Добавил:
ac3402546@gmail.com Направление обучения: транспортировка нефти, газа и нефтепродуктов группа ВН (Вечерняя форма обучения) Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

.pdf
Скачиваний:
173
Добавлен:
01.06.2021
Размер:
14.76 Mб
Скачать

=6378 км — радиус земного экватора, a g0= 9,82 м/с*)

= У g,R» — 7914 м /с » 7,9 км/с.

(28)

Эта наименьшая скорость, которую нужно сообщить брошенному телу, чтобы оно не упало обратно на Землю, называется круговой

или первой космической скоростью (см. § 97, 98).

Глава XVII

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Для решения многих задач динамики, особенно в динамике сис­ темы, вместо непосредственного интегрирования дифференциаль­ ных уравнений движения оказывается более эффективным пользо­ ваться так называемыми общими теоремами, являющимися следст­ виями основного закона динамики.

Значение общих теорем состоит в том, что они устанавливают наглядные зависимости, между соответствующими динамическими характеристиками движения материальных тел и открывают тем самым новые возможности исследования движения механических систем, широко применяемые в инженерной практике. Кроме того, применение общих-теорем избавляет от необходимости проделывать для каждой задачи те операции интегрирования, которые раз и на­ всегда производятся при выводе этих теорем; тем самым упрощается процесс решения.

Перейдем к рассмотрению общих теорем динамики точки.

f 83. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. ИМПУЛЬС ГИЛЫ

Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения *.

Количеством движения материальной точки называется вектор­ ная величина mv, равная произведению массы точки на ее скорость.

Направлен вектор mv так же, как и скорость

точки, т. е. по ка­

сательной к

ее

траектории.

является в СИ —

Единицей

измерения количества движения

1 кг*м/с=1

Н-с, а в системе МКГСС—1 кГ *с.

 

И м л у л ь с

с и л ы . Для характеристики действия, оказывае­

мого на тело силой за некоторый промежуток

времени, вводится

понятие об импульсе силы. Сначала введем понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времени dt. Элементарным импульсом силы называется векторная величина

dS, равная произведению силы F на элементарный промежуток вре-

* Другая основная динамическая характеристика — кинетическая энер­ гия — будет рассмотрена в § 89.

201

мени И:

dS = Fdf.

(29)

Направлен элементарный_импульс вдоль линии действия силы.

Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени U вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих

элементраных импульсов, т. е.

и _

S = $ F d / .

(30)

о

 

Следовательно, импульс силы за некоторый промежуток времени ti равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до

В частном^случае, если сила F постоянна и по модулю, и по на­ правлению (F=const), то S==Fti. Причем в этом случае и модуль S = F tj. В общем случае модуль импульса может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

и

и

и

 

Sx ~ \F ,& t,

S„==$FBd/,

S ,= $Ff d/.

(31)

ОО О

Единицей измерения импульса силы, как и количества движения, является в СИ — 1 кг «м/с, а в системе МКГСС — 1 кГ -с.

§ 84. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение a —dv/dt, то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

(32)

Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих

на

точку сил *.

_

Пусть движущаяся точка_имеет в момент времени t —0 скорость

vt , а в момент tx — скорость vt . Умножим тогда обе части равенства (32) йа d/ и возьмем от них определенные интегралы. При этом спра­ ва, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут

Он

а слева, где интегрируется скорость,

пределами интеграла

будут соответствующие значения скорости и0 и

Так как интеграл

* По существу это другая формулировка 2-го закона динамики, близкая той, которую дал сам Ньютон.

202

от d(mu) равен mv, то в результате получим

mvj — mv0= 2 J Fk dt.

о

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), пред­ ставляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончатель­ но будет

 

mu,—mvt = ESk.

(33)

Уравнение (33)

выражает т е о р е м у

о б и з м е н е н и и

к о л и ч е с т в а

д в и ж е н и я т о ч к и

в конечном виде:

изменение количества движения точки за некоторый промежуток вре­ мени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто поль­ зуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим

(34)

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений.

Р е ш е н и е з а д а ч . -Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная им­ пульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй за­ дачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.

Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины t, v0, и,), причем силы должны быть постоянными или зависящи­

ми только от времени.

Задача 95. Точка, масса которой т = 2 кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью v=4 м/с. Определить импульс действующей на точку силы ва время, в течение которого точка проходит четверть окружности. _ _ _

Р е ш е н и е . По теореме об изменении количества движения S=mv1—mt»0- Строя геометрически разность этих количеств движения (рис, 222), находим из полученного прямоугольного треугольника

S = m V oj+ pj.

