Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил. Уравнение (21) выражает т е о р е м у об и з м е н е н и и к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я с и с т е м ы в и н т е г р а л ь ­

но й форме: изменение количества двиокения системыза некото­ рый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за т о т же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будет:

Q«*-Qo;=2sU = Qu-Q»=isu. (2i')

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­ жении центра масс. Так как Q=Mvc, то, подставляя это значение

в равенство (20) и учитывая, что di»c/d/=ac, получим Afac= 2FJ, т. е. уравнение (16).

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случа­ ях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (16) обычно пользоваться удобнее. Для. непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы. Важные при­ ложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. X X X I) и при изучении реактивного движения (см. § 1-14).

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например,, силы давления друг на друга частиц жидкости).

S 112. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, рав­ на нулю:

2/1 = 0-

Тогда из уравнения (20) следует, что при этом Q=const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих На систему, равна нулю, то вектор количества двиокения системы будетпостоя­ нен по модулю и направлению.

2. Пусть внешние силы, действующие ыа систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, Оле) равна нулю:

2 Л * = 0.

Тогда из уравнений (20) следует, что при этом Q*=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на

282

какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения си­ стемы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количествадвижения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить ко­ личество движения системы не могут. Рассмотрим некоторые при­ меры.

Я в л е н и е о т д а ч и и л и о т к а т а . Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить количество движения системы, равное до выстрела нулю. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направле­ нии. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Анало­

некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при от­ брасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответст­ вующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рас­ сматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

Р е а к т и в н о е д в и ж е н и е . В реактивном снаряде (ракете) газооб­ разные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из от­ верстия в хвостовой части ракеты (из сопла ракетного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и не могут изменить коли­ чество движения системы ракета — продукты горения топлива. Но так как вы­ рывающиеся газы имеют известное количество движения, направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость, направленную вперед. Величина этой скорости будет определена в § 114.

Обращаем внимание на то, что винтовой двигатель (предыдущий пример) сообщает объекту, например самолету, движение за счет отбрасывания назад частиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном пространстве такое движение невозможно. Реактивный же двигатель сообщает движение за счет от­ броса назад масс, вырабатываемых в самом двигателе (продукты горения). Дви­ жение это в равной мере возможно и в воздухе, и в безвоздушном пространстве.

При решении задач применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы все (или часть) заранее неизвестных сил сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон широко используется в теории удара.

Задача 126. Пуля массой т , летящая горизонтально со скоростью и, по­ падает в установленный на тележке ящик с песком (рис. 289). С какой скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с ящиком равна Ш

Р е ш е н и е . Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему. Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе лули о ящик. Сумма проекций приложенных к системе внешних сил на горизон­

тальную ось Ох равна нулю. Следовательно, Qx=const или Qix~Qox< гДе <?о—

283

количество движения системы до удара; Qt — после удара. Так как до удара тележка неподвижна, то Qex=mu.

После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую обозначим через о. Тогда Qix=(m+ М)и.

Приравнивая правые части выражений Qix и Qox, найдем

ти v~ (т-\- М)'

Задача 127. Определить скорость свободного отката орудия, если вес отка­ тымающихся частей равен Я, вес снаряда р, а скорость снаряда по отношению

ж каналу ствола равна 'в момент вылета и.

л

Р е ш е н и е . Для исключения неизвестных сил давления пороховых.газов рассмотрим снаряд и откатывающиеся .части как одну систему.

Пренебрегая за время движения снаряда в канале ствола сопротивлением

откату и силами Р, р и N , которые очень малы по сравнению с силами давления пороховых газов, вызывающих откат, найдем, что сумма приложенных к системе внешних сил равна ну^ю (рис 290; откатывающиеся вместе со стволом части ча

нем не показаны). Тогда Q= const и Qx=const, а так как до выстрела система неподвижна (Q0=0), то и в любой момент времени Qx—0.

