Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B
.pdf
Це ¹ рiвняння неперервностi, яке опису¹ закон збереження густи |
||||||
сичною механ кою, де воно опису зак |
збереж ння речовини, |
|||||
або з клас чною електродинамiкою, де воно виража¹ збереження |
||||||
ностiймовiрностiiнте ральнiй ормi: |
|
ïîâíié à àëîãi¨ |
êëà- |
|||
íè |
Ç |
. Вигляд цього рiвняння ¹ |
||||
|
iв яння неперервнîñтi виплива¹ закон збереження ймовiр- |
|||||
елект |
è÷íèх зарядiв. |
|
|
|
|
|
мехзцiальнiйЦевимог,неперервнiкидивно,яку |
dt Z |
|ψ| dr = 0. |
|
|
||
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
õiäíèõормiрiвнянняповинностьоскiлькида¹ОтжзмîШрединзадовольнятигукусаменамцязрерарiвнiстьбити. Однакос дужовнебуларiважливийрiвнянняпокладенаквантово¨дèяксновокерендна- |
||||
|
|
|
|
|
частинки, |
|
âè àçó äëÿ |
j. А це приводить, як видно з явного |
|||||
росторовимие ших по , до вимог. |
е,неперерхвильовiностiункцi¨хвльових ункцiй |
¨õíiõ |
||||
|
|
j |
|
|
|
|
ï розривноюполiнезалежЗазiажимо,складноюрiвняннявiдункцi¹юоординатамиякщоповедiнкитпологi¹ю.ШрединЦiумовиотенцiально¨. иннiеравiдiграютьбутидля ненеп ðважливуервнимиi¨,тякщо¨хможепохiднiруха¹тьсярольункцiябутипрза- |
|||
розв'язуваннiми |
ψ(r |
t) |
|
хвиль |
óíêöiþ |
комплекснуψ дiйсноювеличинуункцi¹ю,в пто jазниковiй= 0. Зобразимоормi |
|
äå |
|
ψ = |ψ|e ϑ, |
|
ϑ аза хвильово¨ ункцi¨, тодi |
|
||
де швидкiсть |
j = ρv, |
|
|
~
Якщо частинка iз зарядомv = m grad ϑ.
полi,амiльтона,тооператор амiльтона, eякийзнахвiдповiда¹дитьсяелектромагнiткласичнiйуíомукцi¨
162 |
Hˆ = |
(pˆ − eA/c)2 |
+ eϕ, |
|
2m |
||||
|
|
|
падку:де A, ϕ векторний та скалярний потенцiали поля. У цьому ви-
|
∂t |
= |
|
∂t ψ + ψ |
|
∂t |
= i~ ψ Hψˆ − ψHˆ ψ |
|||||||||||||||||
|
∂ρ |
|
∂ψ |
|
|
|
∂ψ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
i~ (ψ |
|
2m |
|
|
|
ψ − ψ |
|
|
|
|
|
2m |
ψ ) |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
pˆ − ec A |
2 |
|
|
|
pˆ |
− ec A |
2 |
|
|||||||||
|
|
= |
1 |
|
nψ pˆ |
2ψ |
− ψpˆ 2ψ |
|
− |
e |
ψ (pAˆ + Apˆ)ψ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2mi~ |
|
c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
|
|
ψ(pˆ A + Apˆ )ψ o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
nψ pˆ |
2ψ |
− ψpˆ2ψ − |
e |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
ψ (pAˆ + Apˆ)ψ |
|||||||||||||||||||
|
|
2mi~ |
c |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
− |
|
|
ψ(pAˆ + Apˆ)ψ o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
pˆ |
|
|
ψ − ψpˆψ − |
|
e |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2mi~ nψ pˆ |
2 c ψ Aψo . |
|||||||||||||||||||||
Тут ми викорисòàëè умову поперечностi ïîëÿ, |
|
|
||||||||||||||||||||||
бачити,потокущомиймзнтиною îâiрностiуприх димо до рiвняння неперервностidiv A = 0. Легкозгус-
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
||
|
|
j = â å (ψ pˆψ ψpˆψ ) |
Aψ ψ. |
|||||||||||
Для частинки |
|
лектромагнiтному ïîлi у випадку, коли |
||||||||||||
|
|
|
|
2m |
|
|
− |
|
|
− mc |
||||
записана в показниковiй ормi, потiк |
|
|
ψ |
|||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|||
|
j = |
|
|
|ψ|2grad ϑ − |
|
A|ψ|2 = ρ v − |
|
A |
||||||
|
|
m |
mc |
mc |
||||||||||
|
вмикання= ρ |
|
− |
eA/c) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ò áòî |
|
|
|
поля зсува¹ iмпульс частинки |
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p на величину к(11*−îþeA. )/c, що цiлком узгоджу¹ться з класичною електродинамi163-
Ÿ 17. Змiна середнiх значень |
величин iз часом. |
Квантовi дужки |
à ñîíà |
тор озглянемо деяку iзичну величинiзичнихПу A вiдповiдний ¨й опера-
ˆ |
|
|
|
A. Середн¹ значення |
|
|
|
обчислимоозглянемопохiднутепер, |
çìiíþ¹òüñÿ öåˆ середн¹ iз часом. Для цього |
||
|
ÿêhAi = |
Z |
ψ (q, t)Aψ(q, t) dq. |
|
|
dt hAi = Z |
( ∂t Aψˆ |
