Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

щих центр симметрии, лежит в геометрическом центре (центре сим­ метрии) этих тел.

2. Р а з б и е н и е . Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосред­ ственно вычислить по формулам (59) — (62). При этом число сла­ гаемых в каждой из сумм будет .равно числу частей, на которые разбито тело.

Задача 46. Определить координаты центра тяжести однородной пластины, изображенной на рис. 106. Все размеры даны в сантиметрах.

Р е ш е н и е . Проводим оси х, у и разбиваем пластину на три прямоугольни­ ка (линии разреза показаны на рис. 106). Вычисляем координаты центров тяжести каждого из прямоугольников и их площади (см. таблицу).

способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и выре­ занной части известны.

метрии. Проводим координатные оси. Для нахождения координаты хс дополняем площадь пластины до пол­ ного круга (часть 1), а затем вычитаем из полученной площади площадь вырезанного круга (часть 2). При этом площадь ч4сти2, как вычитаемая, должна браться со знаком минус. Тогда st= n R 3, s3= —я гг, % = 0 , ха

91

Подставляя найденные значения в формулы (61), получаем:

*1*1 + •***»

S R — г

Найденный центр тяжести С, как видим, лежит левее точки Of.

4. И н т е г р и р о в а н и е . Если тело нельзя разбить на не сколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы Avh, для которых формулы (60) принимают вид

(63)

где xh, у к, zh — координаты некоторой точки, лежащей внутри объе­ ма A tv Затем в равенствах (63) переходят к пределу, устремляя все At»k к нулю, т. е. стягивая эти объемы в точки. Тогда стоящие в равенствах суммы обращаются в интегралы, распространенные на весь объем тела, и формулы (63) дают в пределе:

Аналогично дгщ координат центров тяжести площадей й линий получаем в пределе из формул (61) и (62):

(S)(S)

неоднородных тел сложной конфигурации (самолет, паровоз и т. п.) можно определять экспериментально. Один из возможных эксперименталь­ ных методов (метод подвешивания) состоит в том, что тело подвешивают на нити или тросе за различные его точки. Направление нити, на которой подвешено тело, будет каждый раз давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.

Другим возможным способом экспериментального определения центра тяжести является метод взвешивания. Идея этого метода ясна из рассмотренного ниже примера.

Пример. Покажем, как можно экспериментально определить одну из коорди­ нат центра тяжести самолета (расстояние а), если расстояние А В= 1 (рис. 108)

92

известно. Поставив колесо В на платформу весов, найдем взвешиванием силу дав­ ления колеса на платформу; тем самым будет найдена численно равная этой силе реакция Точно так же взвешиванием находим реакцию Ыг. Приравнивая за­ тем нулю сумму моментов всех сил относительно центра тяжести С самолета, полу­

наперед известно, то для определения а можно обойтись только однократным взве­ шиванием.

§ 33. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

1. Ц е н т р т я ж е с т и д у г и о к р у ж н о с т и . Рас­ смотрим дугу А В радиуса R с центральным углом АОВ =2а. В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ох (рис. 109). Найдем координату х с по формулам (66). Для этого выделим на дуге

АВ элемент М М ' длиной dl=R d f, положение которого определя­ ется углом ф. Координата х элемента М М' будет x —R соз ф. Под­ ставляя эти значения х и d/ в первую из формул (66) и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, полу­ чим:

где L — длина дуги АВ, равная R -2а. Отсюда окончательно нахо­ дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симмет­ рии на расстоянии от центра О, разном

лельными стороне AD, на п узких полосок; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника. Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Анало­ гичный результат получается для двух других медиан. Отсюда за­

Раздел второй

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава IX

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§36. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ

Кинематикой называется раздел механики, в котором изуча­ ются геометрические свойства движения тел без учета их инертно­ сти (массы) и действующих на них сил.

Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в

динамику, так как установление основных кинематических понятий и зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и са­ мостоятельное практическое значение, например, при изучении пе­ редач движения в механизмах.

Под движением мы понимаем в механике изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучает­ ся движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. В дальнейшем будем говорить о движении тела (или точки) по отношению к данной системе отсчета, подразумевая под этим движение по отношению к тому телу, с которым эта система отсчета связана. Изображать сис­ тему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны). Выбор системы отсчета в кинематике произволен (определяется целью исследования), и в отличие от ди­ намики (см. § 74) все кинематические зависимости, полученные при изучении движения в какой-нибудь одной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой системе отсчета.

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем как трехмерное евкли­ дово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается 1 м. Время в механике считается универ­ сальным, т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых

95

системах отсчета. За единицу времени принимается 1 с. Размерность длины обозначается символом L, а времени — символом Т. '

Евклидово пространство и универсальное время отражают реаль­ ные свойства пространства и времени лишь приближенно. Однако, как показывает опыт, для движений, которые изучаются в механике (движения со скоростями, далекими от скорости света), это прибли­ жение дает вполне достаточную для практики точность.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величи­ ной. В задачах кинематики время t принимают за независимое пере­ менное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д ;) рассматриваются как изменяющиеся стечением вре­ мени, т. е. как функции времени t. Отсчет времени ведется от не­ которого начального момента (/= 0), о выборе которого в каждом случае условливаются. Всякий данный момент времени t определя­ ется числом секунд, прошедших от начального момента до данного; разность между какими-нибудь двумя последовательными момен­ тами времени называется промежутком времени.

