3.6.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях

Математическое моделирование систем, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением при заданных начальных условиях, осуществляется наиболее просто, если уравнение в явном виде разрешено относительно производной:

От влияния внутренних параметров h и воздействий внешней среды v можно избавиться, повторяя решение заданного уравнения при фиксированных значениях этих параметров h=const, v=const.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

(3.30)

Если требуется найти интегральную кривую у=у (х), проходящую через заданную точку М₀ (х₀, у₀), то формулируется задача Коши: найти решение у=у(х) уравнения (9.2), удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀.

Существуют различные приемы решений такой задачи: метод последовательных приближений, интегрирование уравнений с помощью степенных рядов, методы Адамса, Крылова, Милна и др. Ниже рассмотрены методы Эйлера и Рунге-Кутта, первый из которых является наиболее наглядным, а второй – наиболее популярным.

3.6.2. Метод Эйлера и его модификации

Принцип численного решения уравнения (3.30) при начальном условии у(х₀)=у₀, основанный на методе Эйлера, чрезвычайно прост. Он непосредственно вытекает из смысла производной. Подставляя заданное начальное значение х₀ и у₀ в правую часть Исходного уравнения (3.30), мы определим производную в этой точке: y'(х=х₀)=f(х₀, у₀), т. е. найдем тангенс угла наклона касательной к искомой кривой. Это дает возможность определить приближенное значение функции в соседней точке при x₁ =x₀ + h (рис. 3.11).

Рис. 3.11. К решению уравнения методом Эйлера

При этом приращение функции будет , а полное значение ординаты при этом составит . Таким образом, получены приближенные координаты соседней точки x₁, y₁, принимая которые за исходные, мы можем повторить вычисления методом Эйлера и найти следующую точку с координатами х₂, у₂. Аналогично вычисляются все последующие точки по формулам

(3.31)

где h – достаточно малый шаг приращений координаты х.

Для того чтобы назначить величину шага, обеспечивающую необходимую точность вычислений, расчет повторяют при шаге, в два раза меньшем первоначального. Если разница в результатах вычислений превышает требуемую точность, то шаг разбиения уменьшают еще раз и повторяют расчет.

Метод Эйлера приводит к систематическому накоплению ошибок, поэтому в практике расчетов используют модификации этого метода: метод ломаных и метод Эйлера-Коши.

В первом случае сначала вычисляют промежуточные значения

и находят направление поля интегральных кривых в средней точке , а затем полагают .

Во втором случае грубое приближение , уточняется следующим образом:

.

Дальнейшим развитием и уточнением метода Эйлера являются различные схемы метода Рунге-Кутта. Ниже рассмотрена одна из таких схем, получившая наибольшее распространение.