+ ψ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∂t |
ψ + ψ Aˆ ∂t ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
∂ψ |
|
|||
ùî |
Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
âiä |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
= |
Z (− |
i~ |
|
(Aψˆ |
)Hψˆ + ψ |
∂t |
ψ + |
|
~ |
ψ AHψˆ ˆ |
) |
|||||||||||||||
|
|
|
(−ψ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ ˆ |
|
||||||||
= |
|
|
HA |
ψ + ψ |
∂A |
|
|
|
AH |
|
||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
∂t ψ + ψ |
i~ ψ) dq. |
|
|||||||||||||||||||
Уведемо оператор ïîõiäíî¨ çà ÷àñîì |
|
|
|
|
оператора |
|||||||||||||||||||||
середньому значенню |
âiä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора похiдно¨:A |
|||||||||||||||
|
|
|
|
c |
квантîâi |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ñåðdt hAi = * dt + , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тобто похiдна вiд |
|
åäóведеногонь знà÷ення величини |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dA |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|||||||||
Ìè âæå ðàíiøå ââîäèëè= |
|
∂t |
+ |
|
|
~ |
(дужкиAH HÏóàñA). îíà |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
1 |
|
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|||||||||||
Îòæå, ìà¹ìî: |
|
{A, H} = i~ |
(AH − HA). |
|
|
|
||||||||||||||||||||
dq
dq
ˆ
A такий,
äîðiâíþ¹
|
c |
|
ˆ |
{ |
|
} |
|
dA |
|
∂A |
ˆ |
ˆ |
|
164 |
dt |
= |
∂t |
+ A, H . |
||
Повна аналогiя з класичноþ ìеханiкою: для iзично¨ величини f = f (q, p, t) повна похiдна
å |
df |
= |
∂f |
+ {f, H}êë, |
|
|
|||
dt |
∂t |
äóæêàH =ПуассонаH(q, p, t)для величинкласична ункцiя амiльтона, а класична
|
|
|
f1 |
|
f2 |
|
|
|
|
|||
|
{f1, f2} = |
∂f1 ∂f2 |
− |
∂f2 ∂f1 |
||||||||
складенiКвантовi |
|
∂q |
∂p |
|
∂q ∂p . |
|||||||
|
здужкиермiтовихПуасоператорона дiiâ,¹ |
åðìiòîâèì îïåðатором, коли вони |
||||||||||
ÿê |
áóòè, îñêiëüêè âîíè |
|
описують реальний процес |
|||||||||
еволюцiюповинночасi iзичних величин. |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|||||||
|
|
ˆ ˆ |
} |
+ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
{A, H |
|
= {A, H}, |
||||||||
|
|
|
ˆ+ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|||
|
|
A |
|
= A, |
|
|
|
|||||
|
|
ˆ |
величин, |
|
|
|||||||
|
|
+ |
|
|
ˆ |
|
|
|
||||
|
|
H |
|
= H |
|
|
|
|||||
лежатьЯкщоявноiзичнавiдчасу,величинато A |
i вiдповiдний ¨й оператор ˆ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
õiäí |
A íå çà- |
||||||
|
dt |
|
{ |
|
h |
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
} |
|
|
||
|
|
dA |
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
те ралiвозглянеморуху,тобтоважливийiзичêëíèàñõ= A,içè÷H èõ. якiвеличин,зберiгаютьсакзванихячасом:iн- |
||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h i = 0, |
|
|
|
ïîA |
= const¨, для. того щоб величи- |
||||||
|
d A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яка видно з означення |
оператора |
|
|
|
|
|
|
|
||||
íóëåâi:A була iнте ралом руху, дужка Пуассона повинна дорiвнювати
|
ˆ |
ˆ |
|
|
{A, H} = 0, |
|
|
мiльтонiаном,Iнакше кажучи,то |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
à-, |
|
якщоцяiзичнаоператорAHвеличина− HAiзично¨= ¹0.iнтевеличиниралом рухукомуту¹.Зокремз165г |
||
ÿêùî ˆ
раторHенер залежить явно вiд часу (консервативна система), а опе-
ˆ
тобтосу,.ЗакIснуваннПричиноювеличину,¹мичзамкнено¨якуНаслiдкомДiйсно,Hоператоронднорiднiстьзавждиднзбецього,ÿiзично¨рiд,еженняоскiлькизберiгтого,íтеiстькомутуяксистемищоàчасубачимлiв¹тьспросторуiмпульсувсiоператор.рухуясамЗмоменти.уваги,недовiльний¹iзвiдображзмiнюютьсзаконознача¹,собою,иплива¹амiльчасуцюзбережа¹вектодлящооператоромзмiнюватисьднорiднiстьйогопевнупридне¨орiднязсувахсередн¹¹алежитьперемiщееквiвалентсиметрiюостiвластивостiчасуi¨тонiанзначення,простору1.явсистеíимисисвiдде.
