Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

может находиться в покое, называется уравновешенной или экви­ валентной нулю.

5. Е с л и данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.

Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противопо­ ложная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, на­ зывается уравновешивающей силой.

6.Силы, действующие на данное тело (или систему тел), можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, которые действуют на это тело (или на тела системы) со стороны дру­ гих тел, а внутренними — силы, с которыми части данного тела (или тела данной системы) действуют друг на друга.

7.Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки дан­ ного объема или данной части поверхности тела, называются распре­ деленными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как

практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Си^ы, ко^ торые в механике рассматривают как сосредоточенные, представля­ ю т собой .по существу равнодействующие некоторых систем распре­ деленных'' сил.

В частности, рассматриваемая в механике сила тяжести, дейст­ вующая на данное твердое тело, представляет собой равнодейст­ вующую сил тяжести, действующих на его частицы. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела, *.

Задачами статики являются: 1) преобразование систем сил, дей­ ствующих на твердое тело, в системы им эквивалентные, в частно­ сти приведение данной системы сил к простейшему виду; 2) опреде­ ление условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

Решать задачи статики можно или путем соответствующих гео­ метрических построений (геометрический и графический методы), или с помощью численных расчетов (аналитический метод). В курсе будет главным образом применяться аналитический метод, однако следует иметь в виду, что наглядные геометрические построения иг­ рают при решении задач механики чрезвычайно важную роль.

§ 2 . ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ

При изложении статики можно идти двумя путями: 1) исходить из уравнений, которые получаются в динамике как следствия основ­ ных, законов механики (см. § 120); 2) излагать статику независимо от динамики исходя из некоторых общих законов механики и положе­

* Вопрос об определения центров тяжести тел будет рассмотрен в гл. V III. Предварительно заметим, что если однородное тело имеет центр симметрии (пря­ моугольный брус, цилиндр, шар и т. п.), то центр тяжести такого тела находится в его центре симметрии.

И

ний, называемых аксиомами или принципами статики, хотя по су­ ществу они являются не независимыми аксиомами, а следствиями тех же основных законов механики (см. § 120). В учебных курсах, как и в данном, обычно идут вторым путем, так как по ряду причин оказывается необходимым начинать изучение механики со статики, т. е. до того, как будет изложена динамика. Положения (или аксио­ мы), из которых при этом исходят, можно сформулировать следую­ щим образом.

1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (Ft = F t) и направлены вдоль одной прямой

впротивоположные стороны (рис. 2).

2.Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменяется, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешен­ ную систему сил.

Иными словами это означает, что две системы сил, отличающие­ ся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

С л е д с т в и е : действие силы на абсолютно твердое тело не из­ менится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии дей­ ствия в любую другую точку тела.

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точ­ ке А сила F (рис. 3). Возьмем на линии действия этой силы произ­ вольную точку В и приложим в ней две уравновешенные силы F, и F z, такие, что Fi—F и T t ——F. От этого действие силы F ,на тело не

изменится. Но силы F и F , также образуют уравновешенную систе­ му, которая может быть отброшена *. В результате на тело бу­

дет действовать только одна сила Flt равная F, но приложенная в точке В.

Таким образом, вектор, изображающий силу F, можно считать приложенным в любой точке на линии дейстйия силы (такой век­ тор называется скользящим).

Полученный результат справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело. При инженерных расчетах им можно пользоваться лишь тогда, когда определяются условия равновесия той или иной конструкции и не рассматриваются возникшие в ее частях внутренние усилия.

* Отброшенные или перенесенные силы будем на рисунках перечеркивать.

12

Например, изображенный на рис. 4, а стержень А В будет нахо­ диться в равновесии, если F i = F t . При переносе точек приложения обеих сил в какую-нибудь точку_С стержня (рис. 4, б) или при пере-

вдоль линии действия нельзя.

Еще два исходных положения относятся к общим законам меха­ ники.

З а к о н п а р а л л е л о г р а м м а с и л : две силы, приложен­ ные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, по­ строенного на этих силах, как на сторонах.

Вектор R , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах F[ и F t (рис. 5), называется геометрической суммой век­ торов Тх и F,: _

R = K + Fi-

Следовательно, закон параллелограмма сил можно еще сформу­ лировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.

В дальнейшем следует различать понятия суммы сил и их равно­ действующей. Поясним это примером. Рассмотрим две силы F [ v i T \

диагональ соответствующего параллелограмма. Но сила ф~не явля­ ется равнодействующей этих сил, так как нетрудно понять, что одна

13

' жесткого стержня (силы должны быть равны по модулю и направле­ нны вдоль нити в разные стороны). Но эти условия не будут достаточ­ ными. Для равновесия нити требуется еще, чтобы приложенные силы Выли растягивающими, т. е. направленными так, как на рис. 4, а. Г Принцип отвердевания широко используется в инженерных рас­ четах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассмат­ ривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь и т. п.) или лю­ бую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к|ним методы статики твердого тела. Если полученных таким путем уравнений для решения задачи оказывается недостаточно, то до­ полнительно составляют уравнения, учитывающие или условия рав­ новесия отдельных частей конструкции, или их деформации (зада­ чи, требующие учета деформаций, решаются в курсе сопротивления материалов).

