3.4.2. Дискретно-детерминированные модели

Для их описания используют F–схемы (finite automata). Для задания конечного автомата нужно описать все элементы множества . Рассмотрим несколько способов задания таких автоматов: табличный, графический и матричный.

Табличный основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. На пересечении i-ой строки и k-го столбца таблицы переходов помещают соответствующее значение (z_k ,x_i) функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение (z_k, x_i) функции выходов.

Пример: опишем работу автомата с помощью таблиц переходов.

Данные для автомата Мили:

xi	zk
	z0	z1	z2
	Переходы
x1	z2	z0	z0
x2	z0	z2	z1
	Выходы
x1	y1	y1	y2
x2	y1	y2	y1

Данные для автомата Мура:

xi	y
	y1	y1	y3	y2	y3
	z0	z1	z2	z3	z4
x1	z1	z4	z4	z2	z2
x2	z3	z1	z1	z0	z0

При графическом задании конечного автомата используют понятие направленного графа. Этот граф представляет собой набор вершин, которые соответствуют внутренним состояниям автомата и соединяющие вершины дуги соответствующие входным и выходным переменным. Графы на рис. 3.9. соответствуют данным таблиц.

Рис. 3.9 Графы автоматов а) –Мили, b) - Мура.

Матричное представление конечного автомата: строки матрицы соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода. Для рассмотренного нами примера автомата Мили матрица будет иметь вид:

Для автомата Мура, элемент c_ij равен множеству входных сигналов на переходе (z_i,z_j), а выход описывается вектором выходов:

,

i – ая компонента которого – выходной сигнал, отмечающий состояние z_i. Для рассмотренного нами автомата Мура матрица соединений и вектор выходов записываются следующим образом:

F – схемы широко применяются для описания функционирования таких объектов как элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, коммутационные устройства (например: телефонные станции).

3.4.3. Вероятностные автоматы

Для построения математических моделей дискретно–стохастических моделей используют схемы вероятностных (стохастических) автоматов P-схемы (probabilistic automat). В общем виде вероятностный автомат можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, работа которого в каждом такте зависит только от состояния памяти и может быть описана только статистически.

Рассмотрим математическую схему для вероятностного автомата. Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (z_r, y_j), где y_j-элементы входного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф …(z₁ y₁)(z₁ y₂)…(z_Ry_J-1)(z_R y_J)

(x_i z_r) ... b₁₁ b_{12 ...} b_R(J-1) b_RJ

При этом , где b_rj - вероятности перехода автомата в состояние z_r и появления на выходе сигнала y_j, если он был в состоянии z_s и на его вход в это время поступил сигнал x_i. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество таких таблиц через B, тогда четвёрка элементов называется вероятностным автоматом (P-автоматом).

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z. Это можно представить в виде:

При этом и , где z_r и q_j – вероятности перехода автомата в состояние z_r и появления выходного сигнала y_r, при условии, что автомат находился в состоянии z_s и на его вход поступил сигнал x_i.

Если для любых r и j имеет место соотношение q_rz_i=b_rj, то такой P-автомат называется вероятностным автоматом Мили.

Теперь пусть определение выходного сигнала P-автомата зависит лишь от состояния, в котором находится автомат в данном такте, то есть пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:

Здесь , где s_i – вероятность появления выходного сигнала y_i при условии, что P-автомат находился в состоянии z_r.

Если для любых r и i имеет место соотношение z_rs_i=b_ri, то такой P-автомат называется вероятностным автоматом Мура.

Частным случаем Р-автомата, задаваемого как , являются автоматы, у которых либо переход в другое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если детерминировано определён выходной сигнал, то такой автомат называют Y-детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично, Z-детерминированным вероятностным автоматом называют P-автомат, у которого детерминированным является выбор нового состояния.