Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

С.М. Тарг

Краткий курс теоретической механики

И здание двадцатое, стереотипное

Рекомендовано Министерством образования и науки

Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений

М осква «Высшая школа» 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ

КТРИНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ

Книга является учебником для студентов высш их техничес­ ких учебных заведений; представление о ее содерж ании дает оглавление. М атериал в книге изложен так, что ею мож но пользоваться при изучении курса как по кратким, так и по более полным програм м ам . П ри этом т а часть м атериала,

которая мож ет входить в те или иные более полные п рограм ­ мы, помещ ена в главы или параграфы, отмеченные звездочкой или набранные петитом . П ри чтении книги лю бая часть этого м атериала может опускаться без ущ ерба для понимания оста­ льного текста. Заметим однако, что ознаком иться с таким и освещ енными в учебнике весьм а интересными вопросам и, как движение в поле зем ного тяготения или движение тела пе­ ременной массы (ракеты), полезно студентам всех специаль­ ностей.

Выделение динамики точки в самостоятельны й раздел со-

динамики для точки и системы экономии во времени по сущ е­ ству не дает, но создает у изучаю щ их курс дополнительны е трудности, связанные с необходимостью усваивать одновре­

заним ает около трети всей книги. Решения задач сопровож да­ ю тся рядом указаний, которы е долж ны пом очь студенту при самостоятельном изучении м атериала. В этой части книга будет полезна студентам всех специальностей и особенно сту­ дентам заочных вузов.

В книге используется общ епринятое векторное излож ение м атериала и предполагается, что читатель знаком с основам и векторной алгебры; однако в примечаниях даю тся и некоторы е

3

ВВЕДЕНИЕ

Современная техника ставит перед инженерами множество задач, решение которых связано с исследованием так называемого механи­ ческого движения и механического взаимодействия материальных тел.

М е х а н и ч е с к и м д в и ж е н и е м называют происходя­ щее с течением времени изменение взаимного положения материаль­ ных тел в пространстве. Под м е х а н и ч е с к и м в з а и м о д е й ­ с т в и е м понимают те действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация). За основную меру этих действий принимают величину, называемую силой. Примерами механического движения в природе являются движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, тепловое движение мо­ лекул и т. п., а в технике — движение различных наземных или водных транспортных средств и летательных аппаратов, движение частей всевозможных машин, механизмов и двигателе#, деформация элементов тех или иных конструкций и сооружений, течение жидко­ сти и газов и многое другое. Примерами же механических взаимодей­ ствий являются взаимные притяжения материальных тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся (или соударяющихся) тел, воздействия частиц жидкости и газа друг на друга и на движущиеся или покоящиеся в них тела и т. д.

Наука о механическом движении и взаимодействии материаль­ ных тел и называется механикой. Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик и с развитием этой науки в ней появился це­ лый ряд самостоятельных областей, связанных с изучением меха­ ники твердых деформируемых тел, жидкостей и газов. К этим обла­ стям относятся теория упругости, теория пластичности, гидромеха­ ника, аэромеханика, газовая динамика и ряд разделов так называе­ мой прикладной механики, в частности: сопротивление материалов, статика сооружений, теория механизмов и машин, гидравлика, а так­ же многие специальные инженерные дисциплины. Однако во всех этих областях наряду со специфическими для каждой из них зако­ номерностями и методами исследования опираются на ряд основных законов или принципов и используют многие понятия и методы, об­ щие для всех областей механики. Рассмотрение этих общих понятий, законов и методов и составляет предмет так называемой теоретиче­ ской (или общей) механики.

В основе механики лежат законы, называемые законами класси­ ческой механики (или законами Ньютона), которые установлены пу­

5

тем обобщения результатов многочисленных опытов и наблюдений и нашли подтверждение в процессе всей общественно-производствен­ ной практики человечества. Эго позволяет рассматривать знащгя, основанные на законах механики, как достоверные знания, на кото­ рые инженер может смело опираться в своей практической деятель­ ности *.