Обозначим скорость откатывающихся частей в конечный момент через v. Тогда абсолютная скорость снаряда в этот момент равна й+v. Следовательно,

Qx=PvxlX+P(Ux+ = °-

Отсюда находим

Если бы была известна абсолютная скорость вылета снаряда и^, то в равенство (а) вместо ux+vx вошла бы сразу величина и ^ , откуда

Р“ *«х

V*-----р—

Знак минус в обоих случаях указывает, что направление v противоположно и. Подчеркиваем, что при вычислении полного количества движения системы

надо учитывать абсолютные скорости движения ее частей.

| 113*. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К ДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)

Рассмотрим установившееся течение жидкости. Установившимся называется течение, при котором в каждой точке области, занятой

жидкостью, скорости v ее частиц, давление р и плотность р не изме­ няются со временем. При такрм течении траектории жидких час­ тиц являются одновременно линиями тока, т. е. кривыми, в каждой точке которых касательные направлены так же, как скорости жид­ ких частиц, находящихся в данный момент времени ь этих точках.

284

Выделим в движущейся жидкости область, ограниченную линия­ ми тока, называемую трубкой тока (рис. 291, а; в случае движения в трубе это область, ограниченная стенками трубы). При устано­ вившемся течении через любое поперечное сечение трубки с пло­

движения Qla. В момент времени t+dt этот объем перейдет в поло­ жение 3—4, а его количество движения будет

со скоростью vu а в объем 2—4 — та же масса со скоростью vt. Тогда

dQ= Qs4— Qu = GcJP*— vl) dt и dQ/dt —Gc (vt— их).

Подставляя это значение производной в уравнение (20), получим

Равенство (23) выражает теорему об изменении количества дви­ жения для установившегося движения жидкости (или газа) в трубке

тока (или в трубе). Величину Gcv называют секундным количеством движения жидкости. Тогда теорему можно сформулировать так:

разность секундных количеств движения жидкости, протекающей через два поперечных сечения трубки тока (трубы ), равна сумме внешних сил, действующих на объем жидкости, ограниченный этими сечениями и поверхностью трубки тока (стенками трубы). Теорема позволяет при решении задач исключить из рассмотрения все внут­ ренние силы (силы взаимных давлений частиц жидкости в объеме

1-2).

В случае движения в трубе разделим действующие внешние си­

лы на главный вектор массовых сил (сил тяжести) F ы, действующих на все частицы жидкости, и главные векторы поверхностных сил:

R " — сил давления на жидкость со стороны стенок трубы (реакций

285

трубы), Я? и Я? — сил давления в сечениях 1 и 2 со стороны жид­

Равенство (23') выражает теорему, называемую теоремой Эйлера.

Задача 128. Д а в л е н и е . с т ру и . Струя воды вытекает из брандспойта со скоростью i>= 10 м/с и ударяет под прямым углом о твердую стенку (рис. 292). Диаметр вытекающей струи d= 4 см. Определить силу динамического давления на стенку.

Р е ш е н и е . Рассмотрим часть струи, заключенную между сечениями 1и 2, и применим к ней теорему, выражаемую равенством (23), проектируя обе его части на ось Ох. Учтя, что внешней силой, дающей проекцию на ось Ох, является

реакция R стенки и что Rx= —R . получим

Задача 129. По расположенному в вертикальной плоскости и изогнутому под углом а колену трубы длиной I и радиусом г течет вода со средней по сечению скоростью v (рис. 293). Определить полную силу давления воды на колено, если давления на входе и выходе из колена равны соответственно рх и ра.

Р е ш е н и е . Применим к объему ) —2 воды, заключенной в колене, урав­ нение (23') в проекциях на оси Ох и Оу. Внешними силами для этого объема будут

массовая сила (сила тяжести) rryg, силы давления Рх и Р г в сечениях 1 и 2 и сум­

марная реакция R стенок колена, имеющая составляющие Rx и R u. Тогда полу­ чим

Сс (vix — vlx) = R X+ P i cos а —Р г, \ Gt (vtl/—vlv)= R u — P1slna—mg. J

Так как в данном случае и1=и2=у, то 4,*= и cos a, «ix=o, .i>ij,=^-i>sin а, Vty—О. Кроме того, по формуле (22) Gc=pnr4i, где р — плотность воды; =р,лг*; P t=ptfirl , а масса воды в колене m=plnr2. Подставляя все эти величины в уравнения (а), найдем окончательно:

/?*=яг*[ро*(1—cos a)+ ps—pjcos а], /?„=л/-2(р Л т a+pjSin a+pgOСилы давления воды на колено трубы численно равны Rx и R u, но имеют проти­ воположные направления.

