3.6.6. Метод начальных параметров

Метод начальных параметров основан на дополнении поставленных для краевой задачи граничных условий в начале участка интегрирования некоторыми параметрами, называемыми начальными. Эти параметры выбирают так, чтобы полученная при этом совокупность начальных условий полностью определяла решение поставленной задачи.

Пусть дана краевая задача для системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

(3.40)

с граничными условиями на концах интервала [0, l]

; , (3.41)

где – вектор неизвестных у₁(х), y₂(х),..., у_n(х);

А(х) – матрица коэффициентов при неизвестных;

– вектор свободных членов;

– векторы постоянных интегрирования.

Общий интеграл системы уравнений (3.40) запишем в следующем виде:

, (3.42)

где – частное решение матричного уравнения (3.40), удовлетворяющее всем нулевым начальным условиям ;

– частное решение соответствующего уравнению (3.40) однородного уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , где все элементы равны нулю, кроме i-гo, который равен единице; c_i – постоянные интегрирования.

Подстановкой полученного по (3.42) решения в условия (3.41) получают систему n алгебраических уравнений для определения c_i. Найденные постоянные подставляют в (3.42), откуда находят решение исходной краевой задачи.

3.6.7. Редукция к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка

Найдем решение линейного дифференциального уравнения

, (3.42')

удовлетворяющего краевым условиям

;

, (3.43)

где p(x), q(x), f(x) — непрерывные функции; - заданные постоянные, причем , .

Из курса высшей математики известно, что если u=u(x) - частное решение соответствующего однородного уравнения

, (3.44)

то произведение cu, где c – произвольная постоянная, есть общее решение этого уравнения. Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения (3.42) y=y(x) будет, равно сумме общего решения см однородного уравнения (3.44) и частного решения v=v(x) неоднородного уравнения

. (3.45)

Таким образом, искомое решение запишем в виде комбинации

. (3.46)

Потребуем, чтобы первое краевое условие (3.43) выполнялось для функции y при любом c. Для этого подставим выражение (9.19) в это краевое условие, в результате чего будем иметь

.

Такое условие возможно для произвольного c, если будут выполнены равенства

,

.

Следовательно,

; , (3.47)

где постоянная , при этом

, , если ; (3.48)

, , если . (3.49)

Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши для однородного уравнения (3.44), удовлетворяющее начальным условиям (3.45), а v есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (3.45), удовлетворяющее начальным условиям (3.48) или (3.49). При этом для любого c функция (3.46) удовлетворяет первому краевому условию (3.43), т.е. при x=a.

Подберем теперь постоянную c так, чтобы функция (3.46) удовлетворяла второму краевому условию (3.43) при x=b. Будем иметь , откуда

. (3.50)