Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают за­ труднения в определении проекции силы на соответствующую плос­ кость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользо­ ваться теоремой Вариньона (см. задачу 36). Кроме того, можно вы­ числять моменты аналитически по формулам (47), как, например, в задаче 37.

Задача 39. На прямоугольной плите со сторонами а и Ь лежит груз. Центр тяжести плиты вместе с грузом находится в точке D с координатами хр , ур (рис. 97). Один из рабочих удерживает плиту за угол А . В каких точках В и Е должны поддерживать плиту двое других рабочих, чтобы силы, прикладываемые каждым из удерживающих плиту, были одинаковы.

Р е ш е н и е . Рассматриваем равновесие плиты, которая является свободным телом, находящимся в равновесии под действием четырех параллельных сил Q,,

<?г. <?,. Р, где Р — сила тяжести. Составляем для этих сил условия равновесия (53), считая плиту горизонтальной и проводя оси так, как показано на рис. 97. Получим:

Qib-\-Q,y— PyD= 0 , —Qaa—Q ,*+ Px0 = О,

Qi+Q,+Qa- P = 0 .

По условиям задачи должно быть QI = Q 2= Q 3=Q- Тогда из последнего урав­ нения P=3Q. Подставляя это значение Р в первые два уравнения, найдем оконча­

тельно * = 3*0 —а, у=3Уо~Ь-

Решение возможно, когда al3< xD<1a/3, 6/3<</о<26/3. При хв = а /3 , yD~ b /3 получим х = у —0, а при дгд=2а/3, у ^ —ЧЫЗ будет * = а, у — Ь. Когда точка D в центре плиты, х= а/2, у —Ы2.

Задача 40. На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках А и В (рис. 98) насажены перпендикулярно оси вала шкив радиусом rt = 2 0 см и барабан радиусом

что оно вдвое больше натяжения Г . ведомой ветви. Дано: а= 40 см, />=60 см, о=30°.

Р е ш е н и е . В рассматриваемой задаче при равномерном вращении вала действующие на него силы удовлетворяют условиям равновесия (51) (это будет доказано в § 136). Проведем координатные оси (рис. 98) и изобразим действующие

на вал силы: натяжение F веревки, по модулю равное Я, натяжения ремня 7’1, Y t и составляющиеТд, Т д, Y B ~ZB реакций подшипников.

Для составления условий равновесия . (51) вычисляем предварительно я вно­ сим в таблицу значения проекций всех сил на координатные оси и их моментов относительно этих • осей *,

Теперь составляем условия .равновесия-(51); так как F = P , получим:

Из уравнений (III) и (IV) находим сразу, учитывая, что 7’I = 2 7 ’1J

Г ,= г,Р //-,= 405 Н, ZB={b Р sin а)/(а+Ь)= 162 Н. Далее, из уравнения (V) получаем:

Y B={3aTt— bP cos а)/(а+ 6)»205 Н.

Подставляя найденные значения в остальные уравнения,.найдем:

Ул = — Р cos а —ЗГ ,—У д » —1890 Н, ZA= P sin a —ZB= 108 Н.

Иокончательно

Г!= 810 Н, К д » -1 8 9 0 Н, Za = 108 Н, Кя «205 Н, ZB=162 Н.

Задача 41. Прямоугольная крышка весом Р = 120 Н, образующая с верти­ калью угол а= (Х г, закреплена на горизонтальной оси АВ в точке В цилиндриче­ ским подшипником, а в точке А — подшипником с упором (рис. 99). Крышка удер­ живается в равновесии веревкой DE и оттягивается перекинутой через блок О нитью с грузом весом Q=200 Н на конце (линия КО параллельна АВ). Дано:

• Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие крышки. Проведем координатные'оси, беря начало в точке В (при этом сила Т пересечет оси у и г, что упростит вид урав-

* Предварительное составление таблиц при решении задач этого раздела ос бенно полезно. Таблица заполняется по столбцам, т. е. сначала вычисляются все

проекции и моменты силы Т~, а затем силы Тг и т. д. Таким образом, сначала все внимание сосредоточивается на первой силе, затем — на второй и т. д. Если же сразу составлять уравнения (51), то к рассмотрению каждой силы придется воз­ вращаться шесть раз; при этом вероятнее появление ошибок, а особенно пропус­ ков отдельных сил в том или ином уравнении.

82

Задача 42. Решить задачу 41 для случая, когда на крышку дополнительно действует расположенная в ее плоскости пара с моментом Л1 = 1 2 0 Н-м; поворот пары направлен (если смотреть на крышку сверху) против хода часовой стрелки.

