Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Задача 59. Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямо­ линейному рельсу без скольжения (рис. 148), если скорость центра С колеса

равна vc, а угол DKM = a.

Р е ш е н и е . Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем,

что й ^ = й с + й л ю где ОмсА^М и по модулю vAic= a-M C=a)R (R — радиус ко­ леса). Значение угловой, скорости ш найдем из условия того, что точка К колёса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени »*•= О. С дру­

гой стороны, так же как и для точки М , V^ = VC -\-Vk c , где ид-с = ш -/(С = ш Я . Так

как для точки К скорости v k c и vq направлены вдоль одной прямой, то при 1 ^ = 0 *>KC = VC >откуда ® =сс 'Л. В результате находим, что vjtfc=<nR=vc .

Параллелограмм, построенный на векторах v/^c и 1'с< будет при этом ромбом.

Угол между 1>с н~ймс равен р, так как стороны, образующие этот угол и угол р, взаимно перепендикулярны. В свою очередь угол р = 2 а , как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол а . Тогда по свойствам ромба

углы между vc и ид| и между VM C и VM тоже равны а . Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перепендикулярны, получим

»Л1 = 21'c cos а и v^i J_ КМ .

Расчет, как видим, оказывается достаточно громоздким. В дальнейшем мы познакомимся с методами, позволяющими решать аналогичные задачи гораздо проще (см. задачу 61 в § 57).

{ 55. ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ ДВУХ ТОЧЕК ТЕЛА

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, дви­ жущегося плоскопараллельно) с помощью формулы (52) связано обычно с довольно сложными расчетами (см. задачу 59). Однако исходя из этого основного результата, можно получить ряд других, практи­ чески более удобных и простых мето­ дов определения скоростей точек фи­ гуры (или тела).

Один из таких методов дает тео­ рема: проекции скоростей двух точек

твердого тела на ось, проходящую че­ рез эти точки, равны друг другу.

Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис. 149), получаем по формуле

(52), что vB= v A+ v SA. Отсюда, проектируя обе части равенства на

ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор vBA перпендику­ лярен АВ', находим

и теорема доказана. Заметим, что этот результат ясен и из чисто физических соображений: если равенство (54) не будет выполняться, то при движении расстояние между точками А и В должно изме­ ниться, что невозможно, так как тело считается абсолютно твердым. Поэтому равенство (54) выполняется не только при плоскопарал­ лельном, но и при любом движении твердого тела.

Доказанная теорема позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление скорости этой точки и ско­ рость какой-нибудь другой точки того же тела.

Задача 60. Найти зависимость между скоростями точек Л и в линейки эл­ липсографа (см. рис. 145) при данном угле <р.

Р е ш е н и е . Направления скоростей точек А и В известны. Тогда, проекти­

руя векторы 5^1 и VB на ось, направленную по А В, получим согласно доказанной теореме

11л cos <р—идcos (90°—ф),

откуда vA— vBtg ф.

$ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ С ПОМОЩЬЮ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ. ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДАХ

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­ тии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом един­ ственная. Пусть в момент времени t точки А

перпендикулярен и АР, (так как vA± А Р ) и ВР (так как vB LBP), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную

нулю (например, для точки.а проекция vB на линию Ва не равна нулю и, следовательно, va=£0 и т. д.).

Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс, то по формуле (52) скорость точки А будет

vA =~vP + vPA ^ v PA,

так как vp= 0 . Аналогичный результат получается для любой дру­ гой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры

определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При

* Размеры фигуры всегда можно представить себе такими, что точка Р будет принадлежать этой фигуре (см. ниже пример и рис. 151).

132

т. е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­

ниям от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Д ля определения мгновенного центра скоростей надо знать то­

лько направления скоростей уА и vB каких-нибудь двух точек А к В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ ставленных из точек Л и В к скоростям этих точек (или к каса­ тельным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо

знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, вос­ ставив из точек Л и В перпендикуляры к иА_и vB, построим мгно­

венный центр скоростей р и по направлению иА определим направ­ ление поворота фигуры. После этого, зная vA, найдем по формуле (56) скорость vM любой точки М плоской фигуры. Направлен век­

тор vM перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость © плоской фигуры равна в каждый данный

момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к

Равенства (57) и (58) определяют одну и ту же величину, так как по доказанному (см. § 52) поворот плоской фигуры вокруг точки А или точки Р происходит с одной и той же угловой скоростью (О.

