Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

2. Свойства решений линейной однородной системы

Основной проблемой при решении неоднородных систем (5.22) является построение решений соответствующей однородной системы (5.24). Ниже будет показано, что интегрирование неоднородной системы сводится к интегрированию однородной. В этом разделе займемся изучением однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

k

С л е д с т в и е теорем 1 и 2. Линейная комбинация ciYi решений

i 1

Y1,...,Yk системы (5.27) с произвольными постоянными коэффициентами c1,...,ck является решением этой линейной однородной системы.

При решении однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка мы использовали комплексные решения для построения его

130

действительных решений. Аналогичная ситуация складывается и при решении линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Приведенная ниже теорема позволяет отыскать действительные решения системы из известных комплексных решений.

выражения равны между собой тогда и только тогда, когда равны

Допустим, что мы нашли n частных решений однородной системы (5.24). Основной вопрос заключается в следующем: при каком условии линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными

i 1

1Y1 2Y2 mYm ,

где, Yk colon(yk1, yk2,..., ykn).

Иными словами, система функций (5.29) является линейно независимой, если ни одна строка (5.30) не является при x (a,b) линейной комбинацией остальных строк этой системы. В противном случае системы (5.29) называются линейно зависимыми в (a,b).

В частности, две системы функций y11, y11,..., y1n и y21,y22,..., y2n будут линейно независимыми в (a,b), если не справедливо соотношение вида

Из (5.30) видно, что если одна из систем функций в (5.29) состоит из функций, тождественно равных нулю в интервале (a,b), то эти системы функций линейно зависимы в (a,b).

Пример. Система функций

линейно зависимы в ( ; ). Другая система функций

является линейно независимой в ; .

Таким образом, если рассматривать элементы строки системы (5.29) как составляющие некоторого вектора в n- мерном пространстве (см. формулу (5.31) и ниже), то определение линейной независимости системы функций (5.29) является определением линейной независимости системы m векторов.

Рассмотрим необходимое условие линейной зависимости n систем функций

132

линейно зависима, то по определению линейной зависимости имеем соотношение (5.30)

(5.34) как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно 1, 2,..., n , видим, что она имеет ненулевое решение. Но из алгебры известно, что в этом случае определитель этой системы должен быть равным нулю. Определителем этой алгебраической системы уравнений является вронскиан (5.33). Так что W(x) должен обращаться в нуль во всех точках интервала (a,b).

Рассмотрим далее важное для теории линейных систем необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородной

независимые в интервале (a,b), в котором определены и непрерывны коэффициенты aij (x), то их вронскиан W(x) не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала.

a x0 b. Составим систему алгебраических уравнений

где обозначено (yik )0 yik (x0). Определитель этой системы – есть W(x0). По

комбинацией решений (см. следствие теорем 1 и 2). Поскольку все ci0 удовлетворяют алгебраической системе уравнений (5.35), то ясно, что решение (5.36) имеет нулевые начальные значения в точке x x0:

в силу единственности решения задачи Коши. Поэтому получается тождества

где не все ci0 равны нулю. Это означает, что решения (5.32) линейно зависимы в интервале (a,b). Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке.

Таким образом, из доказанных теорем 4 и 5 следует: для того, чтобы n

решений системы линейных однородных уравнений (5.24) были линейно независимы в интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Для установления линейной независимости n решений системы (5.24) достаточно убедиться в том, что W(x) отличен от нуля хотя бы в одной точке

(a,b).

однородной системы (5.24), определенных и линейно независимых в интервале

(a,b) называется фундаментальной системой решений в этом интервале.

Из необходимого и достаточного условия линейной независимости n

134

решений однородной линейной системы n дифференциальных уравнений,

приведенного выше, следует: система n решений будет фундаментальной системой решений в интервале (a,b) тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих решений не равен нулю хотя бы в одной точке интервала (a,b).

Матрица вида

столбцы которой сформированы из координатных функций линейно

где производная матрицы равна по определению матрице, элементы которой являются производными от соответствующих элементов исходной матрицы.

