех коэффициентов b0 , b1, b2, b3 требуется провести четыре опыта, а проведение полного факторного эксперимента, состоящего из восьми опытов, позволяет несмещенно оценить не только общее среднее b0 и главные эффекты b1,b2, b3, но также и всевозможные взаимодействия первого и второго порядков, т. е. все параметры неполной кубической модели
(3.10)
содержащей восемь коэффициентов. Следовательно, восемь опытов, поставленных для оценки коэффициентов линейной модели (3.9), будут содержать в два раза больше информации, чем требуется.
Для оценивания параметров функции регрессии (3.9) можно построить план, предназначенный для проведения не восьми, а четырех опытов. Для этой цели факторы х1 и х2 следует варьировать, как в плане 22, а в качестве уровня фактора х3 нужно выбрать значение взаимодействия, т.е. х3=х1х2. Получим план, определяемый матрицей, приведенной в табл. 3.4.
Рассмотрим вопрос построения дробных реплик более подробно. Вернемся к функции регрессии (3.10). Матрица плана этой модели приведена в табл. 3.5.
Таблица 3.4.
№ опыта |
Матрица плана |
|||
X0 |
X1 |
X2 |
X3 |
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
4 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
Рассмотрите эту таблицу более внимательно и обратите внимание, что второй столбец таблицы совпадает с девятым, третий — с восьмым, четвертый — с седьмым, пятый — с шестым. Следовательно, при использовании этого плана нет различий между x0 и x1x2x3; x1 и x2x3; х2 и x1x3; х3 и х1х2, т. е.
(3.11)
На этом основании можно утверждать, что вместо отыскания оценок восьми параметров функции регрессии (3.10) можно найти оценки лишь четырех смешанных коэффициентов:
(3.12)
При этом главные эффекты, включая общее среднее, оцениваются независимо друг от друга, но смешиваются соответственно с эффектами взаимодействий второго и первого порядка. Если постулируется линейная модель (3.9), то эффекты взаимодействий считаются незначительными, а смешанные коэффициенты (3.12) превращаются в параметры модели (3.9).
Таким образом, полный факторный эксперимент 23 при постулировании линейной модели можно рассматривать как совокупность двух полуреплик. Представленный в табл. 3.5 план называют полурепликой или планом 23-1 полученным из полного факторного плана 23 путем приравнивания единице произведения x1x2x3, т.е.
(3.13)
Это соотношение называется определяющим для данной полуреплики. Другая полуреплика 23-1 получится из определяющего соотношения x1x2x3, т. е. если уровни фактора х3 устанавливать в соответствии с равенством х3= —x1x2.
Обратите внимание на различие в структуре планов, представленных в табл. 3.4 и 3.5 (столбцы 2...4) с одной стороны, и в табл. 3.3 – с другой. Это различие сделало намеренно и не имеет принципиального значения. Заполнение столбцов 2—5 полного факторного плана может быть произвольным при непременном условии неповторяемости знаков в пределах одной строки. Однако при составлении полуреплик важно, чтобы выполнялось условие (3.13) или условие х1x2x3=- 1, т. е. для всех опытов данной полуреплики все строки в столбце для x1х2х3 имели одинаковый знак.
Для иллюстрации отмеченных положений рассмотрим конкретный пример. План полного факторного эксперимента и его результаты записаны в левой части (столбцах 1...6) табл. 3.5. Требуется составить уравнения регрессий для полного факторного эксперимента я для его дробных реплик, если известно, что функция отклика линейна (либо постулируется ее линейность).
Таблица 3.5
№ опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
y |
x1x2 |
x1x3 |
x2x3 |
x1x2x3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
16 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-4 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
8 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
8 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
20 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
0 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
12 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Решение. Запишем уравнение регрессии для линейной поверхности отклика
(3.14)
Коэффициенты bi будем определять по формуле (3.4) в соответствии с приемами, указанными в пояснениях к этой формуле.
Вначале определим коэффициенты регрессии, используя данные полного факторного эксперимента (левую часть табл. 3.5). Будем иметь:
(3.15)
Построим дробные реплики, для чего заполним правую часть табл. 3.5 (столбцы 7...10) и выберем строки, у которых 10-й столбец имеет одинаковые знаки. В результате получим две полуреплики (таблица 3.6):
Таблица 3.6
№ опыта |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
y |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Первая полуреплика |
|||||
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
16 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-4 |
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
8 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
12 |
Вторая полуреплика |
|||||
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
4 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
8 |
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
20 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
0 |
Определим коэффициенты регрессии по дробным репликам.
Для первой полуреплики будем иметь:
b0 = (16 - 4 + 8 + 12) / 4 = 8;
b1 = (16 + 4 - 8 - 12) / 4 = 6;
b2 = (-1б - 4 - 8 + 12) / 4=-4;
b3 = (-16 + 4 + 8 + 12) / 4 = 2.
