Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

но, если J xy—0, /„2=0, то ось Оу будет для точки О главной осью инерции. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т . е.

то каз&дая из координатных осей Охуг является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Например, на рис. 279 все три оси Охуг являются для точки О главными осями инерции (ось Ог как ось симметрии, а оси Ох и Оу как перпендикулярные плоскостям симметрии).

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, на­ зывают главными центральными осями инерции тела. Из доказан­ ного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость сим­ метрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.

В приведенных примерах рассматривались симметричные Ttyia, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, доста­ точно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угод­ но тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно пер­ пендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (1Г), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки.

Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динами­ ке твердого тела. Если по ним направить координатные оси Охуг, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соот­ ветствующие уравнения или формулы существенно упрощаются (см. § 105, 132). С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел (см. § 136), о центре удара (см. § 157) и др.

§ 105*. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ

Проведем ось 01, образующую с осями Охуг углы а, р и у соответственно (рис. 280). По определению, где, как видно из треугольника ОД*£)*, hk=r%— (OD),)1. Но 0£>*, как проекция вектора /■*=дс*«+У*/+г*А на ось 01, рав­ на сумме проекций составляющих этого вектора на ту же ось, причем (х*0 « = =x*cos а и т. д.; кроме того, г\=х\-\-у\-)-г\. Тогда

/, = Em* [4+ Ук+ Л — (х* cos а + у„ cos Р + гк cos 7)*] •

Если сначала учесть, что 1—cos1а= cos2 [5+cos27 и т. д.. » затем вынести квадраты и произведения косинусов, как рбщие множители, за скобки а принять во внимание формулы (3) и (10), то окончательно получим

271

Если же в качестве осей Охуг выбрать главные оси инерция тела для точки О то формула упрощается:

Формулы (12) или (12') лозволяют, зная входящие в их правые части моменты инерции относительно заданных осей Охуг, определить момент инерции относи­ тельно любой оси, проходящей через точку О*. Если же известно и положение центра масс тела, то, используя формулу (9), можно найти момент инерции относи­ тельно оси, проходящей через любую другую точку.

Задача 121. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластины

смассой т и сторонами а и Ь относительно ее диагонали (рис. 281).

Ре ш е н и е . Проведем через центр С пластины оси Сху (ось Сг на рисунке не показана), которые, как оси симметрии, будут для точки С главными осями

инерции. Тогда по формуле (12'), учитывая, что у= 90°, получим J t = J x cos* а + J у cos* p.

По аналогии с результатом, полученным'в задаче 119, для пластины будет J x=mb2l 12, J у—таг!\2\ кроме того, cosa —ale, cos Р= 6/с, гдес^=АВ. В результате окончательно найдем

/{= me*6*/6c*= таЧ*/6 (а1+ 6*).

В заключение рассмотрим, в чем проявляется влияние введен­ ных характеристик распределения масс на частном примере враще­ ния вокруг оси Ог стержня с нани­ занными на него одинаковыми ша­

рами А и 5 (рис. 282).

Если hffchi, то центр масс си­ стемы не лежит на оси ,Ог и при вращении появятся давления на подшипники; если ht—hi, центр масс лежит на оси и этих давлений не будет.

Если при A,=Ai расстояния шаров от оси увеличить, то положе­ ние центра масс не изменится, но увеличится момент инерции J z

и при прочих равных условиях вращение будет происходить мед­ леннее.

Если стержень D E повернуть в плоскости Оуг так, чтобы /DCz не был прямым, а расстояния Aj и.А,=/ц сохранить, сместив шары

• Шесть величин J x, J y, J t , —J xv, —J уг, —J tx определяют так называемый тензор инерций и являются его компонентами.

272

к концамстержня, то ни положение центра масс, ни момент инерции J t не изменятся, но станет не равным нулю центробежный момент инерции J yz и ось Ог не будет главной; в результате при вращении возникнут дополнительные боковые давления на подшипники (ось будет «бить»).

Глава X X II

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

f 106. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Вы­ делим какую-нибудь точку системы с массой т к. Обозначим равно­ действующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных,

и реакций связей) через F*, а равнодействующую всех внутренних сил — через F ,,1. Если точка имеет при этом ускорение ah, то по

основному закону динамики mhak=F%+Ffc.

Аналогичный результат получим для любой точки. Следователь­

m jin = Fn + F nl -

Уравнения (13) представляют собой дифференциальные уравне­ ния движения системы в векторной форме (в них ak—vk—rk). Входя-

,щие в правые части уравнений силы могут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Проектируя равенства (13) на какие-нибудь координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения системы в проек­ циях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения

иопределить в результате закон движения каждой из точек системы

иреакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдель­

ных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегри­ руя уравнения численно с помощью ЭВМ.

Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти какие-то характеристики, определяющие движение всей системы в целом. Например, чтобы установить, как движется под действием приложенных сил кривошипно-ползунный механизм (см. рис. 158 в § 57), достаточно определить закон враще­

273

!8-1870

ния кривошипа, т. е. найти зависимость угла его поворота <р от времени t. Обычно для отыскания подобных решений уравнения (13) непосредственно не применяют, а применяют другие, разрабо­ танные в динамике методы. К' их числу относятся метода, которые дают широко используемые в инженерной практике общиетеоремы динамики системы, получаемые как следствия уравнений (13); эти теоремы и будут рассмотрены в данной и в трех последующих главах.

Но предварительно решим одну задачу, показывающую, что искомый результат можно иногда эффективно находить и непосред­ ственно, используя дифференциальные уравнения движения си­ стемы.

Задача 122. Д и н а м и ч е с к и й г а с и т е л ь к о л е б а н и й . Укреп­ ленный на пружине груз / совершает вынужденные колебания под действием воз­

мущающей силы проекция которой Ox=Qt sin pt

(см. §96).

Определить, при каких условиях можно погасить

j х по вертикали вверх. Тогда силы тяжести уравновесят­

сти будут пропорциональны удлинениям, которые полу­ чают пружины при смещениях грузов от положений ста­ тического равновесия. Эти удлинения будут соответ­

груз 1 — силы F i= —F t, F i (Fix=^-Ci\i) и (?. В ре­ зультате получим следующие дифференциальные уравнения движения грузов:

« i* i = — ciJfi+ c, f a — *0 + Q* sin pt, m,Jc, = — c, (*,— Xj). Чтобы колебания груза 1 гасились, должно быть jcx= 0. Тогда

C**» + Q# pt= 0 и m^xt = — CfX].

Из первого уравнения j*«=— (Q«/c*) sin pt и x,=p, (Q0/c^ sin pt. В результате под­ становка во второе уравнение после сокращений дает

т , р * = с ,.

Эго и будет искомым условием гашения, в котором одной из величин т , или с%можно задаваться произвольно. Конечно, желательно, чтобы масса т , была мень­ ше, но при малой т , и заданном р будет мало и с., а это приведет к нежелательному увеличению амплитуды Qjct колебаний груза 2.

1 107. TEOPEJtlA О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела) требуется знать закон движения ее центра масс. Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (13) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим

274

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы (Г ) для радиусавектора центра масс имеем

2 т *г* = Мгс.

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по вре­ мени и замечая, что производная от суммы равна сумме производ­ ных, найдем,

где ас — ускорение центра масс системы. Так как по свойству внут­

ренних сил системы 2 Flk= 0, получим окончательно из равенства (14), учтя (15),

т р а м а с с с и с т е м ы : произведение массы системы на ускоре­ ние ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая уравнение (16) с уравнением движения материальной точки [§ 74, формула (2)], придем к дру­ гому выражению теоремы: центр масс системы двиясется как ма­ териальная точка, масса которой равна массевсей системы и к кото­ рой прилоясены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства (16) на координатные оси, по­

Эти уравнения представляют собой дифференциальныеуравнения двиясения центра масс в проекциях на осидекартовой системы коор­ динат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1. Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из урав­ нений (16') видно, что решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т. е. имеют вполне конкретный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движение водностью определяется движением центра масс. Таким, образом,

поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных слу­ чаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела доста­ точно знать положение его центра масс и допустимо по условиям решаемой задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела.

2. Теорема позволяет при определении закона движения центр масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­ вестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

§ 108. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю;

5 F S - 0 .

Тогда из уравнения (16) следует, что ас= 0 или vc=const. Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на

систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с по­ стоянной по модулю и направлению скоростью, т .е . равномерной прямолинейно. В частности, если вначале центр масс был в покое, то он и останется в покое. Действие внутренних сил, как мы видим, движение центра масс системы изменить не может.

2. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю, но эти силы таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю:

2 *1, - о .

Тогда первое из уравнений (16') дает

хс = 0 или хс «= vCx= const.

Следовательно, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, есЛи в начальный момент t»c*=0, то и в любой последующий момент времени vCx—0, т. е. центр масс системы в этом случае вдоль оси х перемещаться не будет (хс—const).

Все эти результаты выражакд собой закон сохранениядвижения центра масс системы. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстри­ рующие его приложения.

Д в и ж е н и е ц е н т р а м а с с С о л н е ч н о й с и с т е м ы . Так как притяжением звезд можно практически пренебречь, то можно считать, что на Солнечную систему никакие внешние силы не действуют. Следовательно, в первом приближении ее центр масс движется по отношению к звездам равно­ мерно и прямолинейно.

