3.5. Колебательное звено

Колебательным звеном называется звено, которое имеет передаточную функцию вида

. (3.24)

Неустойчивое колебательное звено имеет вид:

. (3.25)

Примеры устойчивых колебательных звеньев приведены на рис.3.7. При резком (скачкообразном) изменении входной величины выходная величина совершает затухающие колебательные движения (см.рис. 3.1б).

В соответствии с уравнением передаточной функции (3.24) динамические свойства колебательного звена описываются дифференциальным уравнением второго порядка

. (3.26)

Рассмотрим пример, показанный на рис. 3.7в:

По второму закону Кирхгофа запишем

. (3.27)

Из уравнения (3.18) запишем

, (3.28)

дифференцируя (3.28) получим

. (3.29)

Подставляя эти значения в уравнение цепи (3.27) получим

(3.30)

и введем новые параметры

; ; u₁ = Х_вх; u₂ = Х_вых.

Находим общее выражение колебательного звена в виде (3.26).

Рис.3.7. Примеры элементов САР, которые могут замещаться устойчивым колебательным звеном: а) сообщающиеся сосуды соединенные вентилем как гидравлическим сопротивлением R; б) система из пружины 1, на которой подвешено тело 2 с демпфером 3; в) электрическая цепь из индуктивности L, активного сопротивлении R и емкости С

Если же звено окажется неустойчивым, тогда его уравнение принимает вид

. (3.31)

Для общности введем передаточный коэффициент звена, который, как мы помним, равен отношению установившихся значений выходной к входной величине. Для рассмотренного примера

.

Все характеристики и свойства колебательного звена определяются тремя параметрами: постоянной времени Т, относительным коэффициентом затухания ζ и передаточным коэффициентом К_к.

Уравнение (3.30) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Характеристическое уравнение, соответствующее этому дифференциальному уравнению имеет вид

Т²λ² + 2ζТλ + 1 = 0. (3.32)

Корни этого уравнения находятся по формуле

. (3.33)

Если параметры звена таковы, что имеет место неравенство

ζ²–1 < 0, (3.34)

то корни уравнения (3.32) получаются комплексными и могут быть представлены в виде

, (3.35)

где

, (3.36)

. (3.37)

Если коэффициент ζ при первой производной в уравнении звена окажется равным нулю, то найдем, что

. (3.38)

Колебания при этом не затухают и имеют собственную угловую частоту ω₀. Колебательное звено, для которого ζ = 0, называют консервативным звеном.

3.5.1. Переходная функция

При скачкообразном изменении входной величины звена уравнение (3.26) может быть найдено путем применения обратного преобразования Лапласа (3.24). Учитывая значение корней уравнения (3.32) находим, что переходная функция колебательного звена выражается

. (3.39)

Это есть затухающий процесс с относительным коэффициентом затухания ζ и угловой частотой ω₀, стремящейся к установившемуся значению h(∞) = К_к при (t → ∞) (см. рис.3.1б) кривая 1. Колебания в системе, а точнее в объекте регулирования возникают в тех случаях, когда выполняется условие (3.34), т.е. если корни характеристического уравнения являются комплексными величинами. В противном случае, если параметры звена таковы, что удовлетворяется неравенство

ζ > 1, (3.40)

то корни характеристического уравнения получаются действительными и равными

, (3.41)

где

.

В этом случае переходный процесс описывается зависимостью

. (3.42)

Звено такого рода может быть всегда представлено как два апериодических звена (первого порядка), обладающих постоянными времени Т₁ и Т₂ и коэффициент усиления К₁ и К₂ (К₁К₂ = К) соединенных последовательно, выход первого со входом второго.