ные условия равновесия механической системы будут изложены в
§139 и 144.
2.Докажем, что условия (40') являются не только необходимы
ми, но и достаточными условиями равновесия для сил, действую щих на абсолютно твердое тело. Пусть на свободное твердое тело, находящееся в покое, начинает действовать система сил, удовлет воряющая условиям (40'), где О любая точка, т. е., в частности, и
точка С. Тогда уравнения (40) дают uc=const и /Cc=const, а так
как тело вначале было в покое, то vc —0 и К с ~ 0- При vc =0 точка С неподвижна и тело может иметь только вращение с угловой ско ростью со вокруг некоторой мгновенной оси С/ (см. § 60). Тогда по формуле (33) у тела будет K t—J Но K t есть проекция вектора
К с на ось С/, а так как /Сс—0. то и К,=0, откуда следует, чтои ш=0, т. е. что при выполнении условий (40') тело остается в покое.
3. Из предыдущих результатов вытекают, в частности, исходные
положения |
1 и 2, сформулированные в § 2, так как очевидно, что |
две силы, |
изображенные на рис. 2, удовлетворяют условиям (40') |
и являются уравновешенными и что если к действующим на тело силам прибавить (или от них отнять) уравновешенную систему сил, т. е. удовлетворяющую условиям (40'), то ни эти условия, ни урав нения (40), определяющие движение тела, не изменятся.
Глава XXV
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
8 121. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ
Кинетической энергией системы называется скалярная величина
Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы: |
|
Т = 2 ^ 1 / 2 - |
(4‘) |
Кинетическая энергия является характеристикой и поступатель ного, и вращательного движений системы. Главное отличие величи
ны Г от введенных ранее характеристик Q и Ко состоит в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и притом су щественно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих на правлений.
Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным на правлениям. По этой причине они, как мы видели, не изменяют век
торных характеристик Q и Ко- Но если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться и величина Т. Следовательно, кинетическая энер
гия системы .отличается от величин Q и Ко еще и тем, что на ее изме нение влияет действие и внешних, и внутренних сил.
Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел.
Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела
вразных случаях движения.
1.П о с т у п а т е л ь н о е д в и ж е н и е . В этом случае все точки тела движутся с.одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс. Следовательно, для любой точки vh=vc и формула (4.1) дает
T’noci = 2m*w£/2 = (2/л*) vb/2
или
Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат ско рости центра масс.
2. В р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е . Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Ог (см. рис. 295), то скорость любой его точки vk—o)ЛЛ, где hh — расстояние точки от оси вращения, а <о — угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (41) и вынося общие множители за скобки, получим
Твр= 2/п*(огЛ |/2= (2mkhl) ш’/2.
Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инер ции тела относительно оси г. Таким образом, окончательно найдем
т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3i П л о с х о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е *. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени-рас пределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпенди кулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 303). Следовательно, по формуле (43)
где J P — момент инерции тела относительно названной выше оси; <■) — угловая скорость тела.
Величина J p в формуле (43') будет переменной, так как положе ние центра Р при движении тела все время меняется. Введем вместо J P постоянный момент инерции / с относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 1.03) JP= J C+ +М<Р, где d—PC. Подставим это выражение для JР в (43'). Учиты-
* Этот случай может быть получен как частный из рассмотренного в следую* щем пункте общего случая движения твердого тела.
вая, что точка Р — мгновенный центр скоростей и, следовательно, (ad=<H'PC=vc , где vc — скорость центра масс С, окончательно найдем v
TBt0^ M v b l 2 + J ^ . |
(44) |
Следовательно, при плоскопараллельном двиясении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного дви жения вокруг центра масс.