Пример. Для линейки AD эллипсографа (рис. 151)-направления скоростей точек А и В известны. Восставляя к ним перпендикуляры, найдем мгновенный центр скоростей Я линейки (эллипсограф можно представить себе в виде листа фа-

133

т. е. тот же результат, что и в задаче 60. Для точки М аналогично найдем, что VM ~ VB (PMIPB). Длину РМ можно вычислить, зная АВ, AM и угол <р. Направ­

ление вектора vM показано на чертеже (OJHJ_PM).

Для угловой скорости линейки по формулам (57) или (58) находим

Легко проверить, что обе формулы дают один и тот же результат.

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного

качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ ности другого .неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­ щаяся неподвижной поверхности (рис. 152), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (иР=0), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры_ параллельны

друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна vA (рис. 153, а), то мгновенный центр скоростей Лежит в бесконечности и скорости

всех точек параллельны vA. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что wAcosa=uBcosP, т. е. vB= vA\ аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­ сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, я по направлению, т. е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей

(такое состояние движения тела назьГвают еще мгновенно поступа­ тельным). Угловая скорость со тела в этот момент времени, как видно из формулы (58), равна пулю.

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны

Друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна vA, то мгновен­ ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 153, б. Справедливость построений следует из пропорции (56). В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения цент-

134

фигуры и ее угловая скорость со, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к vB (см. рис. 150), можно

показано, что скорости точек плоской фигуры распределены в каждый момент времени так, как если бы движение этой фигуры представляло собой вращение вокруг центра Р. По этой причине точку неподвижной плоскости, совпадающую с мгновенным центром скоростей, которую мы также будем обозначать буквой Р. называет мгновенным центром вращения, а ось Рг, перпендикулярную сечению S тела (см. рис. 141) и проходящую через точку Р,— мгновенной осью вращения тела, совершающего плоскопараллельное движение. От неподвижной оси (или центра) вращения мгновенная ось (или центр) отличаются тем, что они все время меняют свое положение. В § 52 было установлено, что плоскопараллельное дви­ жение можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вме­ сте с каким-то фиксированным полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Полученный результат позволяет дать другую геометрическую картину плоского движения, а именно: плоскопараллельное движение слагается из серии последовательных элементарных Поворотов вокруг непрерывно линяющих свое по­ ложение мгновенных осей (или центров) вращения.

Например, качение колеса, изображенного ниже на рис. 156, можно пред­ ставить себе или как совокупность поступательного движения вместе с полюсом С и вращения вокруг этого полюса, или же как серию элементарных поворотов вок­ руг непрерывно изменяющей свое положение точки касания Р обода с рельсом.

При движении плоской фигуры мгно­ венный центр Р непрерывно изменяет свое положение как на неподвижной плоскости Оху, так и на плоскости, связанной с дви-

жущейся фигурой. Геометрическое место мгновенных центров вращения, т. е. положений точки Р на неподвижной плоскости, называют неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. положений точки Р в плоскости, связанной с фигурой и движущейся вместе с ней,— подвижной центроидой (рис. 154). В данный момент времени обе центроиды касаются друг друга в точке Р, являющейся для этого момента мгновенным центром вращения (или скоростей); пересекаться центроиды не могут, так как тогда в данный момент времени существовало бы больше одного мгновенного центра, что невозможно.

В следующий момент времени будут соприкасаться точки Р\ подвижной и Рг неподвижной центроид, и эта точка будет для следующего момента мгновенным центром вращения и т. д. Отсюда, поскольку положение мгновенного центра' Р изменяется непрерывно и в каждый данный момент времени Ор=0, можно заклю­ чить, что при плоскопараллельном движении происходит качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной. Наоборот, если материально осуществить обе центроиды, то геометрическую картину плоского движения твердого тела мож­ но получить, скрепив тело с подвшкиой центроидой я кате эту центроиду без скольжения по неподвижной.

135

Легко видеть, что для колеса, изображенного на рис. 156, ось Ох является неподвижной цеитроидой, а окружность PEDK — подвижной. Качением без скольжения подвижной центроиды по неподвижной и осуществляется движение колеса.

Пример. Для линейки АВ эллипсографа (рис. 155) мгновенный центр враще­ ния находится в точке Р (см. рис. 151). Так как расстояние РО=АВ—1в любой момент времени, то геометрическим местом точек Р в плоскости Оху, т. е. непод­ вижной центроидой, будет окружность радиуса I с центром в О. Но одновременно, если линейку А В представить нарисованной на листе фанеры Л, то расстояние РС=1/2 центра Р от точки С линейки будет тоже все время постоянным. Следова­ тельно, геометрическим местом точек Р на листе фанеры Л, т. е. подвижной цен­ троидой, будет окружность радиуса 112 с центром в точке С. При движении эллип­ сографа окружность 2 катится без скольжения по окружности 1 н точка их ка­ сания в каждый момент времени будет мгновенным центром вращения. Наоборот, если окружности / и 2 осуществить материально (в виде шестерен) и катить одну по другой (неподвижной) без скольжения, то при этом диаметр АВ окружности 2 воспроизведет движение линейки эллипсографа.