Почерпнутые из опыта и подтвержденные практикой основы, на которых строится кинематика, дают аксиомы геометрии. Никаких дополнительных законов или аксиом для кинематического изучения движения не требуется.

Д ля решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точ­ ки) — значит задать полозхение этого тела (точки) относительно данной системы отсчетов любой момент времени. Установление ма­ тематических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Поэтому изучение движения любого объекта будем начинать с установления способов задания этого движения.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ ное движение.

Изучение кинематики начнем с изучения движения простейшего объекта — точки (кинематика точки), а затем перейдем к изучению кинематики твердого тела.

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка от­ носительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называ­ ется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.

§ 37. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Д ля задания движения точки можно применять один из следую­ щих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

стеме отсчет з Охуг. Положение этой точки в любой момент времени

96

можно определить', задав ее радиус-вектор г, проведенный из на­ чала координат О в точку М (рис. 114).

При движении точки М вектор { будет с течением времени изме­

няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, г является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­ мента t:

форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор г и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора г, т. е. годограф этого век­ тора, определяет траекторию движущейся точки.

Аналитически, как известно, вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для

тор г может быть задан, как известно, и иными способами, например его модулем я углами с осями или проекциями на оси других систем координат. Для получения общих формул, независящих оттого, как

конкретно задан вектор г, будем исходить из векторного закона дви­ жения, представленного равенством ( 1).

< 2. К о о р д и н а т н ы й с п о с о б з а д а н и я д в и ж е ­ н и я т о ч к и . Положение точки можно непосредственно опре­ делять ее декартовыми координатами х, у, г, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­ жения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент вре­ мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости

Уравнения (3) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения *.

* Задать движение точки можно, пользуясь и другими системами координат, например полярными (см. § 47), сферическими и т. д.

Уравнение (6) и выражает закон движения точки М вдоль тра­ ектории.

Таким образам, чтобы задать движение точки естественным спо­ собом, надо задать: i) траекторию точки; 2) начало отсчета на траек­ тории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s=f(t).

Заметим, что величина s в уравнении (6) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь. Например, если точ­ ка, двигаясь из начала О', доходит до положения М , (рис. 115), а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положе­ ние М, то в этот момент ее координата s=0'M , а пройденный за время движения путь будет равен 0'Л!1+Л11Л1, т. е. не равен s.

| 38. ВЕКТОР СКОРОСТИ ТОЧКИ

Одной из основных кинематических характеристик движе­ ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какойнибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится

в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-векто- ром г, а в момент tx приходит в положение М и определяемое векто­ ром ?! (рис. 116). Тогда перемещение точки за промежуток времени Ы = и —t определяется вектором М М и который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется, криволинейно (рис. 116, а), и вдоль самой траек­ тории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 116, б).

Из треугольника ОММг видно, что г+ М М 1= г 1; следовательно,

М М 1 = г1— г — Дл.

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток вре­ мени Дi:

Направлен вектор уср так же, как и вектор M M it т. е. при криво­ линейном движении вдоль хорды М М и в сторону движения точки, а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от де­ ления на At направление вектора не изменяется).

Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени At, для которого вычислена средняя скорость, тем величина vcv будет точ­ нее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости тонкие данный момент времени.

СкоростьюJ04KH в-данный момент времени t называется вектор­

ная величина v, к которой стремится средняя скорость vtt при стрем­ лении промежутка времени At к нулю:

й = lim (vcp) = lim .

Д|-*0 Л/-+0

Предел отношения ArjAt при At -> 0 представляет собой первую производную от вектора г по аргументу t и обозначается, как и про­

изводная от скалярной функции, символом d/Vdjf. Окончательно по­ лучаем

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММг является ка­ сательная, то вектор скорости точки в данный момент времени на­ правлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Формула (8) показывает также, что вектор скорости и равен от­

ношению элементарного перемещения точки dr, направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку вре­ мени At.

При прямолинейном движении вектор скорости v все время на­ правлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изме­ няться лишь численно; при криволинейном движении кроме чис­ лового значения все время изменяется и направление вектора ско­ рости точки. Размерность скоростц LIT, т. е. длина/время; в ка­ честве единиц измерения применяют обычно м/с или км/ч. Вопрос об определении модуля скорости будет рассмотрен в § 40 и 42.

1 39. ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ

Ускорением точки называется векторная величина, характери­ зующая изменение с течением времени модуля и направления ско­ рости точки.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка нахо­ дится в положении М и имеет скорость к, а в момент tx приходит в

100