Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

ела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода 1асовой стрелки, ©>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ю<0.

Размерность угловой скорости \/Т (т. е. 1/время); в качестве диницы измерения обычно применяют рад/с или, что то же, 1/с (с-1), ак как радиан — величина безразмер- [ая.

Угловую скорость тела можно изоб-

рнием времени угловой скорости тела. Если за промежуток врегени At —ti—t угловая скорость тела изменяется на величину Аш— =ю,—©, то числовое значение среднего углового ускорения тела а этот промежуток времени будет еср=Дш/Д/. В пределе при А/-+0 шйдем, учтя одновременно равенство (37), что

Таким образом, числовоезначение углового ускорения тела в данный

юмент времени равно первой производной от угловой скорости или торой производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/7** (1/время*); в качестве диницы измерения обычно применяется рад/с* или, что то же, 1/с*

с-).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение ела называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Легко (идетъ, что вращение будет ускоренным, когда величины ш и в (меют одинаковые знаки, и замедленным,— когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью)

южно также изобразить в виде вектора е, направленного вдоль >сн вращения. При этом

Направление е совпадает с направлением со, когда тело вращается

гскоренно (рис. 135, а), и противоположно ю при замедленном «ращении (рис. 135, б).

$ 50. РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЯ

Если угловая скорость тела остается во все время движения потоянной (co=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы (37) имеем

dtp= cod/. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t = О угол ф=<р*, и беря интегралы слева от ф. до <р, а справа от 0 до t, получим окончательно

Из равенства (39) следует, что при равномерном вращении, когда Ф«=0,

В технике скорость равномерного вращения часто оорелелшрт числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через лоб/мнн*. Найдем зависимость между п об/мин и ш 1/с. При окном обороте тело повернется на угол 2л, а при п оборотах на.2ял; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 с. Из равенства (40) следует тогда, что

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (е = const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в -началь­

Представим выражение (42) в виде

dф/d/=a>o+в/ или dф=<йod/+e/d/.

Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вра­ щения

Угловая скорость со этого вращения определяется формулой (42). Если величины ш и е имеют одинаковые знаки,. вращение будет равноускоренным, а если разные — равнозамедленным.

S 61. СКОРОСТИ и УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Установив в предыдущих параграфах характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. С к р р о с т и т о ч е к т е л а . Рассмотрим какую-ниб точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вра­ щения (см. рис. 134). При вращении тела точка М будет описывать

* Следует особо подчеркнуть, что л по размерности не угол, а угл скорость.

122

жружность радиуса ft, плоскость которой перпендикулярна оси фащения, а центр С лежит на самой оси. Если за время d/.проис- [одит элементарный поворот тела на угол d«p, то точка М при этом :овершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds= =ftd<p. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отнопению ds к d/, т. е.

[ЛИ

Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют иногда ще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося

твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя- \ие от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой жружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось ращения и точку М.

Так как для всех точек тела и имеет в данный момент времени дно и то же значение, то из формулы (44) следует, что скорости очек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси ращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет 1ИД, показанный на рис. 136.

2.У с к о р е н и я т о ч е к ' т е л а . Для нахождения ускоре-

ия точки М воспользуемся формулами ax= dv/dt, an= v t/p.

В нашем случае р=Л. Подставляя значение v из равенства (44)

Касательная составляющая ускорения а* направлена по касаельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­ щении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная

оставляющая ал всегда направлена по радиусу М С к оси вращения !>ис. 137). —

123

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом |х, который вычисляется по формуле tgji= а х/ап [вторая из формул (22)]. Подставляя сюда зна­

Так как со и е имеют в данный момент временидля всех точек тела одно и то же значение, то из формул (46) и (47) следует, что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол ц с радиусами описываемых ими окруж­ ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вцд, показанный на рис. 138.

Рис. 138 Рис. 139

Формулы (44) — (47) позволяют определить скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращения. По этим же формулам можно, зная движение одной точки тела, найти движение любой другой его точки, а также характеристики движения всего тела в целом.

3. В е к т о р ы с к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е к т е л а. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и а, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор г точки

модулю скорости точки М. Направления' векторов шХг и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­ сти их одинаковы. Следовательно,

124

г. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен вектор­

ному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Формулу (48) называют формулой Эйлера.

Беря от обеих частей равенства (48) производные по времени, получим

Формула (49) определяет вектор ускорения любой точки вращаю­ щегося тела.

