Добавил:
ac3402546@gmail.com Направление обучения: транспортировка нефти, газа и нефтепродуктов группа ВН (Вечерняя форма обучения) Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

.pdf
Скачиваний:
173
Добавлен:
01.06.2021
Размер:
14.76 Mб
Скачать

по дуге полуокружности силы давления с интенсивностью q= pH \ согласно форму­ ле (37) равнодействующая этих сил R = q d = p H d \ б) распределенные по сечениям цилиндра силы (действие отброшенной половины), равнодействующие которых

обозначим S i и S ,, причем ввиду симметрии S ,= 5 2= S .

Из условий равновесия S t-{-S2= R , откуда S = p H d l2. Так как площадь сече­ ния, по которому распределена сила S , равна аН (площадью сечения дна цилинд­ ра пренебрегаем), то отсюда для растягивающего напряжения а а находим

ot = SlaH = (d/2a) р.

Как видим, растягивающее напряжение в поперечном направлении вдвое больше, чем в продольном.

$ 22*. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

Пример решения задач на равновесие системы тел (см. § 18) дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямо­ линейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по уз­ лам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов п связаны соотношением

k= 2n—3.

(38)

В самом деле, в жестком треугольнике, образованном из трех стерж­ ней, будет три узла (см., например, ниже на рис. 74 треугольник ABD, образованный стержнями 1, 2, 3). Присоединение каждого следующего узла требует два стержня (например, на рис. 74 узел С присоединен стержнями 4, 5, узел Е — стержнями 6, 7, и т. д.); следовательно, для всех остальных (п—3) узлов потребуется 2 (п—3) стержней. В результате число стержней в ферме k= 3 + 2 (n —3) = = 2 п—3. При меньшем числе стержней ферма не будет жесткой, а при большем числе она будет статически неопределимой.

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и уси­ лий в ее стержнях.

Опорные реакции можно найти обычными методами статики (см. § 17), рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перей­ дем к определению усилий в стержнях.

М е т о д в ы р е з а н и я у з л о в . Этим методом удобно поль­ зоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия

61

сил, сходящихся в каждом из узлов. Ход расчетов поясним на ков* кретном примере.

Рассмотрим изображенную на рис. 73, а ферму, образованную нз одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действующие на ферму силы пагенно равны:

 

В этой ферме число узлов п= 6,

 

а число стержней к—9. Следователь­

 

но, соотношение (38) выполняется и

 

ферма является

жесткой

без лиш­

 

них стержней.

 

уравнения

равнове­

 

Составляя

 

сия (29) для

фермы в целом, най­

 

дем, что реакции опор

направлены,

 

как показано на рисунке,

и числен*

 

но равны:

 

 

 

 

 

Хл = З Р = 6 0 к Н ,

 

 

YA=iN=3F/2=30 кН.

 

Переходим к

определению усилий

 

в стержнях. Пронумеруем узлы фер­

 

мы римскими цифрами, а стержни—

 

арабскими. Искомые

усилия обоз­

Рис. 73

начим S i (в стержне I),

S 2 (в стерж­

не 2) и т. д. Отрежем

мысленно все

 

узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям S u S 2, . . . Изображаем сразу все эти силы на рисунке, на­ правляя их от узлов, т. е. считая все стержни растянутыми (рис. 73, а; изобра­ женную картину надо представить себе для каждого узла так, как это показано ка рис. 73, б для узла III). Если в результате расчета значение усилия в какомнибудь стержне получится отрицательным, это будет означать, что данный стер­ жень не растянут, а сжат *. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, на рис. 73 не вводим, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня I , равны численно S ,, вдоль стержня 2 — равны S 2 и т. д.

Теперь для сил, сходящихся в каждом

узле, составляем последовательно

уравнения равновесия (12):

 

XFkx = 0.

= 0.

Начинаем с узла /, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равно­ весия можно определить только два неизвестных усилия.

