Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

шяпника А устанавливается следующими рассуждениями: если убрать подшип­

ник, то кран под действием силы Р начнет падать вправо; следовательно, сила Я д, чтобы удержать кран в равновесии, должна быть направлена влево.

Задача 10. Стоящий на земле вертикальный столб ОА удерживается растяж ­ ками А В и A D , образующими со столбом равные углы а ; угол между плоскостя­ ми ЛОВ и AOD равен ф (рис. 30). К столбу подвешены два горизонтальных про­ вода; один, параллельный оси Оу, натянут с силой P lt а другой, параллельный оси Ох, — с силой P t . Найти силу вертикального давления на столб и усилия в тросах, пренебрегая их весами.

Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие узла Л , к которому прикреплены про­ вода итросы. Н а него действуют силы натяжения проводов Р [ и ~РХ, реакции растя­

и вычисляем предварительно проекции всех сил на эти оси, внося их в таблицу:

—si n a sin ф = 0 ,

—Яд-1-/?, »1п о + Я » sin а сое ф = 0 , R i— R t cos а —Я , сое а = 0 .

Решая эти уравнения, найдем:

Из полученных результатов видно, что при Р , ctg <p>Pt или tg ф < Р ,/Р ,

ролучается Д , < 0 н реакция R , должна иметь направление, противополож)гое показанному на рисунке, что невозможно, так как трос не может работать на сжа­ тие. Следовательно, растяжку AD надо располагать так, чтобы угод ф удовлетво­ рял неравенству tg <р>Я»//>1.

Глава III

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА. ПАРА СИЛ

f 8. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА (ИЛИ ТОЧКИ)

Введем важное понятие о моменте силы относительно точки. Точку, относительно которой берется момент, называют центром момента, а момент силы относительно этой точки — моментом от­ носительно центра. Если под действием приложенной силы тело

SI

может совершать вращение вокруг некоторой точки, то момент силы относительно этой точки будет характеризовать вращательный эф­ фект силы.

Рассмотрим силу F, приложенную к телу в точке А (рис. 31). Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действия

О. Момент силы относительно центра Оопреде­ ляется: 1) модулем момента, равным произве­ дению Fh\ 2) положением в пространстве плоскости ОАВ («плоскости поворота»), про­

ходящей через центр О и силу F; 3) направ­ лением поворота в этой плоскости.

Из геометрии известно, что положение плос­ кости в пространстве определяется направле­ нием нормали (перпендикуляра) к этой плос­

кости. Таким образом, момент силы относительно центра характери­ зуется не только его числовым значением, но и направлением в про­ странстве, т. е. является величиной векторной.

Введем следующее определение: моментом силы F относительно

центра О называется прилолсенный в центре О вектор m0 (F), мо­ дуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и ко­ торый направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис.

Последний результат следует из того, что пл. АОАВ=АВ -Л/2= *=Fhl2. Измеряется момент силы в ньютон-метрах (Н -м).

стрелки,.т. е. так же, как вектор m0 (F). Следовательно, векторы ОА X F и т0 (F) совпадают и по модулю, и по направлению, и, как

по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, и направ­ ленный перпендикулярно плоскости этих векторов в ту сторону, откуда кратчайшее

совмещение а с Ь видно происходящим против хода часовой стрелки. Модуль о определяется еще равенством c= ab sin а , где а — угол между векторами а и Ь, Если векторы а и Ь параллельны, то аХ~В= 0.

32

легко видеть, по размерности, т. е. выражают одну и ту же величи­ ну. Отсюда

где г=ОА — радиус-вектор точки А , проведенный из центра О.

Таким образом, момент силы F относительно центра О равен

векторному произведению радиуса-вектора г=О А, проведенного из центра О в точку А , где приложена сила, на саму силу. Этот резуль­ тат может служить другим определением понятия о моменте силы относительно центра.

