Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

где <■>*, ш„, <ог — проекции на оси Охуг мгновенной угловой скорости тела; лгд, ук, г» — координаты точек тела.

Подставим эти значения Vhv и и», в предыдущее равенство' при этом замгчвм. что члены с произведениями координат можно не подсчитывать, так как оси Охуг являются главными осями инерции и для них все центробежные моменты

где величина в квадратных скобках представляет собой, согласно формулам (3) из $ 102, главный момент инерции тела относительно оси Ох. Аналогичные вы­

Формулы (78) дают выражения проекций вектора Ко на главные оси инерции тела для точки О.

Если оси Охуг не будут главными, то, как нетрудно подсчитать, формулы (78)

ментарный поворот с угловой скоростью ш вокруг мгновенной оси вращения 01, проходящей через эту точку (см. $60), то кинетическую энергию тела можно оп­ ределить по формуле

тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные силы Т \, F\, ..., F%

(рис. 341). Одновременно на тело будет действовать реакция Ro связи (на ри­ сунке не показана). Чтобы исключить из уравнений движения эту неизвестную реакцию, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О (§_116), пред­

ставив ее в виде (74), т. е. в виде теоремы Резаля. Тогда поскольку mo(Ro)—0. уравнение (74) даст

где М о = 2 то(^*), а"ид — скорость по отношению к инерциальной системе отсчет*

OxiViZj точки В, совпадающей с концом вектора Ко-

Движение тела изучается тоже по отношению к инерциальной системе отсчета 0*ilhzi- Но чтобы получить уравнения этого движения в наиболее простой форме, спроектируем обе части предыдущего равенства на жестко связанные с телом к дви­ жущиеся вместе с ним оси Охуг, являющиеся главными осями инерции тела для

точки О. Тогда выражения проекций вектора "Ro будут иметь простой вид,’ давае­ мый формулами (78), а входящие в них моменты инерции Jx , J u, J t будут вели­ чинами' постоянными.

341

Д ля вычисления проекций абсолютной скорости vg на подвижные оси пред­ ставим vg как сумму относительной (по отношению к осям Охуг) скорости vOT н переносной скорости/ v р. Тогда из уравнения (80)

Обозначим координаты точки В через х, у, г. При этом, так как радиусомвектором точки В является вектор КоЛ Р1£- 341), то х ~ К х, У ~ К у , z = K z -

Как указано в § 64, при определении иот движение осей Охуг во внимание не принимается, следовательно, v°T=:Ax/At^AKx/At, а при определении ипер точку В можно рассматривать как принадлежащую телу, связанному с осями Охуг. Но это тело движется вокруг неподвижной точки О; следовательно, по первой из формул Эйлера [формулы (77) в § 621 и?ер= шуг—ыгу= (иуКг—и>2Ку>

' J y d ) Z--Mx*

df

Аналогичные выражения получаются для проекций первого из равенств (81) на оси у и г (их можно найти круговой перестановкой индексов). Так *&к для

Уравнения (82) называются динамическими уравнениями Эйлера. Если положение тел» определять углами Эйлера <р, ф, 0 (см. § 60), то основная задача динамики

нениям (82) присоединить кинематические уравнения Эйлера (см. §61), уста­ навливающие связь между и>х , (оу, <ог и углами ср. if, 0. Динамические и кинема-

342

тичеехие уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциаль­ ных уравнений 1-го порядка; интегрирование этой системы представляет собой сложную математическую задачу. В § 131 была изложена приближенная теория гироскопических явлений. Точно движение гироскопа описывается уравнени­ ями (82). Для интегрирования этих уравнений при решении соответствующих конкретных задач обычно используют те или иные приближенные математиче­ ские методы.

В случаях, когда это целесообразно, одно из уравнений (82) можно заменить теоремой об нэманении кинетической энергии. Формула (79') используется также при составлении уравнений методом, изложенным в § 145 (задача 181 в § 146).