286

$ 114.* ТЕЛО ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. ДВИЖЕНИЕ РАКЕТЫ

В классической механике масса каждой точки или частицы систе­ мы считается при движении величиной постоянной. Однако в не­ которых случаях состав частиц, образующих данную систему или тело, может с течением времени изменяться (отдельные частицы мо­ гут отделяться от тела или присоединяться к нему извне); вследствие этого будет изменяться и суммарная масса рассматриваемого тела. Задачи, в которых имеет место подобное присоединение или отде­ ление единичных масс, нам уже встречались (см. выше задачи 126, 127 или задачу 86 в § 78). В этом параграфе будет рассмотрен другой практически важный случай, когда процесс отделения от тела или присоединения к нему частиц происходит непрерывно. Тело, масса М которого непрерывно изменяется с течением времени вследствие присоединения к нему или отделения от него материальных частиц, будем называть телом переменной массы. Для тела переменной массы

где F (t) — непрерывная функция времени.

Когда такое тело движется поступательно (или когда вращатель­ ная часть его движения не учитывается), это тело можно рассмат­

важном примере движения ракеты, считая ее точкой переменной массы. Обозначим относительную (по отношению к корпусу ра­

кеты) скорость истечения продуктов горения из ракеты через и.

Чтобы исключить силы давления, выталкивающие продукты горе­ ния, сделав эти силы внутренними, рассмотрим в некоторый момент времени t систему, состоящую из самой ракеты и частицы, отделяю­ щейся от нее в течение промежутка времени df (рис. 294). Масса ц этой частицы численно равна величине <Ш, на которую за время dt изменяется масса ракеты. Так как М — величина убывающая, то dM<0, и, следовательно, (x=|dAf|=—dM.

Уравнение (20) для рассматриваемой системы можно предста­ вить в виде

где Р — геометрическая сумма приложенных к ракете внешних сил. _

Если скорость v ракеты за время dtf изменяется на величину du, то количество движения рассматриваемой системы получает при

этом приращение Mdv. У частицы в момент t количество движения равно цу (она еще является частью тела), а в момент t+dt оно будет

287

ц(у+ы), так как частица получает дополнительную скорость и. Следовательно, за время dt количество движения частицы изменится

на величину ыц=—udM (поскольку ц=—dAf), а для всей системы

получится dQ=Mdy—udM. Подставляя это значение dQ в равенство (24) и деля обе его части на dt, найдем окончательно

Уравнение (25) представляет собой в векторной форме дифферен­ циальное уравнение двиясения точки переменной массы, называемое уравнением Мещерского.

Учитывая, что последнее слагаемое в правой части_(25) по раз­

мерности также является силой, и обозначая его через Ф, мы можем уравнение (25) представить еще в виде

Таким образом, реактивный эффект сводится к тому, что на ра­

кету при ее движении дополнительно действует сила Ф, называемая

реактивной силой.

Величина dM/dt численно равна массе топлива, расходуемого за единицу времени, т. е. секундному расходу массы топлива Gc.

Таким образом, если учесть знак, то

Отсюда следует, что

т. е. реактивная сила равна произведению секундного расхода массы топлива на относительную скорость истечения продуктов его сго­ рания и направлена противоположно этой скорости.

Н е к о т о р ы е д р у г и е с л у ч а и д в и ж е н и я т е л а пер е- ы е н н о й м а с с ы . Если рассмотреть движение тела, масса М которого с те­ чением времени вследствие непрерывного присоединения к нему частиц возрас­ тает (dAf/d/>0), считая это тело.тоже точкой переменной массы, а относительную

скорость присоединяющихся частиц обозначить по-прежнему и, то нетрудно про­ верить, что для такого тела уравнение движения сохранит вид (25) или (26), только

вуравнении (26), поскольку теперь dAf/dOO, будет

Ф= uGc.

