3.4.2. Полный факторный эксперимент

Изложение основ факторного планирования эксперимента на­чнем с простейшего примера. Пусть имеется две входные переменные Х₁ и Х₂, одна из которых в интересующей нас области, заштрихованной на рис. 3.4, а, изменяется в пределах 0,4 X₁ 0,8, а другая — в пределах 10 X₂ 30. В процессе проведения эксперимента найдены значения ординат поверхности отклика в граничных точках (рис. 3.4, а), приведенные в табл. 3.1.

Рис. 3.4. Полный факторный эксперимент

Поставим задачу поиска аналитического выражения функции отклика в линейной постановке, т.е. дадим приближенное представление этой функции в виде:

(3.2)

Таблица 3.1

№ точки (опыта)	X1	X2	y
1	0.4	10	38
2	0.8	10	68
3	0.4	30	32
4	0.8	30	62

Для формализации процедур обработки экспериментальных данных факторы удобно представлять в закодированном виде. С этой целью выберем новую систему координат x₁ х₂ у (рис. 3.4, а, 6), начало которой совместим с центром интересующей нас области, и назначим масштабы по осям факторов так, чтобы нижний уровень фактора соответствовал - 1, а верхний +1. Это легко достигается с помощью преобразований вида

(3.3)

где x_i – кодированное значение i-ro фактора;

Х_i – натуральное значение фактора;

Х_о – нулевой уровень;

– интервал варьирования фактора.

Для фактора Х₁ нулевой уровень и интервал варьирования будут равны X₁₀=(0,4+0,8)/2=0,6; X₁=(0,8-0,4)/2=0,2. Для фактора Х₂ имеем: X₂₀=(10+30)/2=20; X₂=(30-10)/2=10. Кодированные значения факторов приведены в табл. 3.2. В первом и пятом столбцах этой таблицы повторены значения табл. 3.1. Во втором столбце приведены значения фиктивной переменной x₀, характеризующей свободный член b_о в уравнении регрессии (3.2). Значения x₀ всегда принимают равными +1. В 3 и 4 столбцах записаны искомые кодированные переменные; так, для фактора Х₁ в первой точке кодированное значение будет x₁₁=(0,4 - 0,6)/0,2= - 1. Подобные таблицы называют матрицами планирования полного факторного эксперимента.

Таблица 3.2

№ опыта	X0	X1	X2	Y
1	+1	-1	-1	38
2	+1	+1	-1	68
3	+1	-1	+1	32
4	+1	+1	+1	62

Все дальнейшие вычисления полностью формализованы. Коэффициенты регрессии уравнения (3.2) определяют по формуле

(3.4)

где x_in – значение x_i, в n-ом опыте;

N – число опытов;

у_п – значение отклика в n-ом опыте.

Для вычисления коэффициентов регрессии по табличным данным достаточно перемножить данные столбцов у и соответствующих x_i,сложить результаты и поделить их на число опытов.

Так, по данным табл. 3.2 будем иметь:

Искомое линейное уравнение поверхности отклика в закодированных переменных будет:

В натуральной (не кодированной) форме это уравнение имеет вид:

(3.5)

Рассмотренный в примере план эксперимента соответствует двум факторам для линейной функции. Если поверхность отклика нелинейна, а вы пытаетесь представить ее приближенное выра­жение, то в уравнении регрессии (3.2) следует добавить член b₁₂x₁x₂, учитывающий взаимодействие факторов х₁ и х₂. В нашем случае линейной исходной поверхности отклика этот член будет равен нулю, в чем нетрудно убедиться, добавив 6-й столбец, элементы которого равны произведениям элементов 3-го и 4-го столбцов.

