3.4. Апериодическое звено

Апериодическим звеном называется простейшая составная часть структурной схемы системы автоматического регулирования, если его дифференциальное уравнение имеет вид

, (3.15)

где Т – постоянная времени, К_а – коэффициент передачи

. (3.16)

Примеры устройств, которые можно рассматривать, как апериодические звенья показаны на рис. 3.6. Так на рис. 3.6а Х_вх – давление газа в магистрали, Х_вых – давление в ресивере; рис. 3.6б и 3.6в Х_вх – напряжение, Х_вых – напряжение на емкости (б) и на сопротивлении (в); рис. 3.6г Х_вх – температура нагретой жидкости Т (Т₁>>300 К), Х_вых – температура тела Т₂ < Т₁.

В качестве примера опишем объекты, приведенные на рис.3.6. Например, рассмотрим электрическую цепь (случай б).

По второму закону Кирхгофа запишем

IR + u₂ = u₁, (3.17)

. (3.18)

где С – емкость конденсатора, I – ток, u₂, u₁ – напряжения на клеммах.

Из выражения (3.18) найдем I и подставим в (3.17) получим

.

Обозначив u₁ = Х_вх; u₂ = Х_вых; RC = Т, окончательно получим уравнение (3.16).

Рис.3.6. Примеры элементов САР при замещении апериодическим звеном: а) пневмосистема с ресивером; б) RС цепочка и переходный процесс ее; в) LC-цепочка; г) тепловой процесс нагрева сферы

При определенных условиях апериодическое звено может выполнять роль интегрирующего. Для этого рассмотрим переходную функцию 2 (рис. 3.6б верхний) цепи RС в интервале 0  t  t₁, где эту кривую можно заменить касательной к экспоненте, т.е. это значит RС является интегрирующим звеном на этом временном участке от 0 до t₁ (см. раздел 3.1)

Для случая (г) запишем закон изменения температуры в твердом теле с удельной теплоемкостью, с нагреваемом в жидкости. По формуле Ньютона поток тепла передаваемый телу через единицу поверхности прямо пропорционален коэффициенту теплопередачи А и разности температур Т₁ и Т₂, т.е. (см. рис. 3.6г)

q = A(Т₁ – Т₂). (3.19)

где Т₁ – температура жидкости, Т₂ – температура тела; Т₁ Т₂.

Скорость увеличения температуры прямо пропорциональна потоку тепла и обратно пропорционально удельной теплоемкости материала тела с

. (3.20)

Подставим уравнение (3.7) в уравнение (3.6) получим

. (3.21)

Приняв Т₁ = Х_вх, Т₂ = Х_вых, , получим общее уравнение (3.3).

В приведенных примерах элементы будущих САР имели разную физическую природу, но могли иметь одинаковые и разные параметры: в случае а) Х_вх = Р и Х_вых = Р; в) Х_вх=u₁, а Х_вых = u₂ и т.д. Но во всех этих примерах дифференциальное уравнение такого звена это запись (3.16). Оно имеет параметр Т – постоянную времени переходного процесса и некий К_а –передаточный коэффициент, который учитывает соотношение между установившимися значениями выходной и входной величинами.

Переходная функция

Решение уравнения (3.16) при воздействии единичной входной функции дает выражение переходной функции, которую обозначим h(t). Ее выражение имеет вид

, (3.22)

где К_а – передаточный коэффициент апериодического звена.

Она имеет вид, как на рис. 3.1а (кривая 1) для устойчивого звена, а для неустойчивого звена (кривая 2) записывается в виде:

. (3.23)