Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

тельно, FKop=2m(og<cosA, и первое из уравнений (60) примет вид

i = 2 (cog cos X) t.

Так как величина, стоящая в скобках, постоянная, то, интегрируя это урав­ нение, получим:

х= (cog cosX ^+Cj, х— (cog cosX)^/3+Cx<+C2.

Подстановка начальных данных дает Cj=Ca= 0 . Таким образом, уравнения, приближенно определяющие закон относительного движения точки, будут:

х= (cogcos A.) <*/3, у= Н —gf*/2.

Движение оказывается непрямолинейным и падающая точка действительно отклоняется к востоку. Исключив из предыдущих равенств время t, получим в пер­ вом приближении уравнение траектории точки (полукубическая парабола):

Как видим, отклонение е пропорционально угловой скорости Земли со и явля­ ется величиной малой. Например, на широте Москвы (А.=55°47', g=9,816 м/с*) при падении с высоты Н= 100 м величина г—1,2 см.

Ряд опытов, проведенных во многих пунктах Земли разными исследователя­ ми, подтверждает правильность результата, который дает формула (61).

Рассмотрим движение точки, брошенной из пункта О вертикально вверх с на­

чальной скоростью ц>. Сила F"0р при подъеме будет в первом приближении направ­ лена на запад. Тогда, если направить ось Ох также на запад (рис. 252, б), то диффе­ ренциальные уравнения движения сохраняют вид (60), а начальные условия будут: при < = 0 * = 0 , у= 0, vx=0, vv=v0.

Тогда, считая, как и в предыдущей задаче, приближенно v=vu, получим F^op— = 2т ш (i>0—gt)cosA, и первое из уравнений (60) примет вид

x= 2 (со cos А) (v0—gt).

Это уравнение будет описывать движение точки и при ее падении вниз, так как

происходящее при этом изменение направления вектора F£0р учтется изменением знака множителя (v0—gt)—vv.

Интегрируя полученное уравнение при начальных условиях задачи, найдем

Полагая в равенстве (62) у—0, найдем время движения точки до момента ее па­

дения на Землю: tl=2v0lg. Учитывая одновременно, что и0= Y2gH lt где Ну — вы­ сота подъема, определим из уравнения (63) западное отклонение точки в момент

* При определении модуля и направления силы F"0р мы в первом прибли­ жении пренебрегали составляющей скорости vx, направленной на восток. Вслед­

ствие наличия этой скорости сила F”op будет иметь дополнительную составляю­ щую, вызывающую отклонение точки к югу. Так как х= (cog cos k)ls/3, то скорость

vx=x пропорциональна со и отклонение к югу пропорционально со8, т. е. является малой величиной второго порядка.

231

Все эти расчеты относятся, как было указано, к движению в безвоздушном про­ странстве и учитывают влияние вращения Земли только в первом приближении;

Глава XIX

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ

f 94. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ УЧЕТА СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных обла­

в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях.

Начнем с изучения свободных колебакий точки без учета сил сопротивления.. Рассмотрим точку М , движущуюся прямолинейно

под действием одной только восстанавливающей силы F, направлен­ ной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от

этого центра. Проекция силы F на ось Ох (рис. 253) будет

Fx——cx. (65)

Сила F, как видим, стремится вернуть точку в равновесное по­ ложение О, где Р = 0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером, такой силы является сила упругости (см. § 88, рис. 232) или сила притяжения, рассмотренная в задаче 92 (см. § 80).

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное

уравнение движения в проекции на ось х (уравнение 12 из § 79), по­ лучим:

тх — Fx или тх = — сх.

232

Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии-сопротивления. Решение это­ го линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x= ent. Полагая в уравнении (67) x= ent, полу­ чим для определения п характеристическое уравнение л*+6а=0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (rti,2=

—±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид

где Cj и С, — постоянные интегрирования. Если вместо постоянных и С, ввести постоянные А и а, такие, что С ^ Л со эа, Ct= A s\na,

Это другой вид решения уравнения (67), в котором постоянными интегрирования являются А и а. Им удобнее пользоваться для об­ щих исследований.

рис. 127, в (см. § 45).

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся рапномерно по окружности радиуса А из

положения В0, определяемого углом DOB0= —а (рис. 254). Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна k. Тогда в произвольный момент времени t угол ф==/D O B = a + kt и легко видеть, что проекция М точки В на диаметр, перпен­ дикулярный DE, движется по закону х= =i4sin(W +a), где *=0/Vf, т е. совершает гармонические колебания.