§ 57. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Для определения искомых кинематических характеристик (угло­ вой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела (кроме случаев а) и в), рассмотренных в конце § 56). С определения этих характеристик по данным задачи и следует начинать решение.

Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить'соот­ ветствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое

непоступательно движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.

Задача 61. Определить скорость точки М обода катящегося колеса (см. задачу 59) с помощью мгновенного центра скоростей.

У

О

Р е ш е н и е . Точка касания колеса Р (рис. 156) является мгновенным цен­

136

обода проходит через точку D. Составляя пропорцию vj^/PM—vc/PC и замечая, что ЯС=Л, a PM =2R cos а, находим V M = 2 V C c o s а.

Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скорость Vtf=2vc имеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колеса согласно формуле (57) имеет значение

a —vc/PC=vc !R-

Аналогичная картина ряспределения скоростей имеет место при качении колеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности (см. рис. 152).

Задача 62. Определить скорость центра С подвижного блока радиуса г и его угловую скорость ш (рис. 157), если груз А поднимается со скоростью vA, а груз В опускается со скоростью vg. Нить при. своем движении по подвижному блоку не проскальзывает, а ее ветви вертикальны.

Р е ш е н и е . Так как нить по подвижному блоку не проскальзывает, то скорости точек а и Ь блока равны по модулю скоростям грузов, т. е. va= vA и V(,—Vg. Зная скорости точек а и Ь и полагая для определенности, что и д> ил, находим положение мгновенного центра скоростей Р подвижного блока таким же приемом, как и в случае, показанном на рис. 153, б. Скорость центра С блока изо­

бражается вектором vq- Для определения модуля vc и угловой скорости (о под­ вижного блока составляем, пользуясь формулой (58), равенства:

При ug>Vj| центр С блока поднимается; если vg<vA, он будет опускаться. При

Vg—Vl получим Vc=0.

Для случая, когда оба груза А и В опускаются, значения а>и vc найдем, за­

137

2. Восставляя, из точек А и В перпендикуляры к скоростям этих точек, опре­ деляем мгновенный центр скоростей Р для шатуна АВ (линия АР является про­ должением ОА). Наименьшую скорость имеет точка М, ближе всего расположенная к центру Р, т. е. лежащая на перпендикуляре РМ к АВ. Скорость этой точки

*'м = VA cos а = о>смг sin (<р + р).

3. Угловая скорость шалуна А В согласно формуле (57)

V>A B = VA!PA или о>ав = L'B /PB.

Длина РВ (или РА) вычисляется по данным задачи.

4. При угле ф—0 (рис. 159, в) перпендикуляр АВ к скорости vA ииерпенди-

куляр ВЬ к направлению vg пересекаются в точке В. Следовательно, точка В яв­ ляется в этом положении мгновенным центром скоростей а чд=0 (мертвое» положение механизма). Для этого положения

«Ма = VA !AB<= гы о а/1-

Распределение скоростей точек шатуна АВ показано на чертеже.

5. При угле ф=90° (рис. 159, б) скорости t/д и vg направлены параллельно и перпендикуляры к ним пересекаются в бесконечности. Следовательно, в этот мо­

мент времени все точки шатуна имеют одинаковые скорости, равные vA\ ш дв=0.

Задача 64. Кривошип ОА (рис. 160)., вращающийся вокруг оси О с угловой скоростью ш0А, несет на себе ось подвижной шестерни /, катящейся по неподвиж­ ной шестерне 2. Радиусы шестерен одинаковы и равны г. К шестерне 1 шарнир­ но прикреплен шатун BD длиной /, соединенный с коромыслом DC. Определить угловую скорость, шдо шатуна в момент, когда он перпендикулярен кривошипу ОА, если в этот момент Z BDC= 45°.

Р е ш е н и е . Для определения a BD надо знать скорость какой-нибудь точки шатуна BD и положение его мгновенного центра скоростей. Найдем скорость точки В, пользуясь тем, что она одновременно принадлежит шестерне /. Для шестерни 1

(vdJL.DC). Восставляя перпендикуляры к vg и ид, найдем мгновенный центр ско­

ростей, восставляя перпендикуляры к векторам vA H~Vd . Точки А и D принадлежат

138

разным телам, и пересечение указанных перпендикуляров никакого центра ско­

ростей не дает (сравн. с задачей 65).