4. П р и м е р . В качестве простейшего примера приложения полученных уравнений рассмотрим движение свободного гироскопа, закрепленного в центре тяжести, на который никакие силы, кроме силы тяжести, не действуют (см. § 131,

п. 1). В этом случае Й о = 0 и теорема моментов (см. § 116) дает:

йК о/М ^О или Л о-= const. (а)

t Умножим теперь обе части первого из уравнений (82) на <ах , второго — на ю , и сложим эти равенства почленно, учитывая, что в нашем случае M x = M y=*Q, а •/«**■/*■ Тогда получим

Но ио доказанному левая часть этого равенства и sin в. постоянны. Следова­ тельно, и

ф=соп*1«=4ь* М

Наконец, последнее иэ кинематических уравнений Эйлера дает <в,=<р-Нр сое в.

Итак, при любых начальных условиях рассматриваемый гироскоп вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью ср», а сама эта ось

343

вращается, в свою очередь, вокруг неподвижной оси Ог1 с постоянной угловой

скоростью ij>o, описывая коническую поверхность с постоянным углом при вер­ шине 20о (см. рис. 342). Такое движение гироскопа называется регулярной пре­

цессией.

5. Д в и ж е н и е с в о б о д н о г о т в е р д о г о т е л а . Как известно движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения вместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбирают обычно центр масс С тела, и из движения вокруг центра масс, как вокруг н е ­

подвижной точки (см. § 63). Если на тело действуют внешние силы F{, F\.......F%<

то движение полюса С описывается теоремой о движении, центра масс m a c = 2 f* , Где т — масса тела. В проекциях на неподвижные оси 01х1у1г1 это равенство дает:

Для движения же вокруг центра масс теорема моментов, выражаемая равен­ ством (38), дает в проекциях на главные центральные оси инерции тела три урав­ нения, совпадающие по виду с уравнениями (82). Таким образом, система диффе­ ренциальных уравнений (83), (82) описывает движение свободного твердого тела (снаряда, самолета, ракеты и т. д.).

Глава XXVII

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

§133. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ТОЧКИ

ИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Методы решения задач механики, которые до сих пор рассматри­ вались, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредст­ венно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствием этих законов. Однако этот путь не является единствен­ ным. Оказывается, что уравнения движения или условия равнове­ сия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципа­ ми механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответст­ вующих задач. В этой главе будет рассмотрен один из общих прин­ ципов механики, называемый принципом Да.шмбера.

Найдем сначала выражение принципа для одной материальной точки. Пусть на материальную точку с массой т действует система

активных сил, равнодействующую которых обозначим F*, и реак­ ция связи N (если точка является несвободной). Под действием всех этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной систе­ ме отсчета с некоторым ускорением а.

Введем в рассмотрение величину

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по мо­ дулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки.

344

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим свойством: если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т. е.

м а т е р и а л ь н о й т о ч к и . Нетрудно убедиться, что оно экви­ валентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, вто­

рой! закон Ньютона для рассматриваемой точки дает ma—F*+N.

Перенося здесь величину та в правую часть равенства и учитывая обозначение (84), придем к_соотношению (85). Наоборот, перенося в

уравнении (85) величину F" в другую часть равенства и учитывая обозначение (84), получим выражение второго закона Ньютона.

Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из п материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой т*. Под действием приложенных к ней внешних и внутрен­

них сил Fek и F* (в которые входят и активные силы, и реакции свя­ зей) точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе

отсчета с некоторым ускорением ah. Введя для этой точки силу инер­ ции F%=—mhah, получим согласно равенству (85), что

т. е. что Fek, Fi и F% образуют уравновешенную систему сил. Пов­ торяя такие рассуждения для каждой из точек системы, придем к

из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

Математически принцип Даламбера для системы выражается п векторными равенствами вида (85'), которые, очевидно, эквивалент­ ны дифференциальным уравнениям движения системы (13), полу­ ченным в § 106. Следовательно, из принципа Даламбера, как и из уравнений (13), можно получить все общие теоремы динамики.

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосред­ ственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равно­ весия; это делает единообразным подход к решению задач и часто упрощает соответствующие расчеты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики (см. § 141).

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находя­ щихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причем, как показано в § 120, это справедли­

345

во для сил, действующих не только на твердое тело но и на любую изменяемую механическую систему. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

Введем обозначения:

Величины R и, М о представляют собою главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции. В результате, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю, получим из равенств (86):

Применение уравнений (88), вытекающих из принципа Даламбе­ ра, упрощает процесс решения задач, так как эти уравнения-не со­ держат внутренних сил. По существу уравнения (88) эквивалентны уравнениям, выражающим теоремы об изменении количества дви­ жения и главного момента количеств Движения системы, и отлича­ ются от них только по форме.