Но по условиям задачи t»e= ti1=ti; следовательно,

5 = mv У~2— 11,3 кг-м/с.

203

Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти

Sx = mv0, Sv = — mvi, откуда S = m ] f vl + v\.

Задача Вв. Грузу, имеющему массу т и лежащему на горизонтальной плоско­ сти, сообщают (толчком) начальную скорость v0. Последующее движение груза тор­ мозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,

О -«—С >

У Жш /тЖжУЖ Ж Л х

м>

$ м)

 

Рис. 223

Р е ш е и и е. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном

положении (рис.*223). На него действуют: сила тяжести Р, реакция плоскости N

и тормозящая

сила 7. Направляя ось Ох в сторону движения, составляем первое

из уравнений

(34)

 

 

mvlx— mvtx = 2 S kx.

(а)

В данном случае ulx=0 (tiL— скорость в момент остановки), а 0^ = 0,. Из сил

проекцию на ось Ох дает только сила F. Так как она постоянна, то Sx=Fxti= - - —Ftt, где — время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем —mv9= —Ft1, откуда искомое время

t^—mvJF. (б)

Таким образом, время торможения растет пропорционально начальной схорости.

Решим эту же задачу, считая, что тормозящая сила равна Q и не постоянна, а с момента начала торможения растет пропорционально времени, т. е. Q=kt, где к — некоторый постоянный коэффициент, и становится равной F в момент оста­ новки груза. Так как сила зависит от времени, то опять можно воспользоваться уравнением (а), определяя Sx по первой из формул (31). Учтя, что Q*=—Q=

kt, получим

и

Sx = T~^kt d<= — kt{/2.

О

Тогда уравнение (а) дает mwe=A/'/2. Значение к найдем из условия, что при t= t1 Q=F, т. е. ktx=F, откуда k=F!ix и окончательно будет

t1=2mv0/F.

(в)

Следовательно, в этом случае время торможения удваивается,

 

в 86. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА

 

КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)

 

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движения точки вместо самого вектора количества движения nw рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.

204

Эти моменты определяются так же, как и моменты силы (см. § 8, 14 и 28).

Таким образом, моментом количества движения точки относи­ тельно некоторого центра О называется векторная величина то (mv),

определяемая равенством

 

т0 (mv) = r x mv,

(35)

где г — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О. При этом вектор m0(mv) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через mv и центр О, a \mQ(mv)\—mv-h (рис. 224; для

сравнения на нем показан и вектор m0 (F)—rXF).

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Ог, проходящей через центр О, будет равен проекции вектора m0(mv) на эту ось:

т, (mv) = [т0 (mv)]z = | т0 (mv) | cos у,

(36)

где f — угол между вектором т0 (mv) и осью Ог.

Теорема моментов устанавливает, как изменяется со временем вектор m0(mv). Чтобы доказать ее, продифференцируем по времени

выражение (35).

Получим

 

 

 

 

(г х mv) -

( j p х т й ) + ( г х т ^

) = (vx mv) + (7х та).

Но vX m v= 0

как векторное произведение двух параллельных

векторов, а т а= ¥, где при действии нескольких сил

F='LFk.

Следовательно,

 

 

 

 

 

jjr(7xm vj = 7 x f

или j f [ m 0 (mv)] = m 0 (F).

(37)

В

результате мы доказали следующую т е о р е м у

м о м е н ­

т о в

о т н о с и т е л ь н о

ц е н т р а :

производная по времени от

момента количества движения точки, взятого относительно какогонибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. _

Сравнивая уравнения (37) и (32), видим, что моменты векторов mv

иF связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы mv

иF.

Если спроектировать обе части равенства (37) на какую-нибудь ось Ог, проходящую через центр О, то, учтя соотношение (36), полу­ чим

*37 [т* {mv)] — тг (F).

(38)

Эго равенство выражает теорему моментов относительно оси.

Из уравнения (37) следует, что если m0 (F)=Q, то m0(mu)=const,

205

т. е. если момент действующей сит относительно некоторого цент­ ра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная. Такой результат имеет место в практически важном случае движения под действием цент­ ральной силы (см. § 86).