Составляя уравнения равновесия для узла I, получим:

T v fS g cos 45°=0, ЛЧ-SX+ S JJ sin 45°=0.

Отсюда находим:

St = F}f~2= —28,2 кН, St = — N - S„^ 2/2 = —F/2 = - 1 0 кН.

Теперь, зная

Slt переходим к узлу II .

Для него уравнения равновесия дак»

Sl- f / rt= 0 , S*—S i= 0 , откуда

 

 

St — F= —20 кН,

S4= S j = — 10 кН.

Определив S4, составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала

для узла I I I ,

а затем для узла IV . Из этих уравнений находим:

S , = — S4V "2 = 1 4 ,1 к Н, S, = SS = —3 0 кН, S ,= 0 .

* По этой причине принято, независимо от применяемого метода расчета, приписывать растягивающим усилиям знак *+», а сжимающим — знак «—».

62

Наконец, для вычисления S, составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось B y. Получим K ^+Sjcos 45°=0, откуда S»=

= —3 0 1 ^2 = —42,3 кН.

Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла V I можно составить как проверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равнове­ сия всей фермы в целом при определении N , Х А и Уд (см. § 18).

Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу:

 

 

№ стержня

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Усилие, кН

— 10

- 2 8 ,2

- 2 0

— 10

+ 14,1

—30

0

—30

- 4 2 ,3

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стержни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой стержень).

Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обнаруживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стерж­ ня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную упомянутым двум стержням. Например, в ферме, изображен­

ной на рис. 74, при отсутствии силы Pt нулевым будет стержень 15, а следова­

тельно, и 13. При наличии же силы Р4 ни один из этих стержней нулевым не является.

Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неиз­ вестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.

М е т о д с е ч е н и й (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фер­ мы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется опре­ делить усилия, и рассматривают равновесие од,ной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. ё. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем со­ ставляют уравнения равновесия в форме (31) или (30), беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

Пример. Пусть требуется определить усилие в стержне 6 фермы, изображен­ ной на рис. 74. Действующие вертикальнее силы Р 1= Р ,= Р * = Р « = 2 0 кН, ре­ акции опор N x= N t —40 кН. Проводим сечение ab через стержни 4, 5, 6 и рассма­ триваем равновесие левой части фермы, заменяя действие на нее правой части силами, направленными вдоль стержней 4, 5, 6. Чтобы найти 5«, составляем урав­ нение моментов относительно точки С, где пересекаются стержни 4 и 5. Полу­ чим, считая AD—DC— a и В С ± В Е ,

— Nt -2a+ P1a + S t -CB=Q.

 

Отсюда находим S«. Плечо СВ вычисляем по данным, определяющим

направле­

ния н размеры стержней фермы.

_

В

данном примере Z A B C = 90° и С В = а У 2. Следовательно, S*=30V^"2=

•=42,3

кН; стержень растянут.

63

Усилия в стержнях 4 и 5 можно найти, составив уравнения моментов отно­ сительно центров В (точка пересечения стержней 5, 6) и А (точка пересечения стер­ жней 4, 6),

А ,

рк

Рг

 

 

а\ 12

Р<

 

1 0 ' b

ч

'С 8 (

' '

16

А

 

 

 

 

\

j

15 /

\

3

 

V

 

 

*5

11

\

/ 1

7

" ,

6

 

7/

\\

у

N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

а

б \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

а Е

 

10*

с

 

 

 

 

 

 

Рис.

74

 

 

 

 

Чтобы определить усилие в стержне 9 той же фермы, проводим сечение dc через стержни 8, 9 ,1 0 и, рассматривая равновесие правой части, составляем урав­ нение проекций на ось, перпендикулярную стержням 8 и 10, Получим

S9 cos об—Яj"—

0,

откуда находим S ,. Усилия в стержнях 8 и 10 можно в этом случае найти, составив уравнения моментов относительно центров К и С.

Г лав * V I

ТРЕНИЕ

S 23. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ

Опыт показывает, что при стремлении двигать одно тело по по­ верхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному скольжению, называемая силой трения скольжения.