Уравнениями (88) особенно удобно пользоваться при изучении движения твердого тела или системы твердых тел. Для полного изу­ чения движения любой изменяемой системы этих уравнений будет недостаточно, так же как недостаточно уравнений статики для изу­ чения равновесия любой механической системы (см. § 120).

■В проекциях на координатные оси равенства (88) дают уравне­ ния, аналогичные соответствующим уравнениям статики (см. § 16, 30). Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражения главного вектора и главного момента сил инерций.

В заключение следует подчеркнуть, что при изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчета, которое здесь и рассматривается, силы инерции вводятся только тогда, когда для решения задач применяется принцип Даламбера *

§ 134. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ

Сравнивая первое из равенств (88) с уравнением mac —^Fk, выражающим доказанную в § 107 теорему о движении центра масс

* В § 91 мы рассматривали силы инерции (переносную и кориолисову), кот рые вводятся для того, чтобы получить возможность составлять уравнения движе­ ния в неинерциальной системе отсчета в том виде, который они имеют в системе отсчета инерциальной. Здесь силы инерции вводятся для того, чтобы в инерциалъной системе отсчета получить возможность составлять уравнения движения в виде уравнений равновесия. Все эти силы инерции к категории физических сил, примеры которых были рассмотрены в § 76, не принадлежат.

346

(в этой главе массу системы обозначаем буквой т), найдем, что

т. е. главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускоре­ ние центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

что аналогичным будет соотношение для моментов относительно оси, получим:

(90)

Т. е. главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра О или оси г равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента си­ стемы (тела) относительно того же центра или той же оси.

П р и в е д е н и е с и л и н е р ц и и т в е р д о г о т е л а . Согласно результатам § 12, справедливым для любых сил, систему

сил инерции твердого тела можно заменить одной силой, равной R H и приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой с мо­

ментом, равным Мо- Рассмотрим несколько частных случаев.

1. П о с т у п а т е л ь н о е д в и ж е н и е . В этом случае ус­ корения всех точек тела одинаковы и равны ускорению ас центра масс С тела (ah—ac). Тогда все силы инерции Fk——/прообразуют

систему параллельных сил, аналогичных силам тяжести p h=mkg, и поэтому, как и силы тяжести, имеют равнодействующую, прохо­ дящую через точку С.

Следовательно, при поступательном движении силы инерции

твердого тела приводятся к равнодействующей, равной R" и прохо­ дящей через центр масс тела.

2. В р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е . Пусть твердое тело имеет плоскость материальной симметрии Оху и вращается вокруг оси Ог, перпендикулярной этой плоскости** (рис. 343,хде показано сечение тела плоскостью Оху). Если привести силы инерции к центру О, то вследствие симметрии результирующая сила и пара будут ле­ жать в плоскости Оху и момент пары будет равен М&г. Тогда, так как

*Нормальную составляющую силы инерции называют еще центробежной составляющей или центробежной силой инерции.

**Для тела произвольной формы, вращающегося вокруг неподвижной оси, пример приведения сил инерции дается в § 136.

347

где e — угловое ускорение тела.

Следовательно, система сил инерции такого вращающегося тела

приводится к силе R и, определяемой формулой (89) и приложенной в точке О (рис. 343), и к паре с моментом Мог, определяемым фор­ мулой (91), лежащей в плоскости симметрии

то, очевидно, система сил инерции тела приведется к лежащим в

плоскости симметрии силе, равной R “ и приложенной в центре масс С тела, и паре с моментом М£2= —Усг-е.

При решения задач по формулам вида (91) вычисляется модуль момента МЦ, а его направление, противоположное е, указывается на чертеже.

§ 135. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения любой несвободной механической системы. Им особенно удобно пользоваться для нахождения реакций связей, когда дви­ жение системы известно или может быть определено с помощью уравнений, не содержащих реакций, например с помощью теоремы об изменении кинетической энергии или уравнений, которые будут получены в § 141, Ц5. При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвестные внутренние силы. В случаях,, когда надо оп­ ределить реакции внутренних связей, систему следует расчленить

на такие части, .по отношению к которым искомые силы будут внеш­ ними.