Задача 65. На ось О (рис. 161) независимо друг от друга насажены шестерня / и кривошип ОА, вращающийся с угловой скоростью а>ол- Кривошип несет ось А шестерни 2, наглухо скрепленной с шатуном АВ, проходящим через качающуюся муфту С. Радиусы шестерен 1 и 2 одинаковы (гг= гг=г). Определить угловую скс^ость <0j шестерни 1 в тот момент времени, когда OAJ_OC, если при этом

Р е ш е н и е . Для определения угловой скорости щ шестерни 1 надо найти скорость ее точки Е. Эту скорость найдем, пользуясь тем, что такую же скорость имеет точка Е шестерни 2. Для шестерни 2 известны направление и модуль ско­ рости точки А:

VA ± O A , vA = a 0A-2r.

Кроме того, мы знаем направление скорости ug, но в данном случае этого не­ достаточно, так как »£||ид. По теореме проекций значение vE также не найдется/

так как v a и перпендикулярны АЕ. Поэтому для дальнейшего решения вос­ пользуемся тем, что шестерня 2 и шатун АВ образуют одно тело (они склепаны).

Для этого тела зн^ем направление скорости точки С: вектор vc направлен вдоль СА, так как в .точке С шатун может только проскальзывать вдоль муфты. Восставляя

перпендикуляры к иди Гр, находим мгновен­ ный центр скоростей Р тела ЬАЕ.

По данным задачи Z АСО=;30°, откуда и

Z С/М=30°. Поэтому

А С = 2‘АО=4г, РА=2-АС=&г, РЕ=7г.

Тогда из пропорции VeIPE=Va/PA находим, что t»p=(7/8) V A ~ ( 7 /4 ) гч>о а • Отсюда o>i= =»£/'& £= (7/4) ь>о а -

Рис.

Задача 66. В механизме, изображенном на рис. 162, кривошипы / и 2 дли­ ной /. и L соответственно могут вращаться независимо друг от друга вокруг их oceft Ох и O f. При данных углах а и р (ОгВ\\АС) найти: 1) чему должны равняться угловые скорости ( ^ и ш , кривошипов, чтобы шарнир С механизма имел в данный

момент времени заданную скорость i<c , направленную под углом у к звену АС;

2) чему будет равна скорость сс , если кривошипы имеют заданные угловые ско­ рости COj И Wj.

* Механизм имеет две степени свободы: его положение определяется двумя уг­ лами я и Р, не зависящими друг от друга (угол а можно изменять, не изменяя угол Р, и наоборот). Механизмы, рассматривавшиеся в предыдущих задачах, имеют одну степень свободы и положение каждого определяется одним углом, например у механизма, изображенного на рис. 158, углом ф. П о д р о б н е е вопрос о степенях сво­ боды рассматривается в § 138.

139

Р е ш е н и е . Так как точка С принадлежит одновременно звеньям АС и ВС, то по теореме о проекциях скоростей должно быть:

Как видим, рассматриваемый механизм действительно позволяет сообщить точке С перемещение в плоскости механизма по любому наперед заданному направ­ лению с заданной скоростью. Подобные свойства механизмов используются в раз­ личных манипуляторах.

2. Если заданы щ и ш2. то одновременно будут известны vA и од. Тогда из уравнений (а) можно определить искомые значения i'c и у, но расчет при этом будет; обычно достаточно громоздким.

Однако задача легко и изящно решается графически. Для этого следует от­ ложить вдоль продолжения АС отрезок Cci=Aa, а вдоль СВ — отрезок Cct=Bb и восставить из точки сг перпендикуляр к Ссх, а из точки с,— перпендикуляр к Сс,. Точка пересечения этих перпендикуляров и определяет конец искомого век­

тора vc , так как Сс1 является проекцией на АС, а Сс,— проекцией 7^ на СВ.

f 68*. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фи­ гуры. Положение точки М по отношению к осям Оху (см. рис. 146)

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение

аА полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение аМА, кото­ рое точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А (см. § 54). Следовательно,

метрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускоре­

* На чертеже сплошная дуговая стрелка показывает направление ш (направ ление вращения), а пунктирная — направление (знак) е. При ускоренном враще­ нии обе стрелки будут направлены в одну сторону, а при замедленном — вразные.

140