Возникновение трения обусловлено прежде всего шероховато­ стью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и на­ личием сцепления у прижатых друг к другу тел. Изучение всех особенностей явления трения представляет собой довольно слож­ ную физико-механическую проблему, рассмотрение которой выхо­ дит за рамки курса теоретической механики.

В инженерных расчетах обычно исходят из ряда установленных опытным путем закономерностей, которые с достаточной для прак­ тики точностью отражают основные особенности явления трения. Эти закономерности, называемые законами трения скольжения при покое, можно сформулировать следующим образом.

1* При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), которая может принимать любые значения от нуля до значения Fпр> называемого предельной силой трения.

64

Приложенная к телу сила трения направлена в сторону, про­ тивоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть.

2. Предельная сила трения численно равна произведению стати­ ческого коэффициента трения на нормальное давление или нормаль­ ную реакцию:

FBt=f'N.

(39)

Статический коэффициент трения /0— величина безразмерная; он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасаю­ щихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, темпера­ тура, влажность и т. п.).

3. Значение предельной силы трения в довольно широких пре­ делах не зависит от размеров соприкасающихся при трении по­

верхностей.

 

Из первых двух законов следует, что при равновесии F ^F „f

или

F^f„N.

(40)

Следует подчеркнуть, что значение силы трения при покое опре­ деляется неравенством (40) и что, следовательно, это значение мо­ жет быть любым, но не большим, чем F np. Чему конкретно равна сила трения, можно установить, только решив соответствующую задачу (см. § 25). Величине F„v сила трения будет равна лишь тогда, когда действующая на тело сдвигающая сила достигает такого зна­ чения, что при малейшем ее увеличении тело начинает двигаться (скользить). Равновесие, имеющее место, когда сила трения равна

Fnf, будем называть предельным равновесием.

В заключение приведем значения коэффициента трения /0 для некоторых материалов: дерево по дереву 0,4—0,7; металл по металлу 0,15—0,25; сталь по льду 0,027.

Более подробные сведения даются в соответствующих справочни­ ках.

Все изложенное выше относилось к трению скольжения при покое. При движении сила трения направлена в сторону, противо­ положную движению, и равна произведению динамического коэф­ фициента трения на нормальное давление *:

F=fN.

Динамический коэффициент трения скольжения f также являет­ ся величиной безразмерной и определяется опытным путем. Значе­ ние коэффициента / зависит не только от материала и состояния поверхностей, но и в некоторой степени от скорости/'движущихся тел. В большинстве случаев с увеличением скорости коэффициент f сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение.

* Это справедливо, как и формулы (39), (40), для сухого трення. Случай, ког­ да между телами имеется слой жидкой смазки, требует специального изучения и рассматривается в гидродинамической теории смазки.

5 -1870

65

f 24. РЕАКЦИИ ШЕРОХОВАТЫХ СВЯЗЕЙ. УГОЛ ТРЕНИЯ

Реакция реальной (шероховатой) связи слагается из двух состав­ ляющих: из нормальной реакции N и перпендикулярной ей силы трения F. Следовательно, полная реакция R будет отклонена от

нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы

трения от нуля до F„t сила 7? изменяется от N до /?пр, а ее угол с нормалью растет от нуля до некоторого предельного значения <р» (рис. 75). Наибольший угол ф#, который полная реакция шерохова­ той связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно, что

tg q*=F„t/N .

Так как F„P = / , JV, то отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

tg<Po = / , .

(41)

При равновесии полная реакция R в зависимости от сдвигающих сил может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равно­ весие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол ф,.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Р , образующую угол а с нормалью (рис. 76), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Р sin а будет больше F„„=

—f tP cos а

(мы считаем

N = P cos а, пренебрегая весом тела). Но

неравенство

Р sin a > f0P cos а, в

котором /0= tg фо, выполняется

только при

tg a > tg фо,

т. е. при

а > ф 0. Следовательно, никакой

силой, образующей с нормалью угол а, меньший угла трения ф0, тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или самоторможения тел.