Для одной несвободной материальной точки применение принци­ па Даламбера приводит к уравнениям, аналогичным тем, которые рассматривались в § 90 (6м. задачу 155).

Задача 155. Решить задачу 107 (см, .§90) с помощью принципа Даламбера. Р е ш е н и е . Изображаем груз в том положении, для которого надо найти

натяжение нити (рис. 344). На груз действуют сила тяжести Р и реакция нити Т.

Присоединяем к этим силам нормальную и касательную-силы инерции F” и 7? . Полученная система сил, согласно принципу Даламбера, будет находиться в рав­ новесии. Приравнивая нулю сумму проекций всех этих сил на нормаль М{0,

348

получим

T — P — Fn —0.

Так как F%=man=mu\ll, где — скорость груза в положении Ми то

T = P + I% = P + ihvl/l.

Таким образом^ мы получили для Г то же выражение, что и в задаче 107. Определяя теперь, как и в задаче 107, величину vx с помощью теоремы об измене­ нии кинетической энергии, найдем искомый результат.

Уравнение в проекции на касательную дает f ? = 0 . Этот результат получается потому, что в точке производная d u /d /= 0 , так как в этой точке модуль ско­ рости имеет максимальное значение.

Задача 158. Два груза весом Р* и Р , каждый, связанные нитью, движутся

по горизонтальной плоскости под действием силы Q, приложенной к первому грузу (рис. 345, а). Коэффициент трения грузов о плоскость /. Определить уско­

Прибавляем к этим силам силы инерции грузов. Так как оба груза движутся поступательно с одним и тем же ускорением, то по модулю

Fl = Plaig, Ft = Pta/g.

Направления сил показаны на чертеже. Силы трения равны:

F i4 P i, Ft= fP t.

Согласно принципу Даламбера полученная система сил должна находиться в равновесии. Составляя уравнение равновесия в проекции на горизонтальную ось, найдем

Q - /( P l+ P 2) - ( P 1+ P s)a/^= 0 .

Отсюда

e=[Q /(P 1+ P ,) —f]g.

Очевидно, грузы будут двигаться, если /< Q /(P i+ P t).

Искомое натяжение нити является в рассматриваемой системе силой вну­ тренней. Для ее определения расчленяем систему и применяем принцип Да­ ламбера к одному из грузов, например ко второму (рис. 345, б). На этот груз

действуют сила Р а, нормальная реакция Nt , сила трения F , и натяжение нити Т.

349

вес второго (заднего) груза. Поэтому, например, В'железнодорожном составе вы­ годнее в голове помещать более тяжелые вагоны, а в хвосте — более легкие.

Рассмотрим численный пример. Пусть Q=200 Н, P i=400 Н, Я2= 100 Н. Тогда движение возможно, если /< 0,4 . Натяжение нити при этом равно 40 Н.

няем к телам системы силы инерции (рис. 346). Груз А движется поступательно, и для него Ru=Qa/g=Qre!g. Силы инерции барабана приводятся к паре с мо­

ментом М'Ь, равным по модулю Jo-t= P fP dg и направленным противоположно

вращению (см. § 134). Составляя для всех сил условие равновесия в виде 2 mo(Fid=* = 0 , получим

|Л1&|+ Я,7 — Qr + AlIp=0

2! Рассматривая теперь груз А отдельно и присоединяя к действующим на него силам Q и Т силу инерции R*, получим из условий равновесия, что натяже­

Задача 158. Определить силу, стремящуюся разорвать равномерно вра­ щающийся маховик массой т, считая его массу распределенной по ободу. Радиус маховика г, а угловая скорость ш.

[ ]

Р е ш е н и е . Искомая сила является внутренней. Для ее определения раз­ резаем обод на две части и применяем принцип Даламбера к одной из половин

(рис. 347). Действие отброшенной части заменяем одинаковыми силами F', чис­ ленно равными искомой силе F. Для каждого элемента обода сила инерции (цен­ тробежная сила инерции) направлена вдоль радиуса. Эти сходящиеся в точке_0

равная 2г/п (см. § 35). Следовательно,

R a=mr<s?ln.

Условия равновесия дают 2F= RB и окончательно

F=mr(s?l2я .

350