Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

(1)

(2)

(1)

0

1

1

2

(2)

(2)

0

1

2

(1)

(1)

(2)

0

1

2

2

(2)

(2)

0.

1

2

Следовательно, из искомых постоянных две произвольны,

например,

2(2)

C2

1(1)

C1, поэтому из этой системы для остальных 1(2),

2(1) будет

комплексное

спряженные

пары

m m i m,

m 1 m i m , то

этим

корням будут соответствовать частные решения

m(i)

ym(1) m(1)

e( m i m),

ym(2) m(2) e( m i m),

причем

определяются

из

систем

(5.63).

Можно показать,

что

действительные и мнимые части

также являются решениями системы (5.57).

Таким образом, можно записать два частных решения:

y

m(1)

e m (m1)cos mx (m2)sin mx

m(2)

e m

(m2)sin mx ,

y

m cos mx

где m(1),

m(2),

(m1),

m(2)

- действительные коэффициенты, связанные с

m(1),

m(2).

Следовательно, можно составить фундаментальную систему решений

только из действительных решений.

Пример 3.

Дана

система

дифференциальных уравнений

dy1

7y

y

2

1

dx

dy2

2y1

5y2.

dx

7

1

0

или

2

12

37

0,

2

5

корни этого уравнения 1 6 i,

2 6 i.

Подставляя эти корни в (5.63), получим

150

y(1)

e 6x (cosx isin x);

1

y2(1)

(1 i)e 6x(cosx isin x); или

y(1)

e 6x cosx ie 6x sin x;

1

y(1)

e 6x(cosx sin x) ie 6x(cosx sin x);

2

для

y1(2), y2(2)

будет

y(2)

e 6x cosx ie 6x sin x),

1

y2(2)

e 6x (cosx sin x) ie 6x (cosx sin x).

Поэтому составляя общее решение из действительных и мнимых частей

этих решений для yij (x).найдем

y

C e 6x

cosx C

2

e 6x sin x.

1

1

y

2

C e 6x

(cosx sin x) C

2

e 6x (cosx sin x).

1

n-го

Известно, что линейное однородное дифференциальное уравнение

порядка

dn y

dn 1y

dn 2 y

dy

an 1

(x)

an 2

(x)

... a1(x)

a0y

(5.65)

dxn 2

dxn

dxn 1

dx

dy0

y

dx

1

dy1

y2

dx

(5.66)

dyn 1

a

y

0

a y

... a

n 1

y

n 1

.

dx

0

1 1

151

1

0

0

0

1

0

a

0

a

a

n 1

1

получим определитель равный

+I или –I. Следовательно, характеристический

многочлен, если имеет корень k

кратности

Sk ,

то матрица

имеет

элементарный делитель ( k)Sk . Поэтому корню

k будут соответствовать

Sk линейно независимых решений вида

(C0 C1x ... CSk 1 xSk 1)e kx.

(5.67)

Таким образом, методы

решения

систем

типа

(5.58) могут

быть

Обозначим y y0,

y y0

y1,

y

y1

y2,

y y2.

Тогда

dy0

y ,

dx

1

dy

1

y2

,

(5.68)

dx

dy2

y

0

3y 3y

2

.

dx

1

1

0

0

1

0,

т.е

1

3

3

2(3 ) 3 1 0

или

( 1)3 0.

Поскольку корень 1 1

имеет кратность S 3, то, учитывая (5.67),

dy1

f (x, y ,..., y

),

dx

1

1

n

dy2

f2(x, y1,..., yn),

dx

(5.69)

dyn

f

n

(x, y ,..., y

n

)

1

dx

d2 y

f

1

f

dy

f

1

dy

2

f

1

dy

n

1

1

1

...

.

dx2

x

y1 dx

y2 dx

yn

dx

Используя тот факт,

что

dyk

fk ,

найдем

dx

d2 y

f

1

f

1

f

1

1

f1 ...

fn.

(5.70)

dx2

x

y1

yn

Определим xn из первого уравнения системы (5.69)

yn g(x, y1, y2,...,yn 1, y1)

Подставим yn

в (5.70)

и,

таким образом,

исключим эту неизвестную

порядка для одной неизвестной

функции.

Пример 5. Найти

общее решение

dy

z,

dx

dz

y.

dx

Решение.

d2 y

dz

, т.е.

y

y 0 .

dx2

dx

Характеристическое уравнение имеет вид

k2 1 0;

k i,

1,2

y(x) C eix C

2

e ix

1

или

y(x) C1(cosx isin x) C2(cosx isin x), тогда общее решение можно

записать

153

По второму закону Ньютона

ma

mgsin .

(5.71)

При малых

углах отклонения sin

s

(по теореме синусов для

l

AOB),

где s -

смещение маятника, измеряемое

длиной дуги. Поскольку

a

d2s

, то уравнение (5.71) можно записать в виде

dt2

d2s

2s 0,

(5.72)

dt2

O1

O2

l

l

1

2

x1

x2

m

m

s1

s2

Рис. 14

В этот момент растяжение пружины равно

x x2

x1 lsin 2 lsin 1 l( 2

1) (s2

s1).

Со стороны пружины на стержни подвеса маятников действуют силы

упругости

F1 и

F2, такие, что

k x k (s2 s1).

F1

F2

Относительно осей, проходящих через точки подвеса O1

и O2, силы

M

k (s

2

s ) l k

2l (s

2

s ).

1

1

Запишем уравнение колебаний маятника (5.72) в виде

ml

d

2s

mg l .

(5.73)

dt2

155

d2s

g

k 2

1

s

(s

s ),

l

m

2

1

2

1

(5.74)

dt

d2s2

g

s

2

k 2

(s

2

s ).

2

l

m

1

dt

Заменим систему (5.74) более удобной для решения, введя функции

s( ) s1 s2,

s( ) s1 s2.

Складывая и вычитая уравнения в системе (5.74) получим

d2s( )

g

s( ) 0,

dt2

l

(5.75)

2s( )

g

2

d

2k

s( ) 0.

dt2

m

l

Каждое из уравнений в (5.75) имеет вид (5.72), решение которого

известно.

s0

s0, а начальные скорости

Если начальные смещения маятников

и

1

2

равны нулю, то решения уравнений (5.74) имеют вид

s

(t) s0 cosw t,

s

(t) s

0 cosw t,

(5.76)

где

1

2

s0 s10 s20,

s0 s10 s20,

q

2k 2

.

w

q

,

w

1

l

2

l

m

Возвращаясь к переменным s1

и

s2,

из (5.76) получим:

s0

s

0

s0

s0

s (t)

1

2

cosw t

1

2

cosw t,

1

2

1

2

2

(5.77)

s0

0

s0

0

s

s

s

2

(t)

1

2

cosw t

1

2

cosw t.

2

1

2

2

Из вида решений (5.77) вытекают следующие выводы.

Если начальные

смещения

одинаковы

s10 s20 s0, то

маятники

колеблются с одинаковой частотой w

q

и постоянной амплитудой

l

s1(t) s2(t) s0 coswt.

156