4 * . О б щ и й с л у ч а й д в и ж е н и я . Если выбрать центр масс С тела в качестве полюса (рис. 304), то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного со скоростью
vc полюса и вращательного вокруг мгновенной оси СР, проходящей через этот полюс (см. § 63). Пр£ этом, как показано в § 63, скорость
vh любой точки тела Bh слагается из скорости vc полюса и скорости, которую точка получает при вращении тела вокруг полюса (вокруг
оси СР) и которую мы обозначим и*, т. е. Vk=Uc-|-t>*. При этом по модулю ui=o)/tk, где ft* — расстояние точки Bh от оси СР, а <о — угловая скорость тела, которая (см. § 63) не зависит от выбора по люса. Тогда*
vl = v\ = (vc + v’ky = iTfc + v? + 2vc -v'k.
Подставляя это значение vl в равенство (41) и учитывая, что vh—
=0>hh, найдем
Т= (2m*) vh/2 + (Zmkhl) ш*/2+ йс2т*и*,
где общие множители сразу вынесены за скобки.
В полученном равенстве первая скобка дает массу М тела, а вторая равна моменту инерции J cp тела относительно мгновенной
_ * Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что
v2= v v= m cos 0°= чг, т. e. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Этот результат здесь использован; мы будем пользоваться им без оговорок и в дальнейшем.
оси СР. Величина же Zmktf*=0, так как она представляет собой количество движения, получаемое телом при его вращении вокруг оси СР, проходящей через центр масс тела (см. § 110). I
В результате окончательно получим
Таким образом, кинетическая энергия тела в общем случае дви жения (в частности, и при плоскопараллельном движении) равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью цент ра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного двиокения вокруг оси, проходящей через центр масс.
Если за полюс взять не центр масс С, а какую-нибудь другую точку А тела и мгновенная ось АР при этом не будет все время про
ходить через центр масс, то для этой оси |
0 и формулы вида |
(45) мы не получим. |
|
|
Рассмотрим примеры. |
|
|
Задача 136. Вычислить кинетическую энергию катящегося без скольжения |
сплошного цилиндрического колеса массой М, если скорость его центра |
равна |
Vc (см. рис. 308, а). |
|
|
Р е ш е н и е . Колесо совершает плоскопараллельное движение. По |
фор |
муле (44) или (45) |
|
|
Г=м4/2+/с® */2. |
|
|
Считаем колесо сплошным однородным цилиндром; |
тогда (см. § 102) Jc= |
= MR*I2, где R — радиус колеса. С другой стороны, так |
как точка В является |
для колеса мгновенным центром скоростей, то Vc=o}-BC=ii>R, откуда <о=ч‘QIR. Подставляя все эти значения, найдем
7’= Alt»J/2+Af«>t'J/4/?> = (.3/4) Mv*c .
Задача 137. В детали А, движущейся поступательно со Скоростью ~й, име
ются направляющие, по которым со скоростью и перемещается тело В массой т. Зная угол а (рис. 305), определить кинетическую энергию тела В.
Я.
Р е ш е н_и е^_ Абсолютное движение тела В будет поступательным со ско ростью ti,6= iН-u (см. § 68). Тогда
Т = tftciJg/2 = m (v*+ и* + 2vu cos a)/2.
Заметим, что если тело совершает сложное движение, то его полная кинетиче ская энергия не равна в общем случае сумме кинетических энергий относительного и переносного движений. Так, в данном примере
Тот + Т'пер = mvl/2 + тиЧ2 Ф Т.
Задача 138. Часть механизма состоит из движущейся поступательно со
скоростью и детали (рис. 306) и прикрепленного к ней на оси А стержня А В длиной / и массой М. Стержень вращается вокруг оси А (в направлении, указан ном дуговой стрелкой) с угловой скоростью со. Определить кинетическую энергию
стержня при |
данном угле |
а . |
|
|
Р е ш е н и е . Стержень |
совершает |
сложное |
(плоскопараллельное) движе |
ние. По формуле (44) или |
(45) Т = |
Jc®42. |
Скорость точки С слагается из скорости у д = и |
и скорости vс а (или vor), мо |
дуль которой |
i'c,4=<i)//2. Следовательно (рис. 306), u ^ = u 2+ d c ^ + 2uuC/4Cos а . |
Угловая скорость вращения стержня вокруг центра С. такая же, как и вокруг конца А , так как ы не зависит от выбора полюса. Кроме того, в задаче 119 (см. §103) было показано, что JC=MP/12.