$ 26. РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ

Изучение равновесия тел с учетом трения скольжения можно свести к рассмотрению предельного равновесия, которое имеет мес­ то, когда сила трения равна F„v.

При аналитическом решении реакцию шероховатой связи изобра­ жают двумя ее составляющими N и jFnp. Затем составляют обычные

66

уравнения равновесия и присоединяют к ним равенство Fnv= f 0N. Из полученной таким путем системы уравнений и определяют иско­ мые величины.

Если в задаче требуется определить условия равновесия при всех значениях, которые может иметь сила трения, т. е. при F ^.F „р, то ее тоже можно решить, рассмотрев предельное равновесие и уменьшая затем в полученном результате коэффициент трения /# до нуля *.

Отметим еще, что если в задаче надо определить значение силы трения F, когда равновесие не является предельным и fy= F np, то, как уже отмечалось в § 23, эту силу F следует считать неизвестной величиной и находить из соответствующих уравнений (см. вторую Часть задачи 29, а также задачи 151, 152, § 130).

При геометрическом решении реакцию шероховатой связи удоб­

нее изображать одной силой R, которая в предельном положении равновесия отклонена от нормали к поверхности на угол ф0.

Задача 29. Груз весом Р = 10 Н лежит на горизонтальной плоскости (рис. 77).

Определить, какую силу Q, направленную под углом а = 3 0 ° к этой плоскости, иадо приложить к грузу, чтобы сдвинуть его с места, если статический коэффи­ циент трения груза о плоскость /0= 0 ,6.

Р е ш е н и е . Рассмотрим предельное равновесие груза. Тогда на него дей­ ствуют силы P~,Q, N и Fa f, Составляя условия равновесия в проекциях на о с е

* и

у, получим:

 

 

Q cos а — Fпр= 0 ,

N + Q sin а — Р = 0.

Из

последнего уравнения N = P — Q sin « . Тогда

 

Л.р=Л)ЛМ/0(Р—Qsin а).

Подставляя это значение

F„v в первое уравнение и

решая его, найдем окончательно

Если к грузу приложить меньшую силу, напри-

‘чР

” ИС-

мер силу Q '= 4 Н, то тогда сдвигающее усилие будет

равно O' cos 3 0 °= 2 У 3=3,46 Н; максимальная же си­

ла трения, которая может в этом случае развиться, будет Fnv= f0(P—O' sin 30°)= = 4 ,8 Н. Следовательно, груз останется в покое. При этом удерживающая его в равновесии сила трения F определится из уравнения равновесия в проекции на ось Ох и будет равна сдвигающей силе (F '= Q ' cos 30 = 3,46 Н), а не силе F „р.

Обращаем внимание на то, что при всех расчетах следует определять f np по формуле F„p= f0N, находя N из условий равновесия. Ошибка, которую часто до­ пускают в задачах, аналогичных решенной, состоит в том, что при подсчетах счи­ тают F„v= faP, в то время как сила давления на плоскость здесь не равна весу груза Р.

Задача 30. Определить, при каких значениях угла наклона а груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, если его коэффициент трения о плоскость равен /0,

*В самом деле, когда равновесие является предельным, сила трения F = F„V=

= ftN . В остальных положениях равновесия F < ft N . Следовательно, в каждом ■з этих положений можно считать F = kN , где k< }0. При А =0 (или / 0= 0) получим положение равновесия, соответствующее случаю, когда связь является гладкой (идеальной).

5*

67

Р е ш е н и е . Найдем сначала предельное положение равновесия, при кото­ ром угол а равен а пр. В этом положении (рис. 78) на груз действуют сила тяже­

сти Р, нормальная реакция N и предельная сила трения F„t . Строя из перечислен­ ных сил замкнутый треугольник, находим из него, чтоF np= M g а „ р. Носдругой стороны, F„t = ft N. Следовательно,

 

t g a np= / e.