Общий метод научных исследований состоит в том, что при рас­ смотрении того или иного явления в нем выделяют главное, опреде­ ляющее, а от всего остального, сопутствующего данному явлению, абстрагируются. В результате вместо реального явления или объек­ та рассматривают некоторую его модель и вводят ряд абстрактных понятий, отражающих соответствующие свойства этого явления (объекта).

В классической механике такими абстракциями или моделями являются по существу все вводимые исходные положения и понятия.

Они учитывают то основное, определяющее, что существенно для рассматриваемого механического движения и позволяет его строго охарактеризовать и изучить. Так, например, вместо реальных ма­ териальных тел в механике рассматривают такие их абстрактные модели, как материальная точка, абсолютно твердое тело или сплош­ ная изменяемая среда, абстрагируясь от учета в первом случае фор­ мы и размеров тела, во втором— «го деформаций, в третьем — молекулярной структуры среды. Но только построив механику та­ кого рода моделей, можно разработать методы, позволяющие изу­ чать с пригодной для практики точностью равновесие' и движение реальных объектов, проверяя в свою очередь эту пригодность опы­ том, практикой.

Роль и значение теоретической механики в инженерном образова­ нии определяется тем, что она является научной базой очень многих областей современной техники. Одновременно законы и методы ме­ ханики как естественной науки, т. е. науки о природе, позволяют изучить и объяснить целый ряд важных явлений в окружающем нас мире и способствуют дальнейшему росту и развитию естествозна­ ния в целом.

По характеру рассматриваемых задач механику принято разде­ лять на с т а т и к у , к и н е м а т и к у и д и н а м и к у. В ста­ тике излагается учение о силах и об условиях равновесия материаль­ ных тел под действием сил. В кинематике рассматриваются общие

* Последующее развитие науки показало, что при скоростях, близких к скорости света, движение тел подчиняется законам механики теории относитель­ ности, а движение микрочастиц (электроны, позитроны и др.) описывается зако­ нами квантовой механики. Однако эти открытия только уточнили область прило­ жений классической механики и подтвердили достоверность ее законов для движе­ ний всех тел, отличных от микрочастиц, при скорости, не близких к- скорости света, т. е. для тех движений, которые имели и имеют огромное практическое зна­ чение в технике, небесной механике и ряде других областей естествознания.

6

геометрические свойства движения тел. Наконец, в динамике изу­ чается движение материальных тел под действием сил.

Возникновение и развитие механики. * как науки неразрывно связано с историей развития производительных сил общества, с уровнем производства и техники на каждом этапе этого развития.

В древние времена, когда запросы производства сводились глав­ ным образом к удовлетворению нужд строительной техники, начи­ нает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равно­ весии тел (статика). Обоснование начал статики содержится уже в сочинениях одного из великих ученых древности Архимеда (287— 212 г. до н. э.).

Развитие динамики начинается значительно позже. В XV—XVI столетиях возникновение и рост в странах Западной и Центральной Европы буржуазных отношений послужили толчком к значитель­ ному подъему ремесел, торговли, мореплавания и военного дела (по­ явление огнестрельного оружия), а также к важным астрономиче­ ским открытиям. Все это способствовало накоплению большого опытного материала, систематизация и обобщение которого привели

вXVII столетии к открытию законов динамики. Главные заслуги

всоздании основ динамики принадлежат гениальным исследовате­

лям Галилео Галилею (1564— 1642) и Исааку Ньютону (1643— 1727). В сочинении Ньютона «Математические начала натуральной фило­ софии», изданном в 1687 г., и были изложены в систематическом виде основные законы классической механики (законы Ньютона).

В XVIII в. начинается интенсивное развитие в механике анали­ тических методов, т. е. методов, основанных на применении диффе­ ренциального и интегрального исчислений. Методы решения задач динамики точки и твердого тела путем составления и интегрирова­ ния соответствующих дифференциальных уравнений были разрабо­ таны великим математиком и механиком Л. Эйлером (1707— 1783). Из других исследований в этой области наибольшее значение для развития механики имели труды выдающихся французских ученых Ж . Даламбера (1717—1783), предложившего свой известный прин­ цип решения задач динамики, и Ж . Лагранжа (1736— 1813), раз­ работавшего общий аналитический метод решения задач динамики на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений.