Д е й с т в и е п а р ы с и л в а т е л о (см., например, рис. 32). Если на свободное твердое тело начнет действовать пара сил ~F, F ', то геометрическая

сумма этих внешних сил будет равна нулю (/H-F'=0). Следовательно, центр масс С тела, если он вначале был неподвижен, должен остаться неподвижным и при действии пары. Таким образом, где бы к свободному твердому телу ни была при­ ложена пара сил, тело начнет вращаться вокруг своего центра масс (но мгно­ венная ось. вращения в общем случае не будет направлена-перпендикулярно плоскости действия пары, как можно предположить).

276

Д в и ж е н и е по г о р и з о н т а л ь н о й п л о с к о с т и . При отсутствии трения человек с помощью своих мускульных усилий (силы внутрен­ ние) не мог бы двигаться вдоль горизонтальной плоскости, так как в этом случае сумма проекций на любую горизонтальную ось Ох всех приложенных к человеку внешних сил (сила тяжести и реакция плоскости) будет равна нулю и центр масс человека вдоль плоскости перемещаться не будет (дгс= const), ’

Если, например, человек вынесет правую ногу вперед, то левая его нога скользнет назад, а центр масс останется на месте. При наличии же трения сколь­ жению левой ноги назад будет препятствовать сила трения, которая в этом случае будет направлена вперед. Эта сила и будет той внешней силой, которая позволяет человеку перемещаться в сторону ее действия (в данном случае вперед).

Аналогично происходит движение тепловоза или автомобиля. Сила давления газа в двигателе является силой внутренней и сама по себе не может переместить центр масс системы. Движение происходит потому, что двигатель передает соответствующим колесам, называемым ведущими, вращающий момент. При этом точка касания В ведущего колеса (рис. 284) стремится скользить влево. Тогда на колесо будет действовать сила трения, направленная вправо. Эта внешняя сила и позволит центру тяжести тепловоза или автомобиля двигаться вправо. Когда этой силы нет или когда она недостаточна для преодоления сопротивления, испытываемого ведомыми колесами*, движения вправо не будет; ведущие колеса будут при этом вращаться на месте (буксовать).

Т о р м о ж е н и е . Для торможения к барабану, жестко связанному с катящимся колесом, прижимают тормозную колодку. Возникающая при этом сила трения колодки о барабан будет силой внутренней и сама по себе не изменит движение центра масс, т. е. не затормозит поезд или автомобиль. Однако трение

силы могут лишь тогда, когда они вызывают такое взаимодействие объекта с внеш­ ней средой, при котором на объект начинают действовать внешние силы (в при­ мерах это силы трения). Другой возможностью является реактивный эффект (см. § 112, 114). Никакое устройство, не обеспечивающее появление таких внеш­ них сил или не создающее реактивного эффекта, привести в движение цекгр месс

объекта за счет действия одних только внутренних сил не может. В таких пред­ лагавшихся устройствах, как «машина Дина» или «инерцоид», движение объекта тоже происходит за счет его взаимодействия с внешней средой, но менее явио вы­ раженного, что давало повод необоснованно отрицать наличие такого взаимо­ действия.

f 109. РЕШ ЕНИЕ ЗАДАЧ

Пользуясь теоремой о движении центра масс, можно, зная внеш­ ние силы, найти закон движений центра масс, и, наоборот, зная движение центра масс, определить главный вектор действующих

*На ведомое колесо действует не вращающий момент, а сила (J, приложенная

коси (рис. 284). Под ее действием все колесо, а с ним и точка касания А колеса о грунт стремятся сдвинуться вперед. При этом на колесо будет действовать сила трения, направленная назад. Эта внешняя сила и тормозит двизкеняе:.

277

на систему внешних сил. Первой задачей мы занимались в динамике точки. Примеры решения второй задачи рассмотрим ниже.

Теорема позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы ряд наперед неизвестных сил сделать внутренними.

В случаях, когда имеет место закон сохранения движения цент­ ра масс, теорема позволяет по перемещению одной части системы найти перемещение другой ее части.

Мы доказали, что когда 2Рцх—0 и в начальный момент времени x>cx=Q, то при движении системы хс = const. Пусть для определенности система состоит из трех тел с массами mlt т 2, т 3 и начальными координатами их центров масс *i> **> хз- Если под действием внутренних (или внешних) сил тела совершат аб­ солютны? перемещения, проекции которых на ось Ох будут £х, £2, |3, то соответст­ вующие координаты станут равны X j+ li, х2+ ^ . *з+1зТогда по формулам (1) координата центра масс XQ всей системы в начальном и конечном положениях определяется равенствами:

МхСа= nttXi 4-т 2х,+ т,х, ;

Таким образом, когда имеет место закон сохранения движения центра масс вдоль оси Ох, то алгебраическая сумма произведений масс (или весов) тел системы на проекции абсолютных перемещений их центров масс должна быть равна нулю, если только в начальный момент времени оСх=0. При вычислении £i, 52. •••

следует всегда учитывать их знаки.

