7. Оценка точности и достоверности результатов моделирования

7.1. Общие положения

Между полученными в результате эксперимента данными может существовать или отсутствовать функциональная либо структурная связь. Она проявляется в эксперименте в неявном виде, а для использования результатов эксперимента в практических целях зависимость следует сделать явной и представить в виде функции, системы уравнений или графика. Если связь между факторами и откликами отсутствует, то их следует обработать отдельно по правилам математической статистики.

Для записи аналитического выражения, аппроксимирующего требуемую зависимость, по экспериментальным данным строится диаграмма разброса (рис 7.1), из которой можно визуально получить плавную кривую и определить соответствующую ей функциональную зависимость.

При построении диаграммы разброса возникает трудность графического представления соотношений, связывающих большое число переменных. Преодолеть это можно, построив несколько графиков, каждый из которых отражает зависимость функции отклика от одной переменной при фиксированных значениях всех остальных.

Для поиска математических зависимостей между переменными по экспериментальным данным используют методы регрессионного и корреляционного анализов.

7.2. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую экспериментальным данным. Под наилучшим соответствием понимается минимизация функции ошибки (разность между прогнозируемыми моделью и экспериментальными данными).

Нужно нанести экспериментальные точки на график в прямоугольной системе координат. После этого визуально можно попытаться определить вид зависимости, которая наилучшим образом аппроксимирует экспериментальные точки. Для этого можно использовать наиболее характерные функции, графики которых представлены на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Виды регрессионных кривых

Рассмотрим особенности регрессионного анализа на примере построения линейной регрессионной модели.

На рисунке 7.3. показаны точки (x_i,y_i), полученные в машинном эксперименте. Предположим, что функция отклика может быть представлена графически в виде прямой линии вида:

Получить значения коэффициентов b₀ и b₁ , при которых сумма квадратов ошибок будет минимальной. На рисунке ошибки e_i равны перпендикулярам, опущенным из точки на линию регрессии.

Пусть - величина, предсказываемая регрессионной моделью, тогда выражение для ошибок имеет вид:

, а функция ошибки .

Для получения коэффициентов b₀ и b₁, при которых функция F₀ будет минимальной, приравняем к нулю частные производные, получим:

.

Получим систему двух линейных алгебраических уравнений:

(8.1)

Решая эту систему, найдем коэффициенты:

; ,

где N – число реализаций при моделировании.

В общем случае функцию принимают в виде полинома:

,

система уравнений будет иметь вид

Для оценки совпадения теоретических и экспериментальных значений нужно посчитать среднюю квадратичную ошибку на единицу веса:

или среднее абсолютное отклонение:

,

где r – число вычисляемых (табличных значений); s – число параметров.

Подбор подходящих уравнений для поверхности отклика в подавляющем большинстве случаев можно произвести без составления и решения уравнений в общем виде, так как можно пользоваться готовыми формулами.

Наиболее характерными являются:

• линейная аппроксимация :

• нелинейная аппроксимация:

• логарифмическая аппроксимация: , здесь коэффициенты находятся из уравнений:

; .

• экспоненциальная аппроксимация: , где коэффициенты находятся из уравнений:

,

где lg e=0,4343.