Задача 67. Шарик М привязан к нити MBA, часть ВА которой продета сквозь вертикальную трубку (рис. 225). В момент, когда шарик находится на расстоянии

Л0 от оси г трубки, ему сообщают начальную скоростьU„, перепендикулярную плос­ кости MBA. Одновременно нить начинают медленно втягивать в трубку. Найти, какую скорость vt будет иметь шарик, когда его расстояние от оси г станет равно *!• _ _

Р е ш е и и е. На шарик действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Моменты этих сил относительно оси г равны нулю, так как сила Я параллельна оси г, а сила Т эту ось пересекает. Тогда по уравнению (38)

-gj-[m,(m»jj = 0,

откуда mz (mv)=mvh=const. Так как масса m постоянна, то отсюда следует, что при движении шарика vlfyt=v1h1.

Следовательно,

Vi=h0v0/hi.

По мере приближения шарика к оси его скорость растет.

§ 86*. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ. ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ

Центральной называется сила, линия действия которой прохо­ дит все время через данный центр О. Примером такой силы является сила притяжения планеты к Солнцу или спутника к Земле.

Рассмотрим, пользуясь уравнением (37), как будет двигаться точка М (рис. 226)_под действием^центральной силы F. Так как в данном случае mo (F)=0,_to m0(mv) —гXmu=const юш, поскольку масса т постоянна, m0 (v)=rX v—const, т. е. вектор m0{v) постоя­ нен и по модулю, и по направлению. Напомним, «го вектор m 0(v)=^

306

*=Fxv направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы 7 и V. Следовательно, если вектор г Х у имеет все время по­ стоянное направление, то радиус-вектор г —ОМ точки М и вектор

ее скорости v должны все время лежать в одной и той же плоскости. Отсюда заключаем, что траектория точки М будет плоской кривой.

Кроме того, одновременно \m0 (y)\=vh—

 

= const.

образом,

при

движении

под

 

Таким

 

действием центральной силы точка

дви­

 

гается по плоской кривой, а ее скорость

 

v изменяется

так,

что момент

вектора

 

v относительно центра О остается по­

 

стоянным

(кЛ—const).

имеет

нагляд­

 

Последний результат

х

ное геометрическое

истолкование. Так 0

как vh=h'ds/dt, a ft*ds=2da, где

d o —

Рис. 226

площадь

элементарного

треугольника

 

О М М \ то,

следовательно, vh—2da/dt.

 

Величина do/d/ определяет скорость, с которой растет площадь, ометаемая радиусом-вектором ОМ при движении точки М , и назы­ вается секторной скоростью точки. В рассматриваемом случае эта скорость постоянна:

= (rm>) | = const. (39)

Таким образом, при движении под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной ско­ ростью, т. е. так, что радиус-вектор точки в любые равные проме­ жутки времени ометает равные пло­ щади (закон площадей). Этот закон имеет место при движении планет или спутников и выражает собой один из

законов Кеплера.

 

 

Пример.

Орбитой

планеты,

движущей­

 

ся под действием

силы притяжения

Солн­

 

ца,

является эллипс,

причем

Солнце на­

 

ходится

в

одном

из

фокусов

С

эллипса

 

(рис. 227). Так как сила притяжения явля­

Рис. 227

ется

центральной,

то

при

движении

име­

 

ет место закон площадей. Поэтому в бли­

 

жайшей

к

Солнцу

точке

орбиты

П

(пери­

гелий) скорость планеты vn будет наибольшей, а в наиболее удаленной от Солнца точке А (афелий) скорость »д будет наименьшей. Этот результат следует из урав­ нения (39), которое для точек А и /7 дает i/д *AC=vn -ПС. К такому же выводу мож­ но прийти, если, учесть, что площади пунктирно заштрихованных на рис. 227 сек­ торов, ометаемых за одинаковые промежутки времени, должны быть равны; следовательно, за одно и то же время планета вблизи точки 77 должна пройти

больший путь, чем вблизи А.

Аналогичный результат имеет место при движении спутника.

207

i 87. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ

^

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело гфи некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы, широ­ ко используемое не только в механике. Сначала введем понятие об элементарной работе.

Элементарной работой силы F, приложенной

в точке М

(рис. 228), называется скалярная величина *

 

(L4 = F Tds,

(40)

где Fx — проекция силы F на касательную Мх к траектории точки М , направленную в сторону перемещения этой точки (или про­

екция F на направление скорости v точки Af); ds — модуль элемен­ тарного перемещения точки М .

Такое определение соответствует представлению о работе как о мере того действия силы, которое приводит к изменению модуля

скорости точки. Если разложить силу F на составляющие Fx и F„, то изменять модуль скорости будет Fx, так как Fx==max=m'dv/dt

(составляющая Fn изменяет или направление вектора V, или при несвободном движении — силу давления на связь).

Замечая, что Fx—F cos а , где а — угол между F и Мх, полу­ чим из (40) другое выражение для <L4:

 

dA —Fds cos a.