Внастоящее время аналитические методы решения задач являются в динамике основными.

Кинематика, как отдельный раздел механики, выделилась лишь в XIX в. под влиянием запросов развивающегося машиностроения.

Внастоящее время кинематика имеет и большое самостоятельное значение для изучения движения механизмов и машин.

ВРоссии на развитие первых исследований по механике боль­

шое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя

* Термин «механика» впервые появляется в сочинениях одного из выдающих­ ся философов древности Аристотеля (384—322 г. до н. э.) и происходит от греческо­ го тёсЬ ап ё, означающего по современным понятиям «сооружение*, «машина».

7

Раздел первый

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

СТАТИКИ

§ 1. АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО; СИЛА. ЗАДАЧИ СТАТИКИ

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под равновесием будем понимать состояние покоя тела по отно­ шению к другим телам, например по отношению к Земле. Условия равновесия тела существенно зависят от того, является ли это тело твердым, жидким или газообразным. Равновесие жидких и газооб­ разных тел изучается в курсах гидростатики или аэростатики. В об­ щем курсе механики рассматриваются обычно только задачи о рав­ новесии твердых тел.

Все встречающиеся в природе твердые тела под влиянием внеш­ них воздействий в той или иной мере изменяют свою форму (дефор­ мируются). Величины этих деформаций зависят от материала тел, их геометрической формы и размеров и от действующих нагрузок. Для обеспечения прочности различных инженерных сооружений и конструкций материал и размеры их частей подбирают так, чтобы деформации при действующих нагрузках были достаточно малы *. Вследствие этого при изучении условий равновесия вполне допусти­ мо пренебрегать малымидеформациями соответствующих твердых тел и рассматривать их как недеформируемые или абсолютно твер­ дые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между каждыми двумя точками которого всегда остается постоян­ ным. В дальнейшем при решении задач статики все тела рассматри­ ваются как абсолютно твердые, хотя часто для краткости их назы­ вают просто твердыми телами.

* Например, материал и размеры стержней, входящих в те или иные конст­ рукции, выбирают такими, что при действующих нагрузках стержни удлиняю тся (или укорачиваются) менее чем на одну тысячную долю их первоначальной длины. Таков же порядок допускаемых деформаций при изгибе, кручении и т. п.

9

Состояние равновесия или движения данного тела зависит от ха­ рактера его механических взаимодействий с другими телами, т. е. от тех давлений, притяжений или отталкиваний, которые тело испы­ тывает в результате этих взаимодействий. Величина, являющаяся основной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

Рассматриваемые в механике величины можно разделить на ска­ лярные, т. е. такие, которые полностью характеризуются их число­ вым значением, и векторные, т. е. такие, которые помимо числового значения характеризуются еще и направлением в пространстве.

Сила — величина векторная. Ее действие на тело определяется: 1) числовым значением или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой прилоясения силы.

Модуль силы находят путем ее сравнения с силой, принятой за единицу. Основной единицей измерения силы в Международной сис­ теме единиц (СИ), которой мы будем пользоваться (подробнее см. § 75), является 1 ньютон (1 Н); применяется и более крупная еди­ ница 1 килоньютон (1 кН = 1000 Н). Для статического измерения силы служат известные из физики приборы, называемые динамомет­ рами.

Силу, как и все другие векторные величины, будем обозначать буквой с чертой над нею (например, F), а модуль силы — символом

l^l или той же буквой, но без черты над нею (F). Графически сила, как и другие векторы, изображается направленным отрезком (рис. 1). Длина этого отрезка выражает в выбранном масштабе мо­ дуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы,

эти линии действия не лежат в одной плоскости,— пространствен­ ной. Кроме того, силы, линии действия которых пересекаются в од­ ной точке, называются сходящимися, а силы, линии действия кото­ рых параллельны друг другу,— параллельными.

2.Тело, которому из данного положения можно сообщить Любое перемещение в пространстве, называется свободным.

3.Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состоя­ ния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

4.Система сил, под действием которой свободное твердое тело

10