Подставляя все эти данные, получим
Т= М (u*+wV /4+«® f cos a)/2-f- М /2(о2/24= М u2/2 + М Р(о2/6+ (Mtau cos а)/2.
|
|
|
Заметим, |
что в данном случае нельзя считать |
|
Т = Гпост+ Гвр= Ми*12 + ] Аш*/2= Ми*/2 + MPafifi. |
Результат |
этот неверен, так как по доказанной теореме формула Т —Т’пост-НТ’вр |
справедлива только тогда, |
когда ось вращения проходит через центр масс тела, |
а ось А через центр масс |
не проходит. |
§ 122. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫ
Работа сил вычисляется по формулам, полученным в § 87 и 88. Рассмотрим дополнительно следующие случаи.
1. Р а б о т а с и л т я ж е с т и , д е й с т в у ю щ и х на с и с т е м у . Работа силы тяжести, действующей на частицу весом рк, будет равна pk (zkt—zkl), где zk„ и zhl — координаты, определяю щие начальное и конечное положения частицы (см. § 88). Тогда, учтя, что 2 ркгк= Ргс (см. § 32), найдем для суммы работ всех сил тяжести, действующих на систему, значение
А = 2p*z*0— Zpkzkl = Р (2С. — zCl).
Этот результат можно еще представить в виде
A —± P h c,
где Р — вес системы, hc — вертикальное перемещение центра масс (или центра тяжести). Следовательно, работа сил тяжести, дейст вующих на систему, вычисляется как работа их главного вектора
(в случае твердого тела — равнодействующей) Р на перемещении центра масс системы (или центра тяжести тела).
2. Р а б о т а с и л , п р и л о ж е н н ы х к в р а щ а ю щ е м у с я т е л у . Элементарная работа приложенной к телу силы
F (рис. 307) будет равна (см. § 87)
(М = Fx ds = Fxh dq>,
так как ds=/idq>, где dqp — элементарный угол поворота тела. Но, как легко видеть *, Fxh—mz (F). Будем называть величину
*Если разложитьF по направлениям Вт, ВС и Вг' (см. рис. 307), то mt (F)~
=m z (Fx), так как моменты двух других составляющих равны нулю.
M t —mt (F) вращающим моментом. Тогда получим |
i |
di4=M zdq>. |
(4(J) |
Следовательно, в рассматриваемом случае элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота. Формула (46) справедлива и при действии нескольких
сил, если считать Afl= 2 m l (Fh).
При повороте на конечный угол ф* работа
<PI |
|
А = | М , d<p, |
(47) |
о |
|
а в случае постоянного момента |
|
А = М м . |
(47') |
Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпен дикулярной оси Ог, то М г в формулах (46)—(47') будет, очевидно, означать момент этой пары.
Укажем еще, как в данном случае определяется мощность (см. § 87). Пользуясь равенством (46), находим
N = d A /d t= M z •d<p/dt=Mxu>.
Следовательно, при действии сил на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем больше, чем меньше угловая скорость.
|
|
|
|
|
Рис. 307 |
Рис. 308 |
3. |
Р а б о т а с и л т р е н и я , |
д е й с т в у ю щ и х н а к а |
т я щ е е с я |
те -л о . На колесо радиусом R (рис. 308), катящееся |
по некоторой |
плоскости. (пйверхностИ) |
без скольжения, действует |
приложенная в точке В сила трения Fтр, препятствующая скольже нию точки вдоль плоскости. Элементарная работа этой силы dA — = F ? ds*. Но точка В в данном случае совпадает с мгновенным цент-
ром скоростей (ель § 56) и vB=0. Так как |
dsB=t/Bd/, то dsB= 0 и |
для каждого элементарного перемещения |
d/l= 0 . |
Следовательно, при качении без скольжения работа силы трения, препятствующей скольжению, на любом перемещении тела равна нулю. По той же причине в этом случае равна нулю и работа нор
мальной реакции. N, если считать тела недеформируемыми в силу N приложенной в точке В (как На рис. 308, а).