Отметим следующие свойства момента силы: 1) момент силы от­ носительно центра не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия; 2) момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действия

раллельных и направленных в противоположные стороны сил, дей­ ствующих на абсолютно твердое тело (рис. 32, а). Система сил F, 7 ', образующих пару, очевидно, не находится в равновесии (эти силы не направлены вдоль одной прямой). В то же время пара сил не имеет равнодействующей, поскольку, как будет доказано, рав­ нодействующая любой системы сил равна_ее главному вектору /?,

т. е. сумме этих сил, а для пары R = T + F ' = 0. Поэтому свойства пары сил, как особой меры механического взаимодействия тел,

должны быть рассмотрены отдельно.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, назы ­ вается плоскостью действия пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, кото­ рый характеризуется величиной, называемой моментом пары. Этот момент определяется: 1) его модулем, равным произведению Fd\ 2) положением в пространстве плоскости действия пары; 3) направ­ лением поворота пары в этой плоскости. Таким образом, как и момент силы относительно центра, это величина векторная.

Введем следующее определение: моментом пары сил называется вектор т (илр М), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плос­ кости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 32, б).

Заметим еще, что так как плечо силы F относительно точки А равно d, а плоскость, проходящая через точку А и силу F, совпадает

* Теорию пар разработал известный французский учены й^ - механик и гео­ метр Л . Пуансо (1777— 1859).

с плоскостью действия пары, то однов£еменно т =тл (F) = А B x F .

Но в отличие от момента силы вектор т, как будет показано ниже, может быть приложен в любой точке (такой вектор называется сво­ бодным). Измеряется момент пары, как и момент силы, в ньютонметрах.

Покажем, что моменту пары можно дать другое выражение:

момент пары равен сумме моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, т. е.

Для доказательства проведем из произвольной точки О (рис. 33) радиусы-векторы rA—~OA и гв —ОВ. Тогда согласно формуле (14),

у«п'я_еще1 что F ' ——F, получим m0(F)—rBx F , т0 (F') = rAX F' =

=—rA x F и, следовательно,

т0 (F) + т0 (?') = (гв — 7л) x F = 7iBxF .

Так как Х В x F —m, то справедливость равенства (15) доказана. Отсюда, в частности, следует уже отмеченный выше результат:

т. е. что момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы. Отметим еще, что модуль момента пары

m=Fd. (15*)

Если принять, что действие пары сил на твердое тело (ее вра­ щательный эффект) полностью определяется значением суммы мо­ ментов сил пары относительно любого центра О, то из формулы (15) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, экви­ валентны, т. е. оказывают на тело одинаковое механическое дейст­ вие. Иначе это означает, что две пары сил, независимо от того, где каждая из них расположена в данной плоскости (или в параллель­ ных плоскостях) и чему равны в отдельности модули их сил и их

плечи, если их моменты имеют одно и то же значение т, будут экви­

валентны. Так как выбор центра О произволен, то вектор т можно считать приложенным в любой точке, т. е. это вектор свободный.

34

Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:

1)пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;

2)у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело

действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.

Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточно очевидным свойством (доказательство опускаем):

3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, молено перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.

Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар). Эго сле­ дует из того, что указанными операциями, т. е. путем изменения

найдем момент М этой пары. Так как /? = /rx+ F l, то A B X R = A B X

x F i + A B x F t или согласно формуле (15') М = т х-\-тг.

Для двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказа­ тельство сохранится и в случае, когда плоскости I к I I сливаются (слагаемые пары лежат в одной плоскости).

Если на тело действует система п пар с моментами mj, тг, . . .

