- •394026 Воронеж, Московский просп., 14 оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Введение в теорию систем
- •1.1. Основные понятия, характеризующие строение и функционирование систем
- •1.2. Закономерности систем
- •1.3. Системный подход и системный анализ
- •1.4. Сложная и большая система
- •1.5. Классификация систем
- •1.6. Система как всеобщность свойства материи
- •1.7. Методика системного анализа
- •Глава 2. Методы описания систем
- •2.1. Качественные методы описания систем
- •2.2. Количественные методы описания систем. Уровни описания систем
- •2.3. Методы формализованного представления систем
- •2.4. Кибернетический подход к описанию систем
- •Глава 3. Моделирование систем
- •3.1. Классификация видов моделирования систем
- •3.2. Построение моделей систем
- •3.3. Проверка адекватности моделей, анализ чувствительности и работоспособности
- •3.4. Основные положения теории планирования эксперимента
- •3.4.1. Этапы планирования эксперимента
- •3.4.2. Полный факторный эксперимент
- •3.4.3. Дробный факторный эксперимент
- •3.5. Обработка и анализ результатов моделирования систем
- •3.5.1. Метод наименьших квадратов
- •3.6. Аналитические модели сложных систем
- •3.6.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях
- •3.6.2. Метод Эйлера и его модификации
- •3.6.3. Метод Рунге-Кутта
- •3.6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений n-го порядка при заданных начальных условиях
- •3.6.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •3.6.6. Метод начальных параметров
- •3.6.7. Редукция к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.7. Имитационное моделирование
- •3.7.1. Композиция дискретных систем
- •3.7.2. Содержательное описание сложной системы
- •3.7.3. Пример построения имитационной модели анализа надежности сложной системы
- •3.8. Когнитивное моделирование
- •Глава 4. Модели многосвязных технических систем
- •4.1. Типы элементов
- •4.2. Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •4.3. Метод получения топологических уравнений.
- •Глава 5. Конечно-элементные модели. Метод конечных элементов
- •5.1. Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •5.2. Сети одномерных конечных элементов
- •5.3. Виды конечных элементов
- •5.4. Выделение конечных элементов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
4.1. Типы элементов
Элемент типа С. Элемент типа С характеризует емкость, инертность и другие подобные свойства моделируемой системы. Графическое изображение такого элемента (двухполюсника) показано на рис. 4.2, а. Для механических подсистем используют также иное условное обозначение (рис. 4.2, б), при этом параметру С присваивают символ т.
Компонентное уравнение (4.1) для элемента типа С имеет вид
(4.4)
где F и V – соответствующие потоковые и потенциальные фазовые переменные.
В электрических подсистемах элемент типа С определяет электрическую емкость и описывается уравнением
, (4.4a)
где I и U – соответственно сила тока и падение напряжения.
В механических подсистемах элемент С характеризует массу тела в уравнении второго закона Ньютона:
. (4.46)
Рис. 4.2. Элемент типа С
Аналогично для механических вращательных подсистем формулу (4.4) можно записать в виде
, (4.4в)
где М– момент силы; I – момент инерции; – угловая скорость.
В тепловых подсистемах С характеризует теплоемкость тела C=dQ/dT, где dQ —изменение количества теплоты в теле при изменении температуры на dТ.
Компонентное уравнение (4) применительно к тепловому потоку Ф и температуре Т имеет вид
(4.4г)
где – теплоемкость тела, зависящая от удельной теплоемкости с и массы m тела: .
В гидравлических и пневматических подсистемах значения С характеризуют степень сжимаемости жидкости (газа) при плотности ρ и объеме V: C=pβV. При этом связь между давлением ρ и расходом Qm определяется формулой
. (4.4д)
Аналогия уравнений типа (4.4) не является чисто формальной с точки зрения одинакового математического описания. Вероятно, за этой аналогией стоят скрытые закономерности, присущие природе в форме энергетических либо иных взаимных соответствий, тем более, что для всех рассмотренных подсистем между фазовыми переменными F и V существуют также аналогии для элементов типов L и R. Возвращаясь к элементу типа С, мы можем отметить, что С есть мера «емкости» или мера «инертности» при взаимодействии фазовых переменных в формах потока и потенциала, а точнее, при взаимосвязи потока со скоростью изменения потенциала. В механических подсистемах мерой инертности служит масса, в электрических и тепловых – емкость (теплоемкость). Изменение во времени потенциала (скорости движения в механических подсистемах, напряжения в электрической цепи, температуры при нагреве тела) приводит к изменению потока (движущей силы в механических системах, силы тока в электрических цепях, теплового потока при нагреве тел). Мерой взаимного соответствия этих изменений служит величина С. Чем больше емкость конденсатора, масса автомобиля, теплоемкость чайника с водой, тем труднее зарядить конденсатор до напряжения U, разогнать автомобиль до скорости v, нагреть воду до температуры Т.
Элемент типа L. Элемент типа L на эквивалентных схемах электрических и других подсистем изображают как катушку индуктивности (рис. 4.3, а). Для механических подсистем обычно используют условное обозначение пружины (рис. 4.3, б).
Компонентное уравнение для элемента типа L записывают в виде
(4.5)
где V, F – потенциальная и потоковая фазовые переменные.
В электрических подсистемах элемент типа L определяет индуктивность, при этом напряжение U связано с силой тока I зависимостью
(4.5 а)
Для механических подсистем компонентное уравнение
(4.5 б)
может быть получено путем дифференцирования по времени уравнения пружины F= kx, где х – перемещение; k – жесткость пружины. В формуле (4.5, б) аналог электрической индуктивности L характеризует податливость пружины .
Рис. 4.3. Элемент типа L
Аналогичное компонентное уравнение можно получить для упругого стержня, используя закон Гука. При растяжении (сжатии) будем иметь
; (4.5 в)
при изгибе
; (4.5 г)
при кручении
(4.5 д)
где Е, G – модули упругости при растяжении и сдвиге; А – площадь поперечного сечения; J, Jk – моменты инерции при изгибе и кручении.
В гидравлических и пневматических подсистемах давление р идеальной жидкости (газа) связано с массовым расходом Q уравнением
(4.5 е)
где Lp – l/A зависит от длины трубопровода l и площади его поперечного сечения А. Для реальных жидкостей формула (4.5е) не учитывает массовые силы и гидравлическое сопротивление, которые могут быть учтены дополнительно
Элемент типа R. Условное графическое изображение элемента типа Rпоказано на рис. 4.4 для электрических (а) и механических (б) подсистем. Общее уравнение такого элемента имеет вид
F= V/R. (4.6)
В электрических подсистемах этому уравнению соответствует закон Ома
; (4.6 a)
в механических - уравнение вязкого трения:
(4.6 б)
где - величина, обратная коэффициенту вязкого трения;
в гидравлических - отмеченное выше гидравлическое сопротивление:
, (4.6 в)
где – аналог электрического сопротивления (v – кинематическая вязкость; d, l — диаметр и длина трубопровода);
в тепловых подсистемах:
(4.6 г)
где тепловой поток Ф и температура Т зависят от конвекционного сопротивления Rk.
Таким образом, во всех рассмотренных подсистемах можно установить аналогии фазовых переменных типа потока и потенциала (табл. 4.1).
Рис. 4.4. Элемент типа R