Задача 123. На носу и корме лодки весом р сидят на расстоянии / друг от друга два человека весом рд и рв каждый (рис. 285). Пренебрегая сопротив­ лением воды, определить, куда и насколько переместится лодка, если

чить из рассмотрения неизвестные нам силы трения подошв о дно лодки и мускульные усилия людей, будем рассматривать лодку и лю­ дей как одну систему (при этом наз­ ванные силы станут внутренними). Внешними силами, действующими на систему, будут вертикальные си­

лы р, рА, рв, ЛЛ Тогда 2/1* =0, и так как в начальный момент време­ ни vCx=0, то дгс=const. Следова­ тельно, абсолютные перемещения всех тел связаны зависимостью (17).

Изображая лодку и людей в на­ чальном и конечном положениях, мы видим, что перемещение лодки £л= * *• Далее, для первого чело-

* Во избежание ошибок в знаках рекомендуется, независимо от того, куда фактически происходит смещение, изображать лодку (систему) в смещенном поло­ жении так, чтобы координата х была положительной (рис. 285). Если после под­ счетов значение х получится отрицательным, то это будет означать, что при усло­ виях задачи смещение происходит в другую сторону.

278

V

века абсолютное перемещение Ъд=х+1-, абсолютное перемещение второго чело­ века равно ВВХ, а проекция этого перемещения на ось Ох будет \в~ — —*)■

Тогда по уравнению (17')

Р*+ Ра (* + 0 + Рв [— У —■*)]= 0. Отсюда находим, что перемещение лодки

х = (рв— ра)1/Р, где Р= Р+ Ра+ Рв-

Если рв>рл< то *>0, т. е. лодка смещается вправо; при рв<рл смещение лодки произойдет влево. Когда рв~Рл< лодка остается на месте.

Подчеркиваем еще раз: систему, движение которой надо рассмотреть при решений подобных задан, следует выбирать так, чтобы наперед неизвестные силы сделать внутренними.

Задача 124. Центр масс вала мотора смещен от оси вращения на величину АВ=Ь. Масса вала mlt а масса всех остальных частей мотора т ,. Определить, по какому закону будет двигаться мотор, поставленный на гладкую горизон­ тальную плоскость, когда вал вращается с постоянной угловой скоростью ш. Найти дополнительно, какое максимальное усилие будет испытывать болт D, если с его помощью неподвижно -закрепить мотор.

1. При незакрепленном моторе все действующие на него силы (pt=m,g,

p ,= m j и реакция плоскости) будут вертикальными, и здесь, как и в предыдущей задаче, будет иметь место закон сохранения движения центра масс вдоль оси Сх. Изображаем мотор в произвольном положении (рис. 286), считая начальным то положение, когда точки В и А лежат на одной вертикали (на оси Оу). Тогда в произвольном положении ЪА=х, 1д=д:+6 sin ф. Отсюда, учитывая, что <р=ш/, найдем по формуле (17)

mjX+mi(x-i-6 sin <oQ=0,

откуда

х=~~Ж sin<B*<где M=mi+m$.

Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с круговой

частотой м.

2. Когда мотор закреплен, то по первому из уравнений (16') горизонталь­ ная реакция Rx болта будет

Rx—Mxc , где лгс = jg- (« 1*в + ■

В этом случае точка А неподвижна и хА=1 (/= const), a xe=/+frsln ю/. В ре­ зультате, дифференцируя выражение хс и умножая его на М (М здесь всюду — масса всей системы), находим

Rx= MXQ = irtixa = — либо»* sin at.

279

Сила давления на болт равна по модулю |/?х| и направлена в противопо­ ложную сторону; ее максимальное значение будет т^ЬиР. Во избежание ударов мотора по болтам при его работе, затяжка болтов Q должна быть такой, чтобы суммарная сила трения мотора о плоскость, на которой он установлен, т. е. IQ, была не меньше mjbco2.

Задача 125. Кривошип АВ длиной г и массой т г, вращающийся с постоян­ ной угловой скоростью ш, приводит в движение кулису и связанный с нею пор­ шень D, общая масса которых равна т а (рис. 287). На поршень при его движе­

нии действует постоянная сила Q. Пренебрегая трением о направляющие, найти

на него со стороны кулисы, рассмотрим движение всей системы. Тогда по пер­ вому из уравнений (16'), если обозначить горизонтальную реакцию оси А через Rx, будет

Сила давления на ось равна по модулю |/?ж| и направлена в противополож­

ную сторону. Давление будет максимальным, когда <р= 180°, и будет равно Q+

+ (0,5т!+

Глава X X III

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

S ПФ. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Количеством двизкения системы будем называть векторную вели­ чину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств

280