§ 3. связи И ИХ РЕАКЦИИ

По определению, тело, которое может совершать из данного по­ ложения любые перемещения в пространство, называется свободным (например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям кото­ рого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скреплен­ ные или соприкасающиеся с ним, тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называют связью. В дальнейшем будем рассматривать связи, реали­ зуемые какими-нибудь телами, и называть связями сами эти тела.

Примерами несвободных тел являются груз, лежащий на столе, дверь, подвешенная на петлях, и т, п. Связями в этих случаях будут: для груза — плоскость стола, не дающая грузу перемещаться по вертикали вниз; для двери — петли, не дающие двери отойти от косяка.

Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь. Одновремен­ но по закону о равенстве действия и противодействия связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно на­ правленной силой. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям, называется силой ре­ акции (противодействия) связи или просто реакцией связи.

Значение реакции связи зависит от других действующих сил и наперед неизвестно (если никакие другие силы на тело не действуют, реакции равны нулю); для ее определения надо решить соответству­ ющую задачу механики. Направлена реакция связи в сторону, про­ тивоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Когда связь может препятствовать перемещениям тела по нескольким на­ правлениям, направление реакции такой связи тоже наперед неиз­ вестно и должно определяться в результате решения рассматривае­ мой задачи.

Правильное определение направлений реакций связей играет при решении задач механики очень важную роль. Рассмотрим по­

15

этому подробнее, как направлены реакции некоторых основных видов связей (дополнительные примеры приведены в § 17).

поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающих­

ся тел в точке их касания (рис. 8, а) *. Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхно­

вокруг общей оси, называемой осью шарнира (например, как две половины ножниц). Если тело А В прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре D (рис. 10), то точка А тела не может при этом переместиться ни по какому на­ правлению, перпендикулярному оси шарнира. Следовательно, ре­ акция Я цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости^ перпендикулярной оси шарнира, т. е. в плоскости Аху.

Д ля силы R в этом случае наперед неизвестны ни ее модуль R, ни направление (угол а).

4. С ф е р и ч е с к и й ш а р н и р и п о д п я т н и к . Тела, соединенные сферическим шарниром, могут как угодно поворачи-

* Н а рис. 8— 12 действующие на тела заданные силы не показаны.

16

ваться одно относительно другого вокруг центра шарнира. Приме­ ром служит прикрепление фотоаппарата к штативу с помощью шаровой пяты. Если тело прикреплено с помощью такого шарнира 1к неподвижной опоре (рис. И , а), то точка А тела, совпадающая 1с центром шарнира, не может при этом совершить никакого пере­

мещения в пространстве. Следовательно, реакция R сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве. Для нее наперед неизвестны ни ее

модуль R , ни углы с осями

Лхуг.

Произвольное направ­ ление в пространстве мо­

5.Н е в е с о м ы й

весом которого по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Пусть для какого-нибудь находящегося в равно­ весии тела (конструкции) такой стержень, прикрепленный в точках А и В шарнирами, является связью (рис. 12, а). Тогда на стержень будут действовать только две силы, приложенные в точках А и В; при равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль АВ (см. рис. 4, а, в). Но тогда согласно закону о действии и противодействии стержень будет действовать на тело

с силой, тоже направленной вдоль АВ . Следовательно, реакция N невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня на­ правлена вдоль оси стержня.

Еслу связью является криволинейный невесомый стержень

При решении задач реакции связей обычно являются подлежащими

определению неизвестными. Нахождение реакций имеет то прак­ тическое значение, что определив их, а тем самым определив по закону о действии и противодействии и силы давления на связи, получают исходные данные, необходимые для расчета прочности соответствующих частей конструкции.

Глава II

СЛОЖЕНИЕ СИЛ. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

| 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ СИЛ.

РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ; РАЗЛОЖ ЕНИЕ СИЛ

Решение многих задач механики связано с известной из вектор­ ной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Ве­ личину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем в дальнейшем называть главным вектором, этой системы сил. Как отмечалось в § 3 (см. рис. 6), понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей; для мно­ гих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.

двух сил Fi и F t находится по правилу параллелограмма (рис. 13, в) или построением силового треугольника (рис. 13, б), изображаю­ щего одну из половин этого параллелограмма. Если угол ■с между силами равен а, то мо­ дуль R и углы Р, у, которые

лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллеле­ пипеда, построенного на этих силах (правило параллелепипеда). В справедливости этого убеждаемся, применяя последовательно правило параллелограмма (рис. 14).

3. С л о ж е н и е с и с т е м ы с и л . Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последова­ тельным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более_простым и удобным. Д ля нахождения этим способом суммы сил Flp F t , F g, . . . , Fn (рис^ 15, a) откладываем от произвольной точки О (рис. 15, б) вектор Оа, изображающий в выбранном масшта­ бе силу Flt от точки а — вектор ab, изображающий силу f ,, от точки Ь — вектор Ьс, изображающий силу F,, и т. д.; от конца т предпоследнего вектора откладываем вектор тп, изображающий

18

'силу Fn. Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор On= R, изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

смотрим систему сходящихся сил, т. е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 15, а). Так как сила, действующая

Рис. 14

на абсолютно твердое тело, является вектором скользящим, то система сходящихся сил эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 15, а в точке А).

Цоследовательно применяя закон параллелограмма сил, придем к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, рав­ ную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и прило­ женную в точке пересечения их линий действия. Следовательно| система сил Fu F It . . . ,~Fn, изображенных на _рис. 15, а, имеет

равнодействующую, равную их главному вектору R и приложенную в точке А (или в любой другой точке, лежащей на линии действия

силы R , проведенной через точку А).

5. Р а з л о ж е н и е с и л . Разложить данную силу на не* сколько составляющих — значит найти такую систему нескольких сил, для которой данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Рассмотрим два частных случая:

а) р а з л о ж е н и е с и л ы п о д в у м з а д а н н ы м н а ­ п р а в л е н и я м . Задача сводится к построению такого парал­ лелограмма, у которого разлагаемая сила является диагональю, а стороны параллельны заданным направлениям. Например, на рис. 13 показано, как сила R разлагается по направлениям А В и

AD на силы и F t— составляющие силы R (сила R и прямые А В , AD лежат, конечно, в одной плоскости);

б) р а з л о ж е н и е с и л ы п о т р е м з а д а н н ы м н а ­ п р а в л е н и я м . Если заданные направления не лежат в одной плоскости, то задача является определенной и сводится к построе­ нию такого параллелепипеда, у которого диагональ изображает

19

2 *

заданную силу R , а ребра параллельны заданным направлениям (см. рис. 14).

Способом разложения можно в простейших случаях пользовать­ ся для определения сил давления на связи. Для этого действующую на тело (конструкцию) заданную’силу надо разложить по направле­ ниям реакции связей, так как согласно закону о действии и противо­ действии сила давления на связь и реакция связи направлены вдоль одной и той же прямой.

Задача 1. Кронштейн состоит из стержней А С и ВС, соединенных со стеной и друг с другом шарнирами, причем Z B A C = 9 0 <>, Z A B C = a (рис. 16). В точке С подвешен груз весом Р Определить усилия в стержнях, пренебрегая их весом.

Р е ш е н и е . Под усилиями в стержнях понимают значения сил, растяги­ вающих или сжимающих эти стержни.. Так как стержни считаются невесомыми, то их реакции (они действуют на шарнир С) направлены вдоль стержней. Тогдп

д л я . определения искомых усилий приложим силу Т? в точке С и разложим ее

по направлениям А С и СВ. Составляющие S j и S t и будут искомыми силами. Из треугольника CDE находим:

S j = P/cos a , S2= P tg а .

Таким образом, стержень ВС сжимается силой S j, а стержень А С растягива­ ется силой S 2. С увеличением угла а усилия в стержнях растут и при а , близком к 90°, могут достигать очень больших размеров.

Задача 2. Фонарь весом Р = 200 Н (рис. 17) подвешен на двух тросах А С и ВС, образующих с горизонтальной прямой одинаковые углы а = 5 ° . Определить, с какой силой натянуты тросы.

Р е ш е н и е . Приложим силу Я в точке С и разложим ее по направлениям тросов. Параллелограмм сил в данном случае будет ромбом; диагонали его вза­ имно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. Из треугольника аСЬ находим, что / >/2 = T 1 s in a . Тогда

Т х= Г2= P /2 sin а ъ U50 Н.

Из полученной формулы видно, что с уменьшением угла а натяжение тросов значительно увеличивается (например, при а — I.4 Т = 5 7 3 0 Н). Н атянуть трос тпк, чтобы он стал горизонтальным, практически нельзя, так ках при а-*-0 Т-*-оо,

f 5. ПРОЕКЦИЯ СИЛЫ НА ОСЬ И НА ПЛОСКОСТЬ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ

ИСЛОЖ ЕНИЯ СИЛ

Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого дру­ гого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произве­

ло