Отметим: правило дифференцирования суммы и произведения сохраняются и для матриц; однако при дифференцировании произведения

Общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений.

Как и в случае однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка, знание фундаментальной системы решений позволяет построить

общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений.

является фундаментальной системой решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений (5.24) в интервале (a,b), то функции

135

y1(x) C1y11 C2 y21 Cn yn1,

y2(x) C1y21 C2 y22 Cn yn2,

(где C1,C2,...,Cn произвольные постоянные) дают общее решение системы (5.24) в области

является фундаментальной системой решений в интервале (a,b) однородного

представляет собой линейную комбинацию решений системы.

Система (5.40) представляет собой линейную алгебраическую систему уравнений относительно C1,C2,...,Cn. Ее определителем является вронскиан W(x) (5.33), который не равен нулю при любых x (a,b), так как совокупность функций (5.39) является по условию фундаментальной системой решений.

В соответствии с определением общего решения нормальной системой дифференциальных уравнений, учитывая вышеприведенные рассуждения, можно сделать вывод: совокупность функций (5.40) является общим решением системы (5.24) в области изменения переменных (5.42).

Покажем, что формула (5.40) содержит все решения системы (5.24). Для этого следует доказать, что при любых начальных условиях, наложенных на

таких, что полученное частное решение системы (5.24) с начальными

где (yij )0 yij (x0). Полученная система линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных C1,C2,...,Cn имеет единственное решение, поскольку ее определитель равен W(x0) - вронскиану фундаментальной системы функций

(5.39) при x x0, которой отличен от нуля. Поэтому

C1 C1(0)(x0, y1(0),...,yn(0)),C2 C2(0)(x0, y1(0),...,yn(0)),...,

Cn Cn(0)(x0, y1(0),...,yn(0)).

(5.45)

Подставляя эти значения постоянных в общее решение (5.44) найдем решение задачи Коши (5.24), (5.43).

Таким образом, чтобы линейная комбинация n решений однородной линейной системы (5.24) с произвольными постоянными C1,C2,...,Cn давала общее решение этой системы, необходимо и достаточно, чтобы эти решения были линейно независимы, т.е. чтобы они составляли фундаментальную систему решений.

З а м е ч а н и е. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений можно выразить через фундаментальную матрицу (5.37). Формулу (5.44) можно записать в виде

Полученная формула дает решение начальной задачи (5.24), (5.43), т.е. решение задачи Коши для линейной однородной системы дифференциальных уравнений.

Матрица

называется матрицей Коши. Используются также другие названия этой

137

матрицы – импульсная матрица, а также матрицант.

Таким образом решение задачи Коши (5.24), (5.43) можно записать с помощью этой матрицы в виде

Пример. Найти общее решение линейной однородной системы

Решение. Из вида системы ясно, что одно из его решений представляет собой многочлен. Поскольку в правой части уравнений системы коэффициент при функции имеет степень на единицу большую, чем коэффициент при y(x), то частное решение ищем в виде

Уравнения удовлетворяются, если b1 a2 0, a1 b2 c1.

Полагая a1 b2 c1 1, находим одно решение системы:

Таким образом, общее решение системы имеет вид

138

y C1y1 C2 y2 C1(x2 1) C2xex,

zC1z1 C2z2 C1x C2ex.

3.Свойства решений неоднородной линейной системы

дифференциальных уравнений.

Рассмотрим далее неоднородную линейную систему (5.23)

которую в векторной и операторной формах мы записывали следующим образом

m

Y(x) iYi(x)

i 1

Таким образом, Y(x) является решением уравнения (5.23).

Физический смысл принципа суперпозиции заключается в следующем. Пусть имеется физическая или техническая система, внутренние свойства которой описываются линейным оператором L. Пусть на вход такой системы

m

F(x) iFi (x) , то на выходе из устройства будет наблюдаться сигнал

i 1 m

Y(x) iYi (x) (рис. 12).

i 1

139