4.Критерии устойчивости систем автоматического регулирования
Под устойчивостью системы автоматического регулирования подразумевается свойство системы возвращаться к установившемуся состоянию после прекращения действия возмущения, которое вывело ее из этого состояния.
При этом необходимо иметь в виду, что под исходным состоянием понимают не только состояние покоя, но и состояние устойчивого движения, т.е. движения связанного с перемещением массы или энергии. Точно также можно оценивать устойчивость САР как ее способность возвращаться к первичному невозмущенному движению после прекращения действия возмущения.
Устойчивость является важной характеристикой качества системы, т.к. автоматическая система является замкнутой системой, у которой выходная величина через обратную связь подается на вход системы, где она сравнивается с задающим воздействием и может случиться так, что эта разность Хвх = Хзад – Хос будет не уменьшаться, а возрастать с течением времени, т.е. система будет неустойчивой. Характерно, что неустойчивой может быть система, состоящая из устойчивых элементов. Поэтому для оценки состояния системы на устойчивость только физических представлений недостаточно и для этого необходимо применение математического аппарата.
4.1. Математическая оценка устойчивости
Математически устойчивость невозмущенного движения оценивают по характеру возмущенного движения как способность системы приходить в результате возмущенного движения к невозмущенному движению, если действие возмущения прекратилось. По этой причине возмущенное движение чаще рассматривают как свободное движение системы, поскольку проще решать однородное дифференциальное уравнение с ненулевыми начальными условиями, чем неоднородное уравнение.
Если невозмущенное движение характеризуется функциями Хро(t) (р = 0,1,2… n–1), а возмущенное функциями Хр(t), то возмущенное движение описывается отклонениями величин от тех значений, которые они имеют при невозмущенном движении:
ΔХр(t) = Хро(t)–Хр(t). (4.1)
Начальными условиями для свободного движения, записанного в отклонениях будут значения величин ΔХр(0). Они возникли в результате действия возмущения, которое затем прекратилось. Поэтому функция ΔХр(t) описывают процесс свободных движений в системе.
В данном случае невозмущенное движение будет устойчивым, если для любого положительного числа ε, как бы мало оно не было можно подобрать другое число η, зависящее от ε такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент
|ΔХр(0)| η(ε). (4.2)
При всех t 0 выполняется неравенство
|ΔХр(t)| ε. (4.3)
Из уравнения (4.3) следует, что при оценке устойчивости отклонения не должны превосходить некоторой достаточно малой величины ε, а из уравнения (4.2) – что начальные условия при этом отличны от нуля, но не превосходят некоторого значения η, зависящего от ε.
Если выполняется условие η(ε) = ∞, то система называется неограниченно устойчивой, т.е. устойчивой и в малом, и в большом.
Рассмотрим, как можно математически оценить устойчивость линейной автоматической системы.
Свободное движение линейной системы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением
с начальными условиями
,
где κ =0,1,2… n–1 порядок производной.
Решение этого уравнения представляет собой сумму членов вида
,
(4.4)
где λκ – корни характеристического уравнения
;
(4.5)
Сκ – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий ΔХκ(0);
κ = 0,1,2… n–1.
Чтобы система была устойчивой решение (4.4) должно удовлетворять условию
.
(4.6)
Корни характеристического уравнения (4.5) в общем случае могут быть вещественными и комплексно сопряженными.
Если изобразить эти корни характеристического уравнения на комплексной плоскости, то необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в том, чтобы все корни были расположены в левой части комплексной плоскости (рис.4.1).
Рис.4.1. Расположение корней
Если изменяются параметры системы, то будут изменяться и коэффициенты характеристического уравнения. Корни его при этом будут перемещаться в комплексной плоскости и могут пройти через мнимую ось в правую часть комплексной плоскости, что будет соответствовать переходу от устойчивого состояния системы к неустойчивому. Соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, при котором, по крайней мере, пара комплексно сопряженных корней находится на мнимой оси, а все остальные расположены левее ее, определяет границу устойчивости.
Граница устойчивости подразделяет совокупность значений коэффициентов характеристического уравнения и, значит, параметров системы на две области. Одна из них соответствует устойчивости системы, другая – неустойчивости. Устойчивая линейная система характеризуется тем, что любое ограниченное по абсолютной величине воздействия вызывает также ограниченное изменение величин, характеризующихся состояние системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения. Таким образом, исследование системы на устойчивость сводится к определению знаков действительных частей корней этого уравнения или другими словами к установлению расположения этих корней на комплексной плоскости.