С о п р о т и в л е н и е |
к а ч е н и ю |
создает возникающая вследствие де |
формации поверхностей (рис. |
308, б) пара |
сил N, Р, момент которой M = k N , |
где k — коэффициент трения качения (см. § 27). Тогда по формуле (46), учитывая, что при качении угол поворота колеса d<fi=dsc/R, получим
h
|
dA**4= — kNd{p = — -g-Ndsc, |
(48) |
уде dsc — элементарное |
перемещение центра С колеса. |
|
Если /V=const, то |
полная работа сил сопротивления качению |
|
|
Лк* '= — kNxpi = — — Nsc , |
(48') |
Так как величина k/R мала, то при наличии других сопротивлений сопро тивлением качению ■можно в первом приближении пренебрегать.
§ 128. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИКИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
Доказанная в §89 теорема справедлива для любой из точек си стемы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку си стемы с массой mh, имеющую скорость vh, то для этой точки будет
где йА‘к и 6А‘к — элементарные работы действующих на точку внеш них и внутренних сия. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что
d (2ткоЦ2) = Zd/1J + 2dА{
или
d r = Zd,4£ + 2 d /U . |
(49) |
Равенство (49) выражает т е о р е м у |
о б и з м е н е н и и |
к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и с и с т е м ы в д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й ф о р м е . Проинтегрировав обе части этого равен ства в пределах, соответствующих перемещению системы из неко торого начального положения, где кинетическая энергия равна То, в положение, где значение кинетической энергии становится равным 7\, получим
7 \ - Г в = 2 Л ; + 2М*. |
(50) |
Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ
на этом перемещении всех прилоокенных к системе внешних и внут ренних сил. I
Вотличие от предыдущих теорем внутренние силы в уравнениях
(49)или (50) не исключаются. В самом деле, если F{, и Fltl — силы
|
взаимодействия между точками Вх |
|
и Bj системы |
(рис. |
309), |
тЬ |
|
—/*”21=0. Но |
при |
этом |
точка Bi |
|
может перемещаться по |
направле |
|
нию к В», а точка |
Вг — по нап |
Рнс. 309 |
равлению к Вх. Работа каждой из |
сил будет тогда положительной и |
|
сумма работ |
нулем не будет. На |
пример, при выстреле (см. задачу 127 в § 112) силы давления поро ховых газов, являющиеся для системы снаряд — откатывающиеся части внутренними, совершают работу и сообщают скорости телам системы.
Рассмотрим два важных частных случая.
1. Н е и з м е н я е м а я с и с т е м а . Неизменяемой будем на зывать механическую систему, в которой расстояние между каж дыми двумя взаимодействующими точками остается во все время движения постоянным.
Рассмотрим две точки Bi и В, неизменяемой системы (В,Ва=
=const), действующие друг на друга с силами F{3 и F ^ = —Ff, (см. рнс. 309). Тогда, поскольку при движении отрезка BtBt долж но быть Vi cos a i—vt cos а , (см. § 55), то и dsx cos aj= d s, cos a „ так как ds!—Vidt, ds»=Pjd/ (vlt vt и dsb ds,—соответственно скоро сти и элементарные перемещения точек Вг и В,). Кроме того, F[s= = F tl‘ . В результате для суммы элементарных работ этих сил получим
d./41 + di41 = F^ds! cos otj—F^ds, cos a, = 0.