Величина А, равная наибольшему откло­ нению точки Af от центра колебаний О, на­ зывается амплитудой колебаний. Величина

<p=W+a называется фазой колебаний. Фаза ф в отличие от коорди­ наты х определяет не только положение точки в данный момент вре­ мени, но и направление ее последующего движения; например, из положения М при фазе, равной ф, точка движется вправо, а при фазе, равной (п—ф),— влево. Фазы, отличающиеся на 2я, считают­ ся одинаковыми (на рис. 127, в светлыми точками отмечены две одц-

233

наковые фазы). Величина а определяет фазу начала колебаний (на­ чальная фаза). Например, при а = 0 колебания происходят по за­ кону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной вправо), при <р=я/2 — по закону косинуса (начинаются из поло­ жения х —А to скоростью 0о=О). Величина к, совпадающая с угло­ вой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис. 254, на­ зывается круговой частотой колебаний.

Промежуток времени Т (или т), в течение которого точка совер­ шает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2л. Следовательно, должно быть kT=2n, откуда период

Величина v, обратная периоду и определяющая число колеба­ ний, совершаемых за 1 с, называется частотой колебаний:

Отсюда видно, что величина k отличается от v только постоян­ ным множителем 2л. В дальнейшем мы обычно для краткости часто­ той колебаний будем называть и величину k.

Найдем теперь значения постоянных интегрирования А и а. О п р е д е л е н и е А н а по н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м .

Считая, как всегда, при /= 0 x —xt и vx—vt, получим из (69) и (70) х,= А sin a, vJk—A cos а. Отсюда, складывая сначала почленно квад­ раты этих равенств, а затем деля их почленно одно на другое, най­

О п р е д е л е н и е А я а по к р а е в ы м у е л о в и я м (см. § 79). Пусть вместо начальных заданы краевые условия вида: при t= 0 х = 0, а при t= tx х=1. Тогда из (69) получим0 = sin a ,/= i4 sin (#!+<»), откуда a=0,.A=f/sinJWj, ирешением уравнения (67) . будет х= (//sin ktx) sin kt, если только t1^nlk= Т12. Если же <!=л/й (или 2яfk и т. д.), то для определения А получится уравнение /=/4sin я, которому при 1Ф0 удовлетворить нельзя, и задача решения не имеет. А если 1=0 и t^ n /k , то для определения А получится уравнение 0=j4sinn, которое удовлет­ воряется при любом А, и, следовательно, уравнение (67) идеет неоднозначное ре­ шение *=/lsin kt, где А — любое число.

Таким образом, в отличие от задач с начальными условиями, краевые задачи могут ийеть неоднозначные решения или вовсе не иметь решения. В рассмотренных случаях это' объясняется тем, что если по условиям при / = 0 дс=0 , то и через поляериода, т. е. при tx—hlk, должно быть тоже *=0. Поэтому здесь удовлетворить

1) амплитуда н начальная фаза колебаний зависят ог начальных (или краевых) условий; 2) частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных (или краевых) условий не зависят [опре­ деляются равенствами (66) и (71)] и являются неизменными харак­ теристиками данной колеблющейся системы.

234

Отсюда, в частности, следует, что если в задаче требуется опре­ делить только период (или частоту) колебаний, то надо составить дифференциальное уравнение движения и привести его к виду (67). После этого Т найдется сразу по формуле (71) без интегрирования.

Рассмотренные колебания, как и те, что будут рассмотрены в § 95, 96, называют линейными, так как они описываются линейны­ ми дифференциальными уравнениями. То, что период этих колеба­ ний не зависит от начальных (или краевых) условий, а следователь­ но, и от амплитуды, является одним из основных свойств линейных

щей силы F, направленной к центру О (численно F=c-OM), дейст­ вует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис. 255). В этом случае положением равновесия точки М , где сила Р уравно­

вешивается силой F, будет точка 0 1( отстоящая от О на расстоянии OOi=XCT, которое определяется равенством ск„—Р или

составляя уравнение (12) и учитывая, что согласно равенству (74)

сК„—Р, получим т х= —сх или x+k*x=0.

Это уравнение, где k определяется равенством (66), совпадает

с уравнением (67). Отсюда заключаем, что постоянная сила Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения А,ст.

Таким образом, период кйлебаний пропорционален корню квад­ ратному из статического отклонения Хст.

В частности, если силой Р является сила тяжести (как, напри­ мер, в задаче 112), то P=m g и формула (75) принимает вид

Задача 112. Груз подвешивают к концу В вертикальной пружины АВ и от­ пускают без начальной скорости. Определить закон колебаний груза, если в рав­ новесном положении он растягивает пружину на величину Аст (статическое удли­ нение пружины).