В общем случае много факторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид:

(3.6)

Параметр b₀ называют общим средним, параметры b_i – главными эффектами (взаимодействиями нулевого порядка), параметры b_ij – эффектами взаимодействия первого порядка (эффектами двухфакторных взаимодействий), параметры b_ijk – эффектами взаимодействий второго порядка (эффектами трехфакторных взаимодействий) и аналогично b_123...n – эффектами взаимодействия порядка п-1 (эффектами n-факторных взаимодействий). Наиболее часто используют два частных случая функции регрессии (3.6):

линейную

(3.7)

и неполную квадратичную

(3.8)

Техника эксперимента с варьированием к факторов на двух уровнях сводится к проведению 2^k опытов. Для построения матрицы планирования эксперимента при любом к следует дважды повторить матрицу планирования для случая к-1: один раз для нижнего уровня k-го фактора, а другой раз — для верхнего. Последовательность достраивания матриц планирования при увеличении к от двух до пяти показана в табл. 3.3. Первые четыре (отчеркнутые) опыта соответствуют двухфакторному эксперименту типа 2², повторяя табл. 3.2. Восьмифакторный план типа 2³ дважды повторяет двухфакторный эксперимент при варьировании третьего фактора сначала на нижнем, а затем на верхнем уровнях. Аналогично строят планы полных факторных экспериментов при других значениях k. Выбор факторов. При проведении эксперимента факторы могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными. Фактор является управляемым, если его уровни назначаются лицом, проводящим эксперимент, в соответствии с задачами исследования. В процессе эксперимента все управляемые факторы должны поддерживаться на заданном уровне или изменяться в соответствии с заданной программой. Не всяким наблюдаемым (т.е. фиксируемым в процессе эксперимента) фактором можно управлять. Такие наблюдаемые, но не управляемые факторы получили название сопутствующих. К ним относятся, в частности, воздействия внешней среды. Обычно сопутствующих факторов бывает довольно много, поэтому рационально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на результаты эксперимента. После выбора факторов для каждого из них следует определить область, ограничивающую их возможное варьирование, и назначить основной уровень. Если, например, по условиям эксперимента нас интересует диапазон температуры воды от 20 до 60°С, то основной уровень (для середины интервала) составит 40°, нижний уровень 20°, верхний уровень 60°С. Разница значений между верхним и нижним уровнями фактора не может быть больше физически возможной. Например, для температуры обычной воды при нормальных условиях эта разность не может превысить 100°С. При этом интервал варьирования не должен быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся Факторы, которые по тем или иным причинам невозможно учесть в эксперименте, необходимо во всех опытах стабилизировать на постоянных уровнях.

Таблица 3.3

№	X0	X1	X2	X3	X4	X5
1	+1	-1	-1	-1	-1	-1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1	-1	-1
4	+1	+1	+1	-1	-1	-1
5	+1	-1	-1	+1	-1	-1
6	+1	+1	-1	+1	-1	-1
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1
8	+1	+1	+1	+1	-1	-1
9	+1	-1	-1	-1	+1	-1
10	+1	+1	-1	-1	+1	-1
11	+1	-1	+1	-1	+1	-1
12	+1	+1	+1	-1	+1	-1
13	+1	-1	-1	+1	+1	-1
14	+1	+1	-1	+1	+1	-1
15	+1	-1	+1	+1	+1	-1
16	+1	+1	+1	+1	+1	-1
17	+1	-1	-1	-1	-1	+1
18	+1	+1	-1	-1	-1	+1
19	+1	-1	+1	-1	-1	+1
20	+1	+1	+1	-1	-1	+1
21	+1	-1	-1	+1	-1	+1
22	+1	+1	-1	+1	-1	+1
23	+1	-1	+1	+1	-1	+1
24	+1	+1	+1	+1	-1	+1
25	+1	-1	-1	-1	+1	+1
26	+1	+1	-1	-1	+1	+1
27	+1	-1	+1	-1	+1	+1
28	+1	+1	+1	-1	+1	+1
29	+1	-1	-1	+1	+1	+1
30	+1	+1	-1	+1	+1	+1
31	+1	-1	+1	+1	+1	+1
32	+1	+1	+1	+1	+1	+1