0. 6.1. Полный факторный эксперимент

Определение: Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Пример: Имеем два фактора X1 и X2, которые изменяются в интересующей нас области G в пределах: , (рис. 6.2. а)). В ходе эксперимента найдены значения ординат поверхности отклика в граничных точках (см. таблица 6.1)

Найдем аналитическое выражение функции отклика в линейной постановке, то есть дадим приближенное представление функции в виде:

у=b₀+b₁x₁+b₂x₂ (6.1)

Для удобства представим факторы в закодированном виде. Выберем новую систему координат x₁ x₂ y, начало координат совместим с центром интересующей нас области (рис. 6.2 б)).

Рис. 6.2.

Таблица 6.1

№ точки опыта	X1	X2	y
1	0.4	10	38
2	0.8	10	68
3	0.4	30	32
4	0.8	30	62

Рис. 6.3.

Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем - симметрично расположенных относительно основного уровня. Так как каждый фактор принимает лишь два значения, то для стандартизации и упрощения записи условий каждого испытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень фактора соответствовал -1, а верхний – +1. Для этого воспользуемся преобразованием:

x_i=(X_i-X₀)/ (6.2)

где x_i – кодированное значение i – го фактора; X_i – натуральное значение, - интервал варьирования, X₀ – нулевой уровень.

Для X₁ нулевой уровень и интервал варьирования будут равны:

Х₁₀=(0,4+0,8)/2=0,6

Х₁= (0,8-0,4)/2=0,2

для Х₂:

Кодированные значения факторов приведены в таблице 6.2

Таблица 6.2

№ опыта	x0	x1	x2	y
1	2	3	4	5
1	+1	-1	-1	38
2	+1	+1	-1	68
3	+1	-1	+1	32
4	+1	+1	+1	62

В 1-м и 5-м столбцах повторены значения предыдущей таблицы. Во 2-м столбце приведены значения фиктивной переменной x₀, которая характеризует свободный член b₀ в уравнении регрессии. Оно всегда =1. В 3-м и 4-м столбцах записаны искомые кодированные переменные так для X₁ в первой точке значение: , во второй точке значение: и т. д.

Такие таблицы называют матрицами планирования (или матрицами спектра плана) полного факторного эксперимента.

Далее определяем коэффициенты регрессии ур-ия (6.1):

(6.3)

где x_in значение x_i – в n-ом опыте, N – число опытов y_n – значение отклика в n-ом опыте. Для вычисления коэффициента регрессии по табличным данным нужно перемножить данные столбцов y и соответствующих x_i, сложить результаты и поделить их на число опытов:

Искомое линейное уравнение поверхности отклика и закодированных переменных будет:

:

В не кодируемой форме:

(6.4)

В общем случае многофакторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид:

(6.5)

b₀ – называют общим средним;

b_i – главными эффектами (взаимодействиями нулевого порядка);

b_ij – взаимодействиями первого порядка;

b_ijk – взаимодействиями второго порядка (эффектами трехфакторных взаимодействий);

b_{123 … n} – эффектами n – факторных взаимодействий (эффектами взаимодействия порядка n-1).

Частные случаи функции регрессии:

линейная: (6.6)

неполная квадратичная:

(6.7)

Техника эксперимента с варьированием k факторов на двух уровнях сводится к проведению 2^k опытов.

Для построения матрицы планирования эксперимента при любом k следует дважды повторить матрицу планирования для случая k-1: один раз для нижнего уровня k-го фактора, а другой раз – для верхнего.

Последовательность достраивания матриц планирования при увеличении k от двух до пяти показана в таблице (6.3). Первые четыре (отчеркнутые) опыта соответствуют двухфакторному эксперименту типа 2². Восьми факторный план типа 2³ дважды повторяет двухфакторный эксперимент при варьировании 3-его фактора сначала на нижнем, а потом на верхнем уровнях. Аналогично стоятся планы полных факторных экспериментов при других значениях k.

Таблица 6.3