235

Р е ш е н и е . Поместим начало координат О в положение статического рав­ новесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 256). Сила упругости F—ck. В нашем случае Х=Хст+ х . Следовательно, Fx= —с(Хст-)--*)-

Составляя дифференциальное уравнение движения, получим

тх = — с (Лет +х)-\-Р.

Но по условиям задачи сила тяжести P=mg=d.cr (в равновесном положении сила Я уравновешивается силой упругости сХс1).>В результате, введя обозначение с/т=^/А сх=А, 1 приведем уравнение к виду

X + k*X=*:Q.

Отсюда сразу находим период колебаний груза в виде (75') Г = 2я/* = 2я V KCT/g.

Решением полученного дифференциального уравнения будет х = Ci sin kt -f Cj cos kt.

По начальным условиям при <=0 * = —ХСт. ^,= 0. Так как vx =*x = kCi cos kt—kCt sin kt,

то, подставляя начальные данные, получим С ,= —^ т, ^ = 0 . Следовательно, ко­ лебания происходят с амплитудой Хст по закону

x = — XCTcos'kt.

Отсюда видно, что наибольшее удлинение пружины при колебаниях груза рав­ но 2ХСТ. Этот результат был получен другим путем в задаче 102, где роль пружины играла балка.

'x

двух пружинах с коэффициентами жесткости с. и с., так, как похазано на рис. 257, а.

Р е ш е н и е . Каждая из пружин в статическом положении растягивается с силой Р. Следовательно, статические удлинения пружин будут: XiCT=P/cl , Х*С1=Я /с,. Тогда общее удлинение пружин

Полагая Я =свквАст, найдем, что

где с»к» — коэффициент жесткости эквивалентной пружины, заменяющей две данные пружины. В частности, при сх= с а= с получим с,кв= с/2.

236

Период колебаний по формуле (75') будет

Задача 114. Решить предыдущую задачу, считая, что груз подвешен на пружи-. нах так, как показано на рис. 257, б.

Р е ш е н и е . В этом случае очевидно, что статические удлинения (сжатия) обеих пружин одинаковы. При этом сила Р уравновешивается силами упругости CjXcx и с,Хст пружин, т. е. Р= (Ci+Cj)ActОтсюда ем а—Ci+Ci, а период коле­ баний

Задача 115. Определить период колебаний материальной точки с массой т,

если действующая на нее восстанавливающая сила ¥ пропорциональна кубу от­ клонения точки от центра 0 (см. рис. 253) и Fx= —c1&, где ct — заданный постоян­ ный коэффициент. В начальный момент времени <=0 координата *=*#, а ио= 0 .

Ре ш е н и е . Дифференциальное уравнение движения точки составим в виде

(14)(см. § 79); получим следующее нелинейное уравнение:

я ю .т £ — V е или 1 ^ — n V (« • — £ ) •

Умножим обе части этого уравнения на dx и возьмем (в соответствии с началь­ ными условиями) интегралы слева от 0 до-v*, а справа от хв до х\ получим

ч » / 2 = п * ( д с « - д с 4 ) / 4 . ( я )

Так как в момент времени /= 0 их= 0 , то под действием силы ¥ (см. рис. 253) точка начнет двигаться влево и vx<0. При *=>=—*о, как видно из равенства (а),

»*=*0 и дальше под действием силы F (при ж<0 и ^**<0, а следовательно, Fx> 0) точка будет двигаться вправо до положения х=х^, где опять ц*=0, и т. д. Таким

Полагая здесь х=х<р, где г — новое переменное, и учтя, что при *= 0 и 2= 0 ,

апри X—Xt будет ?= I, получим

г1 £ Z . C _ J L —

“• я*о ^ V I-** ‘

Значение стоящего справа определенного интеграла (это частный вид так назы­ ваемого эллиптического интеграла) можно найти из соответствующих таблиц; приб­ лиженно он равен 1,31 и тогда окончательно

Тя)7,4/пхл.

Мы.видик» что при этих нелинейных колебаниях (в отличие от колебаний ли­ нейных) период зависит от «« и с увеличением xt я данном случае убывает,

237

f as. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ (ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ)

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление, создаваемое силой вязкого трения [см. § 76, формула (7)1, т. е. си­ лой, пропорциональной первой степени скорости: R = —fiv (знак минус указывает, что сила R направлена противоположно v). Пусть на точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила сопротивления R (рис. 258). Тогда Fx= —cx, R x= — *=—|uc, и дифференциальное уравнение движения будет

Легко проверить, что величины k и b имеют одинаковые размер­ ности (1/время); это позволяет, сравнивать их с друг с другом.