Р е ш е н и е . В_дополнеиие к действующим на крышку силам (см. рис. 99)

изображаем момент М пары в виде вектора, перпендикулярного к крышке н при­ ложенного в любой точке, например в точке А . Его проекции на координатные оси: М х= 0, М у= М cos a , M Z= M sin а . Тогда, составляя условия равновесия (52), найдем, что уравнения (1) — (IV) останутся такими же, как в предыдущей задаче, а последние два уравнения имеют вид:

Заметим, что этот же результат можно получить, не составляя уравнения в виде (52), а изобразив пару двумя силами, направленными, например, вдоль линий АВ и КО (при этом модули сил будут равны Mia), и пользуясь затем обычными ус­ ловиями равновесия.

Решая уравнения (I) — (IV), (V'), (VI'), найдем результаты, аналогичные полученным в задаче 41, с той лишь разницей, что во все формулы вместо величины Qa войдет Qa+Af. Окончательно получим:

Г я Ю 4 Н „ Х д = 200Н, У д » 173И , г д = —40Н , YB= — 121 Н, ZB = 7 0 Н.

Задача 43. Горизонтальный стержень АВ прикреплен к стене сферическим шарниром А и удерживается в положении, перпендикулярном стене, растяж­ ками КЕ и CD, показанными на рис. 101, а. К концу В стержня подвешен груз весом Я =38 Н. Определить реакцию шарнира А и натяжения растяжек, если А В — = в = 0 ,8 м, A C = AD 1—b=0,& м, А К = а/2, <х=30°, р=60°. Весом стержня прене­ бречь.

Р е ш е н и_е. Рассмотрим равновесие стержня. На негодействуют сила ~Р и реакции Тк, Тс , Хд, Уд, ZA. Проведем координатные оси и составим условия

иногда в аналогичных случаях ошибочно полагают. Поэтому, например, при на­ хождении tnx (Tc) по формуле (45) надо сначала определить этот угол или найти другим путем проекцию Tq на плоскость А у г , что усложнит расчет (составляющая T i проекцией силы Т с на плоскость А у г не является). С помощью же теоремы Ва­ риньона значение тх (Тс) легко находится.

84

тг (7’1) = 0. Вычисление моменте» сил относительно оси г пояснено вспомога­ тельным чертежом (рис. 101, б), на котором дан вид в проекции на плоскость А ху.

или, заменяя Tx и Т г их значениями:

Т к cos Р — Tc s ln a sln 45° + Х а = 0,

— Тд-sln р — Тс sin a cos 45°-(-Кд = 0,

—P -f-rc Cosa + Z^srO, — Ра -)~Tcb cos a = 0,

—(Гка/2) cos P + Tc i sin a sin 45° = 0.

‘треугольника со стороной а, закреплена с помощью шести стержней так, как показано на рис. 102; при этом каждый из на­ клонных стержней образует с горизонтальной плоскостью угол а = 3 0 . В плоскости плиты дей­ ствует пара с моментом М. Пренебрегая весом

на быть равна нулю.

N t = — 2 M /(a V 3 cos a).

Составляя уравнения моментов относительно осей, которые направляем вдоль стержней 2 и 3, получим такие же результаты для сил NA и N f .

Теперь составим уравнение моментов относительно оси х, направленной вдоль

.стороны АВ треугольника. Получим, учитывая, что Мж= 0 ,

JVjA+ (N, sin a) h= 0.

-Отсюда, так как Nt — Nt , находим

N 3= — sin о = (2Af/aV""3) tg a .

Такие же значения получим для величин Nx и N t , составляя уравнения моментов относительно осей АС и СВ.

85

Окончательно при а = 30° будет:

ЛГ,= ЛГ,= ЛГ,=2М/За, N t = N f = N t= — 4Ml3a.

Полученные результаты показывают, что действием заданной пары верти­ кальные стержни растягиваются, а наклонные сжимаются.

Из рассмотренного примера видно, что при решении задач не всегда обязательно пользоваться условиями равновесия (51). Для пространственной системы сил, как и для плоской, существует не­ сколько форм условий равновесия, из которых форма (51) является основной.

В частности, можно доказать, что для равновесия пространствен­ ной системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю суммы моментов всех сил относительно шести осей, направленных или по ребрам какой-нибудь треугольной пирамиды, или по боковым ребрам и ребрам основания треугольной призмы.

Последние условия и были использованы при решении задачи 44.

Глава VIII

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

f 31. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Понятие о центре параллельных сил используется при решении некоторых задач механики, в частности при определении положений центров тяжести тел.

Рассмотрим сначала две параллельные силы Ft и Ft, приложен­ ные к телу в точках А± и >4, (рис. 103). Очевидно, что эта плоская

система сил имеет равнодействующую R = F i + F t, линия действия которой параллельна слагаемым силам и проходит через некоторую

= m c(Fl)+mc(F1) или 0 = F 1A1—FJit =Fx-АУ -cos a —Ft -AtC -cos a,

Поэтому, если силы Fx и Ft повернуть около точек At и А , в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то образуются две новые па­ раллельные силы F[ и F't, имеющие те же модули Fi, Ft; следова­ тельно, для сил F'lt равенство (54) сохранится и линия действия их равнодействующей R ' тоже пройдет через точку С. Такая точка называется центром параллельных сил и Ft.