To же получится и для всех других взаимодействующих точек системы.’ В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой си стемы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (49) или (50) принимают вид
d r = 2 d ^ | и Г ,—Г0 = 2/1£. |
(51) |
2. С и с т е м'а с и д е а л ь н ы м и с в я з я м и . |
Рассмотрим |
систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со време нем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внут ренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (49) можно представить в виде
dT = ^d A ak+ HdArk,
где di4| — элементарная работа действующих на k-ю точку системы внешних и внутренних активных сил, ad А{ — элементарная работа
реакций, наложенных на ту же точку внешних и внутренних свя зей.
зов
Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии систе мы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выпол няться условие
2(М1 = 0. (52)
Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи являются идеальными *. Укажем ряд известных нам видов идеальных связей.
В § 89 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работа
реакции N равна нулю. Затем в§ 122 показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой
поверхности работа нормальной реакции N и силы трения Fтр (т. е. касательной составляющей реакции) равна нулю. Далее, работа
реакции R шарнира (см. рис. 10 и 11), если пренебречь трением, бу
дет также равна нулю, поскольку точка приложения силы R при любом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, если на рис. 309 материальные точки Вг и В, рассматривать как связан
ные жестким (нерастяжимым) стержнем BtB t, то силы Fi, и F nl будут реакциями стержня; pa6ofa каждой из этих реакций при перемеще нии системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанному дает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с уче том сделанных оговорок считать идеальными.
Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будет
dT = 2 АА\ и 7 \ — Т 0 = ЪА%. |
(53) |
Таким образом, изменение кинетической энергии системы с иде альными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.
Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохра нялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинети ческой энергии состоит в том, что при не изменяющихся со време нем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений дви жения все наперед неизвестные реакции связей.
Общее понятие об идеальных связях определено в § 139.
s 124. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Теорема об изменении кинетической энергии в случаях, когда движущаяся система является неизменяемой, позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при идеаль ных, не изменяющихся со временем связях — и наперед неизвест ные реакции внешних связей.
В случае изменяемой системы теорема дает решение задачи толь ко тогда, когда внутренние силы наперед известны. Если же эти силы не известны (задачи 123, 127 и им подобные), то получить ре шение с помощью одной только этой теоремы нельзя.
Уравнение (50) позволяет легко решать те задачи, в которых в число данных и искомых величин входят: 1) действующие силы; 2) перемещение системы; 3) скорости тел (линейные или-угловые) в начале и в конце перемещения. При этом действующие силы долж ны быть постоянными или зависеть только от перемещений (расстоя ний).
Важно также иметь в виду, что с помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно (когда положение системы определя ется одним параметром) составлять дифференциальные уравнения двиокения системы и, в частности, находить ускорения движущихся тел; при этом на систему могут-вообще действовать и любые перемен ные силы (см. задачи 141— 143 и задачу 154 в § 130).
Задача 139.* Стержень А В длиной / подвешен на шарнире в точке А (рис. 310). Пренебрегая трением в шарнире, найти, какую наименьшую угловую скорость <i>0 надо сообщить стержню, чтобы он отклонился до горизонтального положения.
Р е ш е н.и е. В число данных и искомых в задаче величин входят Шд, щ = 0 и перемещение системы, определяемое углом В^АВ^. Следовательно, для решения
задачи удобнее всего |
воспользоваться теоремой об изменении кинетической энер |
гии. Учитывая, что |
система не изменяема, составим уравнение (51) |
|
|
T1- T 0 = S4- |
<а> |
Обозначая массу стержня через М , вычислим все входящие в это уравнение величины. По формуле (43) и формуле (6) из § 102 находим
70 = / ий4/2 = Л1/*о4/6.
Так как в конечном положении скорость стержня равна нулю, то Т’|= 0 . Нало женная связь является идеальной (шарнир >4); следовательно, работу совершает
только активная сила P = M g и А * = —P h c = —Mgl/2. Подставляя все эти зна-
