4.3. Метод получения топологических уравнений.

Эквивалентная схема технической системы может быть пред­ставлена в виде графа, ребра которого изображают двухполюс­ники, замещающие элементы (компоненты) системы. Пусть задан граф (рис. 4.11) некоторой технической системы. Топологические уравнения равновесия (типа уравнений первого закона Кирхгофа) могут быть записаны для каждого сечения, которое может включать один или несколько узлов. Для узлов, отмеченных на рис. 4.11, можем записать (принимая знак минус при направлении ребер к рассматриваемому узлу) следующие уравнения:

сечение 1 ;

сечение 1-5 ;

сечение 2 ; (4.11)

сечение 4 .

Топологические уравнения неразрывности (аналоги второго закона Кирхгофа) будут иметь вид:

(4.12)

Процедура получения уравнений (4.11), (4.12) может быть формализована. Для этой цели вводят матрицу контуров и сече­ний – М-матрицу. Такую матрицу строят с помощью ориен­тированного графа эквивалентной схемы и выбранного для этого графа дерева. Количество столбцов матрицы соответствует числу ветвей дерева, а количество строк – числу хорд.

Рис.4.11. Граф эквивалентной схемы

При формировании М-матрицы хорды поочередно включают в дерево с образованием замкнутого контура. При обходе этого контура в направлении включенной хорды формируют строку матрицы. В столбцах матрицы, соответствующих ветвям дерева, ставят +1 при совпадении направления ветви с направлением обхода и -1, если направления противоположны.

Рассмотрим построение М-матрицы (табл. 4.1) для графа, показанного на рис. 4.11. Принимая пятый узел за базовый, построим дерево графа (рис. 4.12). При подключении хорды 1-2 образуется контур 1-2, 2-3, 3-5, 1-5,поэтому в первой строке матрицы будем иметь - 1 (для ветви 1-5), + 1 (для ветвей 2-3, 3-5) и 0 (для ветви 3-4). Аналогично заполняют остальные строки.

Таблица 10.2

Хорды	Ветви дерева
	1 – 5	3 – 5	2 – 3	3 – 4
1 – 2 2 – 4 4 – 5	-1 0 0	1 0 -1	1 -1 0	0 -1 1

Топологические уравнения с использованием М-матрицы имеют вид:

(4.13)

где – векторы переменных типа разности потенциалов на ветвях дерева и хордах;

– векторы переменных типа пото­ка для ветвей дерева и хорд.

Записывая первое уравнение (4.13) в развернутом виде

вы можете убедиться, что оно совпадает с системой уравнений (4.12). Аналогично, второе уравнение (4.13) совпадает с (4.11). Таким образом, использование М-матрицы позволяет формали­зовать процедуру получения математической модели. При этом сечения дерева специально выбирать не надо. Выше такие сечения приведены для наглядности.

Рис.4.12. К построению М-матрицы

Возможна иная формализация процедуры построения мате­матической модели с использованием матрицы инциденций. Будем рассматривать исходный граф (см. рис, 4.11) как хорды некоторого фиктивного дерева (рис. 4.13), ветви которого на рисунке изображены пунктирными линиями.

Составим М-матрицу, поочередно включая в фиктивное дерево хорды исходного графа. Так, контур 1-5 состоит из хорды 1-5 и ветви 1-5, направление которой противоположно хорде, поэтому в М-матрице этой ветви будет отвечать значение – 1. В контуре 2-3-5 направление ветви 3-5 совпадает с направлением хорды, а для ветви 2-5 – не совпадает, поэтому будем соответственно иметь +1 и -1. Включая после­довательно все хорды, получим М-матрицу (рис. 4.13), при­веденную в табл. 4.2, или, выделяя содержательную часть М-матрицы.

Рис.4.13. Граф с фиктивным деревом

(4.14)

Таблица 11

Хорды	Ветви дерева
	1 – 5	2 – 5	3 – 5	4 – 5
1 – 5 3 – 5 4 – 5 3 – 4 1 – 2 2 – 4 2 – 3	-1 0 0 0 -1 0 0	0 0 0 0 1 -1 -1	0 -1 0 -1 0 0 1	0 0 -1 1 0 1 0

Рассмотрим второе уравнение системы (4.13), которое будет справедливо для М-матрицы (4.14), но с некото­рым отличием. Это отличие связано с тем, что было построено фиктивное дерево, поэтому в ветвях его не будет токов и, следовательно, исходное уравнение примет вид . Индекс «х» у вектора J мы опустили, поскольку хордами являются все ребра исходного графа. Обратите внимание, что транспонирован­ная М-матрица представляет собой не что иное, как матрицу инциденций исходного графа , записанную с об­ратными знаками:

(4.15)

Все это позволяет записать второе уравнение системы (4.13) в ином виде: .

Первое уравнение системы (4.13) изменится следующим об­разом. Разность потенциалов ветвей дерева U_vd есть разность потенциалов i-й и базовой точек, т. е. потенциал i-й точки . М-матрица будет равна , поэтому первое уравнение системы (4.13) примет вид .

Все сказанное дает возможность записать систему уравнений (4.13) в следующей форме:

(4.16)

Таким образом, возможны два способа формализации проце­дур построения математической модели для описания эквива­лентной схемы технического объекта, в одном из которых ис­пользуют систему уравнений (4.13) и М-матрицу, в другом – систему уравнений (4.16) и матрицу инциденций ориентирован­ного графа.

Таблица 12

Узлы графа	Дуги графа
	F	R1	L1	L2	R2	R3	m1	m2	m3
1 2 3	-1	1	1 -1	1 -1	1	1	1	1	1

Рис. 4.14. К примеру механической системы

Первое уравнение (4.16) в развернутой форме имеет вид:

где потоковые переменные J_R, J_L, J_m=J_c типов R, L, С можно записать в форме приведенных выше зависимостей между фазовыми переменными. В результате будет получена система дифференциальных уравнений. Транспонируя матрицу инциденций и используя второе уравнение системы (4.16), анало­гично можно получить систему дифференциальных уравнений для переменных типа потенциала.