Из полученного результата легко найти условие равновесия системы пар, действующих на твердое тело: при равновесии должно

36

Ре ш е н и е . Изобразим векторы

%и mt моментов слагаемых пар, приложив их в некоторой точке А; тогда момент результирующей пары

Глава IV

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЦЕНТРУ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

$ 11. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью закона параллелограмма сил. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной систе­ мы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку. Такой метод дает следующая теорема: силу, прило­ женную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого

Пусть на твердое тело действует сила F, приложенная в точке А (рис. 37, а). Действие этой силы не изменяется, если в любой точке

37

Последнее равенство следует из формулы (15')- Таким образом, теорема доказана. Результат, даваемый теоремой, можно еще изо­

бразить так, как это показано на рис. 37, б (силу F на этом рисунке надо считать отброшенной). Рассмотрим примеры, иллюстрирующие теорему.

Пример 1. Чтобы удержать в равновесии однородный брус А В длиной 2а и весом Р , надо приложить в его середине С направленную вверх силу Q, по модулю равную Р (рис. 38, а). Согласно доказанной теореме силу Q можно заменить силой Q приложенной к концу А бруса, и парой с моментом, модуль которого m — Qa,

Если плечо этой пары уменьшить до величины h (рис. 38, б), то образующие ее силы F, F ', надо увеличить так, чтобы было Fh=Qa. Следовательно, чтобы удер­

ж ать брус за его конец А , надо кроме силы Q' приложить еще пару F, F '. Этот результат, вытекающий из доказанной теоремы, непосредственно «ощущает» рука человека, удерживающая брус за его середину (рис. 38, о) или за конец (рис. 38, б).

Пример 2. На барабан / радиуса г намотаны в противоположных направле­ ниях две нити, к концам которых прикладывают силы F и F'= — F (рис. 39); на барабан_2 того же радиуса намотана одна нить, к которой прикладывают силу, равную 2F. Рассмотрим, чем будут отличаться действия этих сил.

На барабан / действует только пара сил F, F' с моментом, численно равным 2Fr, вращающая барабан. Силу, действующую на барабан 2, можно заменить

силой 2F '— 2F, приложенной к оси барабана, и парой 2F, 2F". В результате на­ ходим, что на этот барабан действуют: 1) пара с численно таким же, как и в пер­

вом случае, моментом 2Fr, вращающая барабан, и 2) сила 2F ', оказывающая дав­ ление на ось барабана.

Итак, оба барабана будут вращаться одинаково. Но при этом ось второго ба­ рабана испытывает давление, равное 2F, а ось первого барабана никакого дав­ ления не испытывает..

$ 12. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ

Решим теперь задачу о приведении произвольной системы сил к данному центру, т. е. о замене данной системы сил другой, ей экви­ валентной, но значительно более простой, а именно состоящей, как мы увидим, только из одной силы и пары.

_ Пусть_на твердое тело действует произвольная система сил Fit Ft, . . Fn (рис. 40, а). Выберем какую-нибудь точку О за центр

38

Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей дан­ ной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того оке центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил). _

Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, не

зависит. Значение же М 0 при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений момен­ тов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относи­ тельно какого центра определяется главный момент.

. Рассмотрим в заключение два частных случая: 1) если для дан­ ной системы сил /?= 0 , а М 0Ф 0, то она приводится к одной паре сил

с моментом М 0 . В этом случае значение М 0 не зависит от выбора центра О, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что

невозможно; 2) если для данной системы сил /?=£0, а Мо=0, то^эна приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей, равной R и приложенной в центре О.

§ 13. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ

Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия

где О — любой центр, так как в конце § 12 показано, что при R = О значение М 0 от выбора центра О не зависит*.

Условия (23) являются необходимыми, так как если какое-ни­ будь из них не выполняется, то система действующих на тело сил

приводится или к равнодействующей (когда /? ^ 0 ), или к паре сил

(когда М 0Ф 0) и, следовательно, не является уравновешенной. Од­ новременно условия (23) являются и достаточными, потому что при

R —0 система сил может приводиться только к паре с моментом М 0,

щ е й: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того оке центра.

* П. Вариньон (1654— 1722) — выдающийся французский ученый, матема­ тик и механик. Изложил основы статики в книге «Проект новой механики» (1687).

40