Наконец, для тела, у которого одновременно происходит непрерывное от деление и присоединение частиц, в уравнении (26) получится

Ф =—uiGlc+ujOw,

где щ я иа — относительные скорости отделяющихся •И присоединяющихся чаотиц соответственно; 01с — отделяющаяся, а С*с — присоединяющаяся за се­ кунду масса.

288

Такой случай имеет, например, место для самолета, на котором установлен воздушно-реактивный двигатель, засасывающий воздух из атмосферы и выбра­ сывающий его вместе с продуктами горения топлива. Так как доля этих про­ дуктов в отбрасываемом воздухе очень мала (не превышает 2—3%), то здесь практически можно считать Gic—Gtc= Oc■Кроме того, очевидно, что относитель­

ная скорость присоединяемой массы воздуха и.г= —v, где v — скорость само­

лета. Тогда, полагая ы1=и, получим соответственно для вектора Ф и его мо­ дуля Ф значения:

Ф = — Gc(u-(-u), Ф — в с (и —у).

При определении модуля реактивной силы принято, что скорости v (самолета)

ии (отбрасываемого воздуха) направлены в прямо противоположные стороны. Формула справедлива и для гидрореактивного двигателя, создающего тягу

за счет засасывания и выброса воды.

Ф о р м у л а Ц и о л к о в с к о г о . Найдем, как происходит движение ракеты под действием только одной реактивной силы,

считая Р= 0, а относительную скорость истечения и постоянной. Направим координатную ось х в сторону движения (см. рис. 294). Тогда vx=v, их= —и и уравнение (25) в проекции на ось х, если в нем положить F'= 0, примет вид

Обозначим массу корпуса ракеты со всем оборудованием через М к, а всю массу топлива через М т. Тогда, очевидно, M t= M K+ M r, а масса ракеты, когда все топливо будет израсходовано, будет равна М к. Подставляя эти значения в равенство (28), получим формулу Циолковского, определяющую скорость ракеты, когда все ее топливо будет израсходовано (скорость в конце так называемого активного участка):

Строго этот результат справедлив в безвоздушном пространстве и вне поля сил. Из формулы (29) видно, что предельная скорость ракеты зависит: 1) от ее начальной скорости и0; 2) от относительной скорости истечения (вылета) продуктов горения и; 3) от относитель­ ного запаса топлива МТ1МК (число Циолковского). Очень интересен тот факт, что от режима работы ракетного двигателя, т. е. от того, насколько быстро или медленно сжигается все топливо, скорость ракеты в конце периода горения не зависит.

Важное практическое значение формулы Циолковского состоит в том, что она указывает возможные пути получения больших ско­ ростей, необходимых для космических полетов. Этими путями явля­ ются увеличение М 7/Мк, и и v0, причем путь увеличения и и и0 более эффективен. Увеличение и и М т/Мк связано с видом топлива и конструкцией ракеты. Применяемые жидкие топлива позволяют

получить ы=3000-г-4500 м/с. Но значения М х/Мк у одноступенча­ тых ракет таковы, что они не дают скоростей, необходимых для кос­ мических полетов (см. § 98). Получить необходимую скорость можно путем использования составной (многоступенчатой) ракеты, части (ступени) которой по мере израсходования содержащегося в них топлива автоматически отделяются от последней ступени, получаю­ щей в результате дополнительную (начальную) скорость.

Подобная многоступенчатая ракета была применена для запуска первых в мире советских искусственных спутников Земли (4 октяб­ ря и 3 ноября 1957 г.), а также при многочисленных пусках других космических объектов, в том числе кораблей, на которых совершают свои полеты космонавты.

Глава X X IV

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

§ 115. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Понятие о моменте количества движения для одной материальной точки было введено в § 85. Г лавным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного цент­

ра О называется величина К 0, равнаягеометрической сумме моментов

количеств движения всех точёк системы относительно этого центра *:

При этом К х, К и, К г представляют собой одновременно проекции вектора Ко на координатные оси.

В § 110 было отмечено, что количество движения системы можно рассматривать как характеристику ее поступательного движения. Из последующего будет видно, что главный момент количеств дви­ окения (кинетический момент) системы может рассматриваться как характеристика ее вращательного движения.

просто моментом количеств движения системы.

290