(41)

Если угол a острый, то работа положительна. В частности, при

о = 0 элементарная работа dA —Fds.

 

Если

угол а тупой; то работа отрицательна. В частности, при

а=180°

элементарная работа dA = —Fds.

 

Если угол a =90°, т. е. еслисила направлена перпендикулярно пе­ ремещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая Fx направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая

FT направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Если учесть, 4Tods=|dr|, где dг — вектор элементарного переме­ щения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (41) можно представить в виде **

__________

d/4 = F • dr.

(42)

*

Здесь dA (как H'dS в § 83) — символ элементарной величины, но не диф

ренциала. Дифференциалом какой-нибудь функции величина dA вообще может не быть (см. § 126). _

** Скалярным произведением двух векторов а и"5 называется скалярная вели­ чина, определяемая равенством в* b=ab cos а, где а — угол .между векторами "а и Ь. Выражение скалярного произведения через проекции векторов а ина коорди­ натные осиимеет вид в - b=oxbx-)-al/bl/-\-at bl .

208

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения танки ее приложения.

Если в формуле (42) выразить скалярное произведение через проекции векторов F и г на координатные оси и учесть, что гх —х,

гу—у, гг=г, то получим аналитическое выражение элементарной работы

d A = F xd x + F yd y + F zdz,

_ (43)

в котором х, у, г — координаты точки приложения силы F.

Рис. 229

Работа силы на любом конечном перемещении AloMi (рис. 228) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих

элементарных работ

(М.)

$ Fx ds,

(44)

(М.)

 

или

 

A (u ,Mt)= $ (Fx dx + Fv dy + FI dz).

(44')

<Af.)

 

Следовательно, работа силы на любом перемещении МоМх равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М 0 и М х (точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой M tM i, т. е. является криволинейным).

Если величина F-, постоянна (FT=const), то из (44), обозначая перемещение M„Mi через sx, получим

'4(м,л11)= ^т®1-

(45)

В частности, такой случай может иметь место, когда действую­

щая сила постоянна по модулю и направлению (F=const), .а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис. 229). В этом случае Fx=Fcos а = const и

Л<м,м.) = Fst cos а.

(45')

Единицей измерения работы является в СИ — 1 джоуль (1 Д ж = =1Н •м = 1 кг*м2/сг), а в системе МКГСС— 1 кГ -м.

14-1870

209

 

Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б в ы ч и с л е н и я р а б о т ы . Если сила зависит, от расстояния « и известен график зависимости F%от $ (рис. 230), то ра­

боту силы можно вычислить графически. Пусть в положении Л10 точка находится от начала отсчета на расстоянии %, а 6 положении М{ — на расстоянии Si. Тогда по формуле (44), учитывая геометрический смысл

интеграла, получим

М,)= J ft<ls = 0 ,

*•

где о — величина заштрихованной на рис. 230 пло­ щади, умноженной на масштабный коэффициент.

М о щ н о сть . Мощностью называется величина, определяющая работу, совершае­ мую силой в единицу времени. Если работа

совершается равномерно, то мощность N*=Altit где h — йремя, в

течение которого произведена работа А . В общем случае

 

N == dAjdt = Fx ds/dt = Fxv.

(46)

Следовательно, мощность равна произведению касательной сос­

тавляющей силы на скорость.

Вт=

Единицей измерения мощности в СИ является ватт (1

= 1Дж/с), а в системе МКГСС— 1 кГ.-м/с. В технике за единицу мощности часто принимается 1 л. с., равная 736 Вт (или 75 кГ «м/с).

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда во'зникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 кВт >4=3,6 х х10* Дж«367100 кГ-м).

Из равенства N = F xv видно, что у двигателя, имеющего данную мощность N, сила тяги Fx будет тем больше, чем меньше скорость v. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у ав­ томобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать ббльшую силу тяги.

| 88. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫ

Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.

1.

Р а б о т а с и л ы

т я ж ё с т и .

Пусть точка М ,

на котору

действует

сила тяжести ~Р,

перемещается

из положения

М 0(х0,

у», г0) в положение M l {xi< уи

*i). Выберем координатные оси так,

чтобы ось Ог была направлена вертикально вверх (рис. 231). Тогда Р х—О, P v= 0, Р г= —Р. Подставляя эти значения в формулу (44'), получим, учитывая, что переменным интегрирования является гз

Z|

S (—Р) dz^P {zt—гх).

*•

210

Соседние файлы в папке Статика и кинематика