3.6.3. Метод Рунге-Кутта

Основная схема метода Рунге-Кутта имеет вид:

, (3.32)

где

(3.33)

(i = 1, 2,…, n).

Для определения правильности выбора шага h выполняют двойной пересчет, как это было отмечено при рассмотрении метода Эйлера.

3.6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений n-го порядка при заданных начальных условиях

Для дифференциального уравнения n-го порядка

(3.34)

задача Коши состоит в нахождении решения , удовлетворяющего начальным условиям ; ; …; , где x₀, y₀, y_o’… - заданные числа. Такая задача может быть приведена к решению системы дифференциальных уравнений путем подстановок

, , …, . (3.35)

Будем иметь:

… (3.36)

Дальнейшее решение задачи выполняют как указано выше, например, методом Рунге-Кутта.

Для примера найдем приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения свободных колебаний маятника в среде, обладающей сопротивлением. Пусть – угол отклонения маятника от положения равновесия, t – время. Полагая, что сопротивление среды пропорционально угловой скорости маятника, имеем для = (t) нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

(3.37)

где – коэффициент затухания колебаний;

g – ускорение свободного падения;

l – длина маятника.

Принимая =0,2, g/l= 10, приходим к уравнению

(3.38)

с начальными условиями: угол отклонения , угловая скорость .

Выполняя подстановки типа (3.37), т.е. полагая , запишем уравнение (3.38) в виде системы уравнений

, . (3.39)

Приближенное решение этой системы будем искать методом Рунге-Кутта, используя зависимости (3.38). При этом роли и в уравнениях (3.37) будут исполнять их значения:

,

.

Примем: h=0,1; , . При i=0 находим:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Следовательно, при t₁=0,1, имеем:

; .

Продолжая процесс вычислений для других значений t_i, последовательно можем определить все интересующие нас значения .

3.6.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях (краевых задач)

Рассмотренные выше приемы решений обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях в одной точке получены путем последовательного интегрирования уравнения по участкам, на которые может быть разбит весь интервал задания подынтегральной функции. В краевой задаче, когда для дифференциального уравнения заданы граничные условия в различных точках, необходимо получить решение в виде общего интеграла. Для решения таких более сложных задач существуют различные способы. Мы рассмотрим лишь некоторые из них, позволяющие свести решения краевых задач к рассмотренным выше задачам Коши.