Вектор е Х г направлен,_ как и вектор соХг, т. е. по касательной к траектории точки М, а |еХ г\—гг sin a= eh . Вектор же a>Xi> на­ правлен вдоль МС, т. е. по нормали к траектории точки М , а |<оХ Xt»|=o>t>sin 90°=coVi, так как v —mh. Учитывая все эти результаты, а также формулы (45), заключаем, что еХ г= ат и o>Xv=an.

Задача 54. Вал, делающий л=90 об/мин, после выключения двигателя на­ чинает вращаться равнозамедленно и останавливается через tt = 40 с. Определить, :колько оборотов сделал вал за это время.

Р е ш е и н е. Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая

ц,=ял/30.

В момент остановки при <=/, угловая скорость вала <о1= 0 . Подставляя эта аначения во второе из уравнения (а), получаем:

0=nn/30+et1 и e = —nnl30i1.

Если обозначить число сделанных валом за время tt оборотов через N (не э«ешквать с п; я — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет ра­ ки q>,=2nAf. Подставляя найденные значения е и qx в первое из уравнений (а), юлучим

2яАг=(пл/30)<1-^-(ял/60)<1=(лл/60)/1,

>ткуда

N = n tj/120=30 об.

Задача 88. Маховик радиусом У?= 0,6 м вращается равномерно, делая л=» =90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Р е ш е н и е . Скорость точки обода o= R w , где угловая скорость ш должна 5ыть выражена в радианах в секунду. Тогда <0=яп/30=3я и о=/?*Зя«5,7 м/с.

Далее, так как <о=const, то е= 0, и, следовательно,

в = в я=7?ш, =/?*9я, «»53,3 м/с1.

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения. ЗадачЬ 56. Полагая, что при разгоне маховик вращается по закону

<p=ee + C i/-fc»e-«, (а)

шределнть значения постоянных коэффициентов с0, ct , с, и Л из условий, что при '= 0 должно быть $0 = 0 и <t>o= 0 и что предельная угловая скорость, до которой

№

разгоняется маховик юпр= 50 с-1 , а его угловое ускорение при разгоне не должно превышать значения &,= 10 с-1 . Найти также, какое ускорение будет при этом у точек обода маховика в момент времени <х= I с, если радиус маховика /7=0,4 м.

Р е ш е н и е . Из уравнения (а) видно, что при t—0 q>=0, если <yfc,=0, т. е.

с0= —с*.

Далее из уравнения (а) находим, что a}=<f=c1—kctt~*i. Следовательно, при

( = 0 (о=0, если et—kct= 0, т. е. ct=ltct.

Первое из равенств (в) показывает, что ш со временем растет и при <-*■оо стремится к предельному значению с,Л; следовательно, шпр= с 1А. Из второго же равенства видно, что е со временем убывает, стремясь к нулю, а наибольшее зна­ чение имеет при <= 0 ; следовательно,

ea=cJi*.

Но по условиям задачи ш„р=50 C_1*H е„=10 с~*. Тогда должно быть cjt= 50, а cj? = 10, откуда *=0,2 и с,=250. При этих значениях £ и с, равенство, (б) дает оконча­ тельно следующий закон вращения маховика:

*»32,4 м/с* и а=ь|^о^+а^»!32,6 м/с*.

Задача 57. Груз В (рис. 140) приводит во вращение вал радиусом г и сидя­ щую !■' одной оси с валом шестерню 1 радиусом ^ . Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением а. Определить, по ка­ кому закону будет при этом вращаться находящаяся в зацеплении с шестерней / шестерня 2 радиусом rt.

иметь и точки обода вала. Но, с другой стороны, скорости этих точек равны где (Oj— общая для вала и шестерни / угловая скорость. Следовательно,

щг=а1, <ol=at/r.

0) ,= (г,/гj)о»!= (г,а!г^г)1.

Итак, угловая скорость шестерни 2 растет пропорционально времени. Учиты­ вая, что coJ=d<f),/d/, где ср, — угол поворота шестерни 2, получим

йщ=.{гга!г^)Ш.

Отсюда, беря от обеих частей интегралы и считая, что при /= 0 угол <р1= 0 ( найдем окончательно закон равноускоренного вращения шестерни 2 в виде

Ф,=(г1а/2г>-)Л

* Значение ш может изменяться по закону (д), когда на маховик действу постоянный вращающий момент и момент сил сопротивления, пропорциональный ш (задача 150 в § 128).

126

Глава X!

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9 52. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

(ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ).

РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение

твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 141). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипноползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рис. 141 Рис. 142

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оху, парал­ лельной плоскости П (рис. 141). При плоскопараллельном движе­ нии все точки тела, лежащие на прямой А Ш ', перпендикулярной сечению 5, т. е. плоскости П, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела дос­ таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура 5. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т. е. в плоскости Оху. При этом все ре­ зультаты, которые будут получены в § 53—59 для точек плоской фигуры, справедливы, конечно, и для точек сечения S твердого тела, движущегося плоскопараллельно.

Положение фигуры 5 в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 142). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная коор­ динаты хЛ, ул точки А и угол ф, который отрезок АВ образует с осью х. Точку А , выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины хл , уА и <р будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости

127

Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

Уравнения (50), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твер­

дого тела.

Первые два из уравнений (50) определяют то движение, которое фигура совершала бы при ф = const; это, очевидно, будет поступа­

движения, равные скорости и ускорению полюса (t»n0CT=uA,a„0CT=

= ал ), а также угловая скорость со и угловое ускорение е враща­ тельного движения вокруг полюса. Значения этих характеристик в любой момент времени t можно найти, воспользовавшись уравне­ ниями (50).

При изучении движения можно в качестве полюса выбирать лю­ бую точку фигуры. Рассмотрим, что получится, если вместо А вы­ брать в качестве полюса какую-нибудь другую точку С и опреде­ лять положение фигуры отрезком CD,xобразующим с осью Ох угол ф! (рис. 143). Характеристики поступательной части движения при

этом изменятся, так как в общем случае Vc=fcvA и асф аА (иначе дви­ жение фигуры было бы поступательным). Характеристики же вращательной части движения, т. е. (о и е, остаются неизменными. В самом деле, проведя из С прямую CBit параллельную АВ, мы видим, что Ь любой момент времени угол <pi=<p—а, где a=const.

Отсюда ф!=ф, ф!=ф или (о1=(о, е,=е.

Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса

не зависит.

* Соответственно плоскопараллельное движение твердого теламожно рас­ сматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с полюсом А и вращательного вокруг оси, перпендикулярной плоскости П (см. рис. 141) и прохо­ дящей через полюс А .

128

§53*. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Перейдем теперь к изучению движения отдельных точек плоской фигуры, т. е. к отысканию траекторий, скоростей и ускорений этих точек. Начнем с определения траекторий.

Рассмотрим точку М плоской фигуры, положение которой определяется расстоянием Ь=АМ от полюса А и углом В А М —а (рис. 144). Если движение задано уравнениями (50), то координаты jc и у точки М в осях Оху будут:

где хл , ул , ф — известные по уравнениям (50) функции времени t. Равенства (51), определяющие закон движения точки М в плос­ кости Оху, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрическом виде. Обычное уравнение траектории получим,

исключив из системы (51) время t.

Если рассматривается движение звена какого-нибудь механизма, то для определения траектории любой точки этого звена достаточно выразить ее координаты через какой-нибудь параметр, определяю­ щий положение механизма, а затем исключить этот параметр. Уравнения движения (50) при этом знать не обязательно.

Задача 58. Ползуны А и В, к которым прикрепляется линейка эллипсографа, перемещаются по взаимно перпендикулярным направляющим (рис. 145). Расстоя­

ние АВ=1. Определить траекторию точки М линейки.

Р е ш е н и е . Взяв за полюс точку А, будем определять положение точки М на линейке отрезком АМ=Ь. Положение самой линейки задается углом <р. Тогда для координат х и у точки М получим: х=(Ь—0 cos ф, y—b sin ф. Исключая пара­ метр ф, находим, что траекторией точки (независимо от закона движения линейки) будет эллипс

*»/(&—/)4-yW =l

с полуосями а = ] 6—/| и б и с центром в точке О.

Меняя с помощью соответствующих винтов расстояния tu b , можно вычертить карандашом М эллипс с любыми заданными полуосями, не превосходящими раз­ меров линейки. Отсюда и название механизма — эллипсограф.

f 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

В § 52 было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при

котором все точки фигуры движутся со скоростью vA полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что ско­ рость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором г = г А+ г' (рис. 146),

где гА — радиус-вектор полюса А, г’= А М — вектор, определяю­ щий положение точки М относительно осей Ах'у', перемещающих­ ся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отноше­ нию к этим осям представляет собой вращение вокруг лолюса А). Тогда

—dг drA , dr'

полюса А; величина же dr'/dt равна скорости vMA, которую точка М

получает при rA=const, т. е. относительно осей Ах'у', или, иначе говоря, при вращении-фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

метрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А,

принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении^ фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление

скорости vM находятся построением соответствующего параллело­ грамма (рис. 147).

130