Для второй полуреплики будем иметь:
b0=(4 + 8 + 20 + 0) / 4=8;
bl=(-4+8+20-0)/4=6;
b2 =(-4+8-20+0)/4=-4;
b3 = (-4-8 + 20)/4=2.
Как и следовало ожидать, во всех трех случаях для линейной поверхности отклика получены одинаковые результаты.
На рис. 3.5 приведена схема полного трехфакторного эксперимента и его полуреплик. Цифрами отмечены номера опытов с указанием в скобках координат факторов x1, x2,x3. Точки 2, 3, 5, 8 соответствуют первой полуреплике, а цифры I, 4, 6, 7 – второй. Обратите внимание, что каждая из полуреплик наиболее полно охватывает опытные точки факторного пространства.
Рис. 3.5. Схема трехфакторного эксперимента
При большом числе факторов т для оценивания параметров линейной функции регрессии (3.1) можно строить дробные реплики высокой степени дробности. Так, при т=7 можно построить дробную реплику из полного факторного плана 23 для первых трех факторов, приравняв четыре остававшихся фактора к двухфакторным и трехфакторному взаимодействиям трех других факторов, положив, например
(3.16)
Такую реплику записывают как 27-4.
В общем случае дробную реплику обозначают через 2т-p, если р факторов приравнены к произведениям остальных т—p факторов, уровни которых выбраны согласно полному факторному плану. Дробную реплику 2т-p можно строить различными способами. Для анализа системы смешивания коэффициентов пользуются понятиями генерирующих и определяющих соотношений.
Генерирующими называют соотношения, с помощью которых построена дробная реплика. Так, для реплики, представленной в табл. 3.5, генерирующим является соотношение х3=x1х2, а это указывает, что фактор х3 занимает в матрице столбец, соответствующий взаимодействию x1x2. Для указанной выше реплики 27-4 генерирующим является соотношение (3.16).
Определяющим соотношением (определяющим контрастом) называют равенство, в левой части которого стоит единица, а в правой — какое-либо произведение факторов. Для дробной реплики 2т-p можно получить p различных определяющих соотношений из генерирующих путем умножения обеих частей последних на их левые части с последующей заменой (хi)2 на 1 (i=1, .., т). Другие определяющие соотношения получаются путем перемножения ранее полученных и выделения среди них новых. Например, для реплики (табл. 3.5) определяющим является соотношение (3.13).
Построим определяющие соотношения для реплики 27-4, задаваемой генерирующими соотношениями (3.16). Умножая обе части равенств (3.16) на их левые части, получаем четыре определяющих соотношения:
(3.17)
Попарное перемножение этих четырех соотношений дает шесть новых:
(3.18)
Перемножение каждой тройки из четырех соотношений (7.17) Дает еще три определяющих соотношения:
(3.19)
Наконец, перемножая все четыре соотношения (3.17), получаем
(3.20)
Легко понять, что кроме (3.17) – (3.20), других определяющих соотношений для рассмотренной реплики 2+7-4 нет.
Знание определяющих соотношений позволяет найти всю систему совместных оценок без изучения матрицы планирования дробной реплики. Для того чтобы определить, с какими взаимодействиями смешано данное, нужно на него умножить обе части всех определяющих соотношений.
Определим, например, с какими взаимодействиями смешан главный эффект b3 в дробной реплике 27-4, определяемой генерирующими соотношениями (3.16). Для этого умножим все определяющие соотношения (3.17) – (.20) на х3. Получим
Следовательно, главный эффект b3 смешан с эффектами взаимодействий первого порядка с эффектами взаимодействий второго порядка третьего порядка четвертого порядка и пятого порядка
В конкретной практической ситуации для выбора подходящей дробной реплики полного факторного плана необходимо использовать все априорные сведения теоретического и интуитивного характера об объекте планирования с целью выделения тех факторов и произведений факторов, влияние которых на результаты измерений существенно. При этом смешивание нужно производить так, чтобы общее среднее b0 и главные эффекты b1,..., bm были смешаны с эффектами взаимодействий самого высокого порядка (так как обычно они отсутствуют) или с эффектами таких взаимодействий, о которых известно, что они оказывают несущественное влияние на результаты измерений. Отсюда следует, в частности, что недопустимо произвольное разбиение полного факторного плана 23 на две части для выделения полуреплики 23-1.
Качество дробного факторного плана иногда характеризуют с помощью разрешающей способности плана, которая равна наименьшему числу символов в правых частях определяющих соотношений. В частности, для плана разрешающей способности III ни один главный эффект не смешан ни с каким другим главным эффектом, но главные эффекты смешаны с эффектами двухфакторных взаимодействий. Для плана разрешающей способности IV главные эффекты не смешаны друг с другом и с эффектами двухфакторных взаимодействий, но последние друг с другом смешаны. Для плана разрешающей способности V главные эффекты и эффекты двухфакторных взаимодействий не смешаны, но последние смешаны с эффектами трехфакторных взаимодействий. Все три рассмотренные выше дробные реплики имеют разрешающую способность III.