Уравнение (76) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорос­

1. Рассмотрим случай, когда k>b, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение

получим из (78), что n i,,= —b ± ik, т. е. что корни характеристиче­ ского уравнения являются комплексными. Тогда общее решение уравнения (76) будет, очевидно, отличаться от решения уравнения (67) только множителем e~bt, т. е.

или, по аналогии с равенством (69),

Входящие в (81) величины А и а являются постоянными интегри­ рования и определяются по начальным условиям.

Колебания, происходящие по закону (81), называются затухаю­ щими, так как благодаря наличию множителя е_4< величина х —ОМ

238

(рис. 258) с течением времени убывает, стремясь к нулю. График этих колебаний показан на рис. 259 (график заключен между пунк­ тирными кривыми x —A t~ bt и х ——Ae~bt, так как sin (M + a) по мо­ дулю не может стать больше единицы).

Промежуток времени 7\, равный периоду sin (M + a), т. е. ве­ личину

принято называть периодом затухающих колебаний. За период точ­ ка совершает одно полное колебание, т. е., например, начав дви­ гаться из положения х= 0 вправо (см. рис. 258), приходит в то же положение, двигаясь также впра­ во. Формулу (82), если учесть ра­ венство (71), можно еще предста­ вить в виде

что Т{>Т, т. е. что при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Одна­

ко когда сопротивление мало (Ь<^Л), то величиной b4k%по сравне­ нию с единицей можно пренебречь и считать 7’1« 7 \ Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.

Промежуток времени между двумя последовательными макси­ мальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным 7\ *. Следовательно, если первое макси­ мальное отклонение вправо Xi происходит в момент U, то второе

Таким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убывать по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии е~т называется декрементом рассматриваемых колебаний, а мо­ дуль его логарифма, т. е. величина ЬТи— логарифмическим декре­ ментом.

Из всех полученных результатов следует, что малое сопротив­ ление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепен-

* Моменты, когда * имеет максимум или минимум, находятся из уравнения Axldt=Ae~bt (/ijcos (fc^+a)—b sin(ife1/+ a)]= 0 . Если квадратная скобка обращает­

ся в нуль при некотором t= tlt то она, очевидно, обратится в нуль и в моменты вре­ мени ti+Ti, /1+ 2 Г 1 и т. д., поскольку *17’1= 2я.

239

вое их затухание вследствие убывания размахов колебаний по за­ кону геометрической прогрессии.

2. Рассмотрим теперь случай, когда b>k, т. е. когда сопротивле­ ние по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозна­ чение b*—к*=г*, найдем, что в этом случае корни характеристиче­ ского уравнения (78) равны n i,,= —Ь±г, т. е. оба действительны и отрицательны (так как т<Ь). Следовательно, решение уравнения (76), описывающее закон движения точки, имеет при b>k вид

x = C1e~lb*r)t + Cte~lb~r)t.

Так как функция е_вТ, где а> 0 , со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колеба­ тельным и она под действием восстанавливающей силы будет посте­ пенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению лг=0. График такого движения, если при t= 0 х=х£>0 и vx=vxt, имеет в зависимости от значения vx0 вид одной из кривых, показан­ ных на рис. 260 (V — при vxO>0; 2 — при чзсв< 0 , когда Iw^l неве­ лик; 3 — при »жо<0, когда |их,| велик; все эти результаты качествен­ но ясны из физических соображений). При х0< 0 вид графиков не изменится (они будут лишь зеркально отображенными относитель­ но оси Ot)\ наконец, при Хо>0 и их0= 0 график (кривая 1) имеет мак­ симум В в начальный момент времени 1=0.

3. В заключение рассмотрим случай, когда b=k. Корни харак­ теристического уравнения (78) будут при этом тоже действительны­ ми, но кратными (ni,,= ±Ь) и общее решение уравнения (76) примет вид (что можно проверить подстановкой х в уравнение)

х = е -« (С 1 + С10-

Движение точки в данном случае тоже не будет.колебательным и она со временем стремится асимптотически к равновесному поло­

жению х —0 [по правилу Лопиталя lim(//eb*)==lim (1/Ьёь#—0]. Гра- t-¥СР

фик движения в зависимости от начальных условий имеет тоже вид кривых, показанных на рис. 260.

Рис. 261

Задача 116. Цилиндр (его масса т , а площадь дна S), частично погруженный в вязкую жидкость с удельным весом у (рис. 261), выводят из равновесного поло­ жения. Определить период последующих затухающих колебаний цилиндра, счи­

тая, что на него действует сила вязкого трения R = —]iv.

240