4.1. Организация статистического моделирования

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел. Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Для решения детерминированной задач производится ее замена эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики которой совпадают с результатами решения детерминированной задачи. При такой замене вместо точного получается приближенное решение, погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний.

В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций достаточно велико, о полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем являются предельные теоремы теории вероятностей.

Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования случайных величин, что реализуется с помощью генераторов случайных чисел. На практике используются три основных способа генерации случайных чисел: аппаратный, табличный и алгоритмический.

При аппаратном способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой. В качестве физического эффекта, заложенного в основу таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах или явления распада радиоактивных элементов.

При табличном способе случайные числа заранее определены и оформлены в виде таблицы.

При алгоритмическом способе получение последовательностей случайных чисел производится с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида

,

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число x₀ и постоянные параметры заданы.

Одна из исторически первых процедур - метод серединных квадратов. Первоначально задается 2n разрядное число, меньшее 1. Число возводится в квадрат, а затем отбираются средние 2n разрядов, которые и являются очередным числом псевдослучайной последовательности. (x₀=0,2152, x₀²=0/04631104, x₁=0,6311, x₁²=0,39828721, x₂=0,8287). Недостатком метода является наличие корреляции между числами последовательности.

Широкое применение получили конгруэнтные методы генерации псевдослучайных последовательностей, представляющие собой арифметические операции, в основе которых лежит фундаментальное понятие конгруэнтности. Два целых числа a и b конгруэнтны (сравнимы) по модулю m, где m - целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что a-b=km, т.е. разность a-b далится на m и если числа a и b дают одинаковые остатки от деления на абсолютную величину числа m. Например, 19844(mod 10), 50088(mod 10³) и т.д.

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, так как описываются в виде рекуррентного соотношения

, (4.1)

где X_i, , , M - неотрицательные целые числа.

После преобразования получим

.

Если задано начальное значение X₀, множитель  и аддитивная константа , то представленное выражение однозначно определяет последовательность целых чисел , составленную из остатков от деления на M членов последовательности . Таким образом, для любого i 1 справедливо неравенство . По целым числам последовательности {X_i}можно построить последовательность {x_i}={X_i/N} рациональных чисел из единичного интервала (0,1).

Конгруэнтная процедура получения последовательности псевдослучайных чисел может быть реализована мультипликативным либо смешанным методом.

Мультипликативный метод задает последовательность неотрицательных целых чисел {X_i}, не превосходящих M по формуле

т.е. это частный случай соотношения (7) при =0.

Для машинной реализации наиболее удобна версия M=2⁸=256, тогда вычисление остатка от деления на M сводится к выделению 8 младших разрядов делимого, а преобразование целого числа X_i в рациональную дробь из интервала осуществляется подстановкой слева от X_i десятичной запятой.

Смешанный метод позволяет вычислить последовательность неотрицательных целых чисел {X_i}, не превосходящих M по формуле

,

т.е. в отличие от мультипликативного метода 0. С вычислительной точки зрения смешанный метод генерации сложнее на одну операцию сложения, но при этом возможность выбора дополнительного параметра позволяет уменьшить возможную корреляцию получаемых чисел.