 

(а)

Если в полученном равенстве

уменьшат^

то значение а пр

будет тоже

уменьшаться. Отсюда заключаем,

что равновесие возможной приa < a np. Окон­

чательно все значения угла а , при которых груз будет в равновесии,

определятся

неравенством

tg a <f„.

 

(б)

 

 

Полученный в задаче результат, выражаемый равенством (а), можно исполь­ зовать для экспериментального определения коэффициента трения, находя угол а лр из опыта.

Заметим еще, что так как /0= tg <р», где ф0— угол трения, то, следовательно, ®пр= Фв. т. е. наибольший угол а , при котором груз, лежащий на наклонной пло­ скости, остается в равновесии, равен углу трения.

Задача 31. Изогнутый под прямым углом брус опирается своей вертикальной частью о выступы А и В, расстояние между которыми (по вертикали) h (рис. 79, а). Пренебрегая весом бруса, найти, при какой ширине d брус с лежащим на его гори­ зонтальной части грузом будет находиться в равновесии при любом положении груза. Коэффициент трения бруса о направляющие равен /„.

Р е ш е н и е . Обозначим вес груза через Р, а его расстояние от вертикаль­ ной части бруса через I. Рассмотрим предельное равновесие бруса, при котором его

ширина d= d„p. Тогда на брус действуют силы Р, N, F, N ', F ', где F и Fr— пре­ дельные силы трения. Составляя условия равновесия (29) и беря моменты отно­ сительно центра А , получаем:

N — N '= О, F + F '— P = 0, N k - F d ap- P l = О,

где F = f0N , F '= f0N '. Из двух первых уравнений находим:

N = N ', P—2f0N.

Подставляя эти значения в третье уравнение и сокращая на N, получим

/!-/о < Ч -2/„;=0,

откуда

dnp—hifo—2/.

Если в этом равенстве уменьшать / 0 до нуля, то его правая часть будет расти до бесконечности. Следовательно, равновесие возможно при любом значении ^> ^ п Р- В свою очередь daf имеет наибольшее значение, когда 1=0. Значит брус будет в равновесии при любом положении груза (при 0), если будет выполнять­ ся неравенство d ^ h ff0. Чем меньше трение, тем d должно быть больше. При от­

сутствии трения (/„= ’0) равновесие невозможно, так как в этом случае получается d=

Приведем еще геометрическое решение задачи. При таком решении вместо

68

нормальных реакций и сил трення изображаем в точках А и В полные реакции Яд иТ?в , которые в предельном положении отклонены от нор_малей на_угол тре­ ния фо (рис. 79, б). Тогда на брус будут действовать три силы R A, R B , Р • При рав­

новесии линии действия этих

сил должны

пересекаться в

одной точке, т. е. в точке К,

где пересекаются

силы R A и

R B - Отсюда получаем очевидное

(см. рис. 79, б) равенство

А=(Л-^пр) tg 44, + / tg «Ре

или

A=(2H -dnp)

так

как

tg <Ро=/,. В

результате

находим

для 4пр то же значение,

что и при аналитическом решении.

 

 

 

 

Задача

дает

пример

самотормозящегося

устройства,

нередко применяемого

на практике.

 

 

 

 

Задача 32. Пренебрегая весом лестницы А В (рис. 80),

найти, при каких

значениях угла а

человек

может под­

няться по лестнице до ее конца В, если угол трения ле­

стницы о пол и о стену равен <р,.

 

 

положение

Р е ш е н и е .

Рассмотрим

предельное

равновесия

лестницы

и

применим

для

решения

гео­

метрический

метод. В

предельном

положении на

лест­

ницу действуют реакции R A и Жв пола и стены, отклоненные от нормалей к этим плоскостям на угол трения <р». Линии действия реакций пересекаются в точке /С.

Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Я (числен­ но равная весу человека) также должна пройти через точку К ■Поэтому в поло­

жений, показанном на чертеже, выше точки D человек

подняться не может. Что­

бы человек мог подняться до точки В, линии действия

сил 7?д'и R B должны пере­

сечься где-нибудь на прямой ВО, что возможно лишь тогда, когда сила

будет

направлена вдоль А В , т. е. когда угол а « р ф.

 

 

Следовательно, человек может подняться по лестнице до ее конца тогда, когда она образует со стеной угол, не превышающий угла трения лестницы о пол. Трение о стену при этом роли не играет, т. е. стена может быть гладкой.

| 26* ТРЕНИЕ НИТИ О ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

К нити, накинутой на круглый цилиндрический вал (рис. 81), приложена ри­

ла У. Найдем, какую наименьшую силу Q надо приложить к другому концу нити, чтобы сохранить равновесие при данном угле АОВ, равном а , если коэф­ фициент трения нити о вал /„.

Для решения задачи рассмотрим равновесие элемента нити D E длины d /= *=/? d0, где R — радиус вала. Разность натяжений нити в точках D и Е, равная dТ, уравновешивается силой трения d r — ftd S (dN — нормальней реакция), так как при наименьшей силе Q равновесие является пре­

дельным. Следовательно,

d T = ft dN.

Значение dA/ определим из уравнения равновесия в проекции на ось у. Полагая синус малого угла равным самому углу и пренебрегая малыми высшего порядка, най­ дем, что

A N = T sin (d0/2)+(T+d71 sin (d0/2)= =27М е/2=7\10.

Подставляя это значение dN в предыдущее равенство, получим d r = / , r d 0 .

Разделим обе части равенства на Т и возьмем интегралы справа в пределах от 0 до а , а слева от Q до Р (так как натяжение нити в точке, где 0 = 0 , равно Q, а в

точке, где 6= а , равно Р), Получим:

Ра

АТ

С

Р

Y = h \ <Юи l n Q-=/o<*-

Отсюда следует, что P/Q— ^ ,a или

Q =

(42)

Как видим, потребная сила Q зависит только от коэффициента трения f„ и угла а; от радиуса вала сила Q не зависит. При отсутствии трения (f0= 0) получаем, как и следовало ожидать, Q =P. Практически очень важен тот факт, что, увеличивая угол а (навивая нить), можно значительно уменьшить силу Q, необходимую для уравновешивания силы Р, что видно из 1-абл. 1. Например (см. табл. 1), натя­ жение в 1000 Н можно уравновесить силой всего в 2 Н, дважды обернув пенько­ вый канат вокруг деревянного столба.

Т а б л и ц а 1. Значения Q/Р

при / 0 = 0,5 (пеньковый канат по дереву)

Обороты

а

Q/P—t 1,а

 

Я

0,208

 

2л

0,043

 

Зя

0,009

 

0,002

Формула (42) определяет также отношение натяжений Р (ведущей) и Q (ве­ домой) частей ремня, равномерно вращающего шкив, если проскальзывание рем­ ня по шкиву отсутствует. Считая, например, при это м а= я и принимая для кожа­ ного ремня и чугунного шкива fe= 0,3, получим,

что отношение натяжений Q//>= e -#,*” »0,4. ЗАдача 33. К рычагу DE ленточного тормо^

за (рис. 82) приложена сила F. Определить тор­ мозящий момент Мг , действующий на шкив ра­ диуса R , если CD=2CE и коэффициент трения ленты о шкив /0= 0,5.

Р е ш е н и е . На шкив вместе с прилегаю­ щей к нему лентой АВ действуют приложенная в точке А сила Р, причем P— 2F, и приложенная

в точке В сила Q, определяемая формулой

(42).

В нашем случае /,= 0 ,5 и а= 5л/4= 3,93

рад.

Следовательно;

Q = 2Fe- = 2Fe“ 6Я/8 я 0,28F.

Искомый момент

= (P -Q ) Я = 1,72 FR,-

Момент будет тем больше, чем меньше Q, т, е, чем больше коэффициент трения /, и угол а .

70

Соседние файлы в папке Статика и кинематика