Теперь рассмотрим систему параллельных и одинаково направ­ ленных сил Flf F .......... . Fn, приложенных к твердому телу в точках

86

Если каждую из сил системы поворачивать около точки ее при­ ложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то будут получаться новые системы одинаково направленных параллельных сил. с теми же модулями и точ-

г

гое направление. Покажем, что при всех таких поворотах линия действия равнодействующей проходит через одну и ту же точку С.

В самом деле, сложив сначала силы F* и Ft, найдем по формуле (54), 4Y0 их равнодействующая Ri (на рис. 104 не показана) будет всегда проходить через точку cit положение которой определяется равенст­

вом F.1'A1Ci=Ft -AiCi. Сложив затем силы Ri и F3, найдем, что их равнодействующая, являющаяся одновременно равнодействующей

сил Fu Ft, Ft, всегда проходит через аналогично определяемую точ­ ку с„ лежащую на прямой с,Л,, и т. д. Доведя этот процесс последо­ вательного сложения сил до конца, убедимся, что равнодействую­

щая R всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам A lt А ,, . . Ап, т. е. к телу, будет неизменным.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействую­ щей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил. Положение точки

С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы координат зависеть не будет. Возьмем поэтому произвольные коорди­ натные оси Охуг и обозначим в этих осях координаты точек: ^4! (jCi, Уи Zi), A t (xt, У>, г,)..........С(хс, Ус, *с)- Пользуясь тем, что от на­ правления сил положение точки С не зависит, повернем сначала

87

силы около их точек приложения так, чтобы они стали параллель*

ны оси Ог, и применим к повернутым силам F[, F't, . . ., F'n теорему

Вариньона. Так как /?' является равнодействующей этих сил, то по формуле (46), беря моменты относительно оси Оу, найдем, что

Rxc = FlXl + / > , + . . . + Fnxn==2 РкЧ-

Отсюда определим хс .

Для координаты у с аналогичную формулу найдем, беря моменты относительно оси Ох. Чтобы определить гс, повернем опять все силы, сделав их параллельными оси Оу, и применим к этим силам (изобра­ женным пунктиром с точками) теорему Вариньона, беря моменты относительно оси Ох. Эго даст.'

— Rzc = — F&i + (— Ftzt) + Fez„),

откуда определим zc.

Окончательно получим следующие формулы для координат цент­

где R определяется равенством (55).

Заметим, что формулы (55) и (57) будут справедливы и для па­ раллельных сил, направленных э разные стороны, если считать Fh величинами алгебраическими (для одного направления со знаком плюс, а для другого — минус) и если при этом R^O .

| 32. СИЛОВОЕ ПОЛЕ.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Область, в каждой точке которой на помещенную туда материаль­ ную частицу действует сила, зависящая от положения (координат) этой точки, называется силовым полем *. Примером силового поля является поле тяготения (поле сил притяжения к Земле иликлюботу другому небесному телу).

На каждую частицу тела, находящегося вблизи земной поверх­ ности, действует направленная вертикально вниз сила, которую называют силой тяжести (вопрос о том, что собой представляет сила

*Такое силовое поле взвывают, стационарным. Если же значения сил могут

еще изменяться с течением времени, поле называется нестационарным. Понятие о поле может быть введено и для других векторов, которые такое векторное поле образуют, например для скоростей или ускорений точек тела (см. § 48, 51).

88

ется с у в знаменателе. В результате из формул (59) получим)

Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины у не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются форму­ лами (60), называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело пред­ ставляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

= = (61)

где 5 — площадь всей пластины; sh — площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами (61), на­ зывают центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тя­ жести линии:

* с =27 ^ 1кхк' Ус = т 1< zc = ^ ^*г*« (62)

где L — длина всей линии; — длины ее частей.

По формулам (62) Можно находить центры тяжести изделий из тонкой проволоки постоянного сечения.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

§ 34. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ТЕЛ

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конк­ ретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. С и м м е т р и я . Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость сим­ метрии. Тогда этой плоскостью оно разбивается на две такие части, веса которых pt и р , равны друг другу, а центры тяжести находят­ ся на одинаковых расстояниях от плоскости симметрии. Следова­ тельно, центр тяжести тела как точка, через которую проходит

равнодействующая двух равных и параллельных сил pi и р 2, будет действительно лежать в плоскости симметрии. Аналогичный ре­ зультат получается и в случаях, когда тело имеет ось или центр симметрии.

Из свойств симметрии следует, что центр тяжести, однородного круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, прямо­ угольного параллелепипеда, шара и других однородных тел, имею-

90