Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

ходит через точку С (рис. 199), причем

a = v B/BC=vA/AC и to= ( VB—VA)/AB.

Последний результат тоже получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства значения vA и vB, найдем окончательно:

Итак, в этом случае результатирующее движение также явля­ ется мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью со= е=а>1—(о, вокруг оси Сс', положение которой определяется пропор­

вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны.

называется парой вращений, а векторы ш, иш , образуют пару угловыхскоростей. В этом случае получаем, чтоиА=й)а •АВ и vB=t»i ‘АВ,

определяется так же, как в статике определялось направление момен­ та т пары сил (см. § 9). Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) двизкению со

скоростью и, равной моменту пары угловых скоростей этих враще­ ний.

Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали DE относительно рамы велосипеда (рис. 201),

171

являющееся результатом относительного вращения педали вокруг оси А, укрепленной на кривошипе ВА, и переносного вращения кривошипа ВА вокруг .оси В. Угловые скорости со, и со, этих вра­ щений направлены в разные стороны, а по модулю равны друг дру­ гу, так как в любой момент времени угол поворота ср, педали отно­ сительно кривошипа ВА равен углу поворота ср, кривошипа. Ско­ рость поступательного движени'я педали v=(a1-BA.

Из того, что пара вращений эквивалентна поступательному дви­ жению, следует и обратный вывод: поступательное движение твер­ дого тела эквивалентно паре вращений, у которой момент угловых скоростей этих вращений равен поступательной скорости тела.

f 70. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Полученные в предыдущем параграфе результаты могут быть использованы для 'кинематического расчета зубчатых передач, образованных цилиндрическими зубчатыми колесами (шестернями). Рассмотрим основные виды этих передач.

Р я д о в о й назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в по­ следовательном зацеплении, неподвижны. При этом одно из колес (например, ко­ лесо / на рис. 202) является ведущим а остальные ведомыми. В случае внешнего

(рис. 202, а) или внутреннего (рис. 202, б) зацепления двух колес имеем I®,!

— |ш,| •/■,, так как скорость точки сцепления А у обоих колес одинакова. Учитывая, что число г зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращения

Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой пере­ даче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиу­

где k — число внешних зацеплений (в случае, изображенном на рис. 202,о, имеется одно внешнее зацепление; на рис. 202, в — два внешних зацепления, на рис. 202, б внешних зацеплений нет).

Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина i'jr , дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведо-

172

неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеп­ лении, укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижной шестерни.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й называется передача, изображенная иа рис. 203, если в ней шестерня I не является неподвижной и может вращаться вокруг своей оси А независимо от кривошипа АВ.

Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, со­ общив мысленно всей неподвижной Плоскости Ах1у1вращение с угловой скоростью —илв> равной по модулю и противополож­ ной по направлению угловой скорости кривошипа АВ (метод остановки или ме­ тод Виллиса).

sfoft шестерни по отношению к осям Axtyt

(рис. 203). При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость между

щ можно будет определить или приравнивая скорости точек сцепления, или не­ посредственно по формуле (101).

Расчет планетарных и дифференциальных передач можно также производить с помощью мгновенных центров скоростей (см. § 56).

Задача 82. В планетарном механизме (рис. 203) шестерня / радиуса rt не­ подвижна, а кривошип АВ вращается с угловой скоростью содвНайти угловую скорость шестерни 3 радиуса rt .

Р е ш е н и е . Абсолютные угловые скорости шестерен по отношению к осям Ах1у1обозначим через u)t ((о,=0), <о, и со,. Сообщив всей плоскости Ах1у1 враще­ ние с угловой скоростью —шда, получим в этоц движении:

сч= 0—<одя, ш,=<а,—мдв.

ы , = й>.— сода, ® дЯ = 0 .

В получившейся передаче оси колес неподвижны, а число внешних зацеплений к—2, Тогда по формуле (101)

(Oi/w»= r,/ri или —шдв/(<о*—мдя) = г»/г|. Отсюда находим абсолютную угловую скорость шестерни 3

м>=(1—'А ) «да-

Если г,> г,( то направление вращения шестерни 3 совпадает с направлением вращения кривошипа, при rt <r1— не совпадает. В случае, когда rt —rt , получаем (i),=0. Шестерня 3 в этом случае движется поступательно.

Относительную (по отношению к кривошипу АВ) угловую скорость шестер­ ни 3 найдем по формуле (97). Так как абсолютная скорость он^Шмт'Ьи.дв (Уз­ ловая скорость кривошипа является для шестерни 3 переносной), то

<»зот= “ з —»>дв = —(n l'i) ®лв-

При r,= rf получаем шаот= —(ода- Относительная ш!от и переносная о»да угловые скорости образуют при этом пару, и мы другим путем приходим к выводу, что результирующее движение шестерни 3 является в этом случае поступатель­ ным со скоростью V=<OAB ‘AB.

Задача 83. Редуктор скоростей (рис. 204) состоит из: а) неподвижной шестер­ ни 1; б) двух спаренных шестерен 2 и 3, насаженных на кривошип, скрепленный с

173

ведущим ралом АС (зацепление шестерен 2 и 1 внутреннее); в) шестерни 4, сидя­ щей на ведомом валу DB. Числа зубцов шестерен: гх= 120, z2=40, z,=30, z4= 50. Ведущий вал делает л д = 1500 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала В.

Р е ш е н и е . Обозначим абсолютные угловые скорости: вала АС вместе с кривошипом через «>д, шестерни 4 вместе с валом DB через шд, шестерен 2 и 3 черев to2J (эти шестерни вращаются как одно тело). Шестерня 1 имеет угловую скорость Ш|—0. Сообщив плоскости х1у1<параллельно которой движется механизм, вращение с угловой скоростью — шд, получим, что кривошип в этом движении

будет неподвижен (шд=0), а шестерни будут иметь» скорости:

Отсюда, учитывая, что величина п об/мин, про* порциональна со, находим

лВ= (1 + 21 z3/z2 z j лд=4200 об/мин.

Задача 84. Решить предыдущую задачу при условии, что шестерня 1 враща­ ется в ту же сторону, что и ведущий вал АС, делая лх= 1100 об/мин (редуктор

сдифференциальной передачей).

Ре ш е н и е . Ход решения остается таким же, как и в задаче 83, с той лишь

разницей, что теперь (Oj^O (причем по условиям задачи знаки «о, и шд совпадают); следовательно, 0^ = % —ид. В результате полученная в задаче 83 пропорция ©1/w4= - 4 jz1/z1z* дает

(©I—Шд)/(Шд—шд)=— Отсюда, переходя к оборотам в минуту, находим

" B = ^ + ( z 1zJ/z2z4) (яд—л,) = 22 2 0 об/мин.

Если шестерня 1 вращается в противоположном направлении, то в полученном результате надо изменить знак при лх.

§ 71. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ

1. С л о ж е н и е у г л о в ы х с к о р о с т е й . Пусть отно­ сительное движение тела представляет собой вращение с угловой

скоростью eoj вокруг оси аха, укрепленной на кривошипе 2 (рис. 205, а), а_переносным является вращение кривошипа с угло­

вой скоростью со, вокруг оси Ьф, которая с осью аха пересекается в точке О. Схематически такой случай сложения вращений вокруг пересекающихся осей показан на рис. 205, б.

Очевидно, что в этом случае скорость точки О, как лежащей одновременно на обеих осях, будет равна нулю и результирующее движение тела является движением вокруг неподвижной точки О.

Тогда тело имеет в данный момент времени угловую скорость ш, направленную по мгновенной оси вращения, проходящей через точку О (см. § 60).

174

Чтобы определить значение со, найдем скорость какой-нибудь

должны выполняться при любом г, что возможно лишь тогда, когда

(0= 0)1 + (Oj. (103)

Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О, и угловая скорость этого вращения будет равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей. Мгновенная

ось Ос направлена вдоль вектора о», т\ е. по диагонали параллело­

грамма, построенного на векторах со* и со,.

С течением времени ось Ос меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то, последовательно применяя формулу (103), найдем, что результирующее движение будет мгно­ венным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, с угло­ вой скоростью

(104)

Задача 85. Определить абсолютную угловую скорость ю конического катка (см. задачу 72 в § 62), если радиус АС катка R, расстояние ОА— 1 и скорость од точки А известны (рис. 206).

Р е ш е н и е . Абсолютное движение катка является результатом его относи­ тельного вращения вокруг оси ОА с угловой скоростью щ и переносного вращения кривошипа ОА вокруг оси ОВ с угловой скоростью оГ2; при этом численно ша=

175

Мгновенная ось вращения, а следовательно, и вектор абсолютной угловой ско­

рости направлены по линии ОС, ^ак как скорость точки С равна нулю (см. задачу 72). Строя соответствующий параллелограмм, находим, что (»=<*>,/sin а.

Tax как sin a = /? /y r P+R*, то окончательно ш= (VA/R) Y 1+ R 4P -

Другим путем этот результат можно получить (учитывая, что ОС — мгновен­ ная ось вращения) из равенства vA—<nfi, где h= l sin a.

Движение катка представляет собой серию элементарных поворотов с угло­ вой скоростью ш вокруг оси ОС, которая непрерывно меняет свое положение,

-равенства (103) получим

е= dw/dt = da>i/dt -f <ki>*/iIt,

Здесь (d<o1)1/d/= e1, а (d<Oj),/d/=e2. Значение (dco1)2/d/ определяется так же, как значение (dv0T)tIdt в § 66 и дается формулой (92) с заменой в ней v0T наШц а ш

на Ш]. Следовательно, (do>1)1/d/=U gX (^. Наконец, так как ша при относительном движении (на рис. 205 при вращении тела вокруг оси ага) не изменяется, то

(d<oJ)1/d/= 0 . В результате равенство (105) дает окончательно

Формула (106) и определяет в случае сложения вращений вокруг пересека­ ющихся осей абсолютное угловое ускорение тела.

f 72. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ. ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела

1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси Аа, укреп­ ленной на платформе 2, а переносным— поступательное движение

платформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением яв­ ляется вращение вокруг его оси, а переносным — движение той же

платформы. В зависимости от значения угла а между векторами ы и v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

176

сложное движение тела слагается_из вращательного движения во­ круг оси Аа с угловой скоростью <о и поступательного движения со скоростью v, перпендикулярной ш (рис. 208). Легко видеть, что это

движение представляет собой (по отношению к плоскости П, пер­ пендикулярной оси Аа) плоскопараллельное движение, подробно изученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматри­ ваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет дейст­

Векторы со и а* дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное

вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью со'=со. Этот результат был раньше получен другим путем (см. § 56). Сравнивая равенства (56) и (107), ввдим, что точка Р для сечения 5 тела является мгно­ венным центром скоростей (ир=0). Здесь еще раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей Аа и Рр происходит с одной и той же угло­

вой скоростью «а, т. е. что вращательная часть движения не зависит

тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоро­ стью <о и поступательного со скоростью v, направленной параллель­ но оси Аа (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы н и ш направлены в

177

12-1870

одну сторону, то при принятом нами правиле изображения со винт будет правым-, если в разные стороны,^ левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величи­ ны v и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обо: значая время одного оборота через Т, получаем в этом случае vT=h и соГ=2я, откуда Л=2яи/со.

а

А

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящей­ ся от оси винта на расстоянии г, слагается из поступательной ско­

рости и и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща­ тельном движении, которая численно равна ©г. Следовательно,

vM = V tfi + <otri.

Направлена скорость- vM по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М , разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом a (tga=A/2nr).

3. С к о р о с т ь п о с т у п а т е л ь н о г о д в и ж е н и я о б р а з у е т п р о и з в о л ь н ы й у г о л с о с ь ю в р а щ е ­

ленную вдоль со (a'=acosa), и к", перпендикулярную со (t/"=t/sina). Скорость Vя можно заменить парой угловых скоростей со'=со и со'=

= —со (как на рис. 208), после чего векторы со и со* можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле (107):

ЛС=»7со= (»sina)/co.

178

Раздел третий

ДИНАМИКА ТОЧКИ

Глава XV

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ

1 73. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Движение тел с чисто геометрической точки зрения рассматри­ валось в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

Понятие о силе, как об основной мере механического действия, оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но в статике мы не касались вопроса о возможных изменениях действую­ щих сил с течением времени, а при решении задач считали все силы постоянными. Между тем на движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых -при движении тела изменяются. При этом переменными могут быть и заданные (активные) силы *, и реакции связей.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным об­ разом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В ча­ стности, от времени зависит Сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колеба­

сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды (подробнее см. § 76). В заключение отметим, что все введен­ ные в статике понятия и полученные там результаты относятся в равной мере и к переменным силам, так как условие постоянства сил нигде в статике не использовалось.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начи­ нает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгно-

• Активной обычно называют силу, которая, начав действовать на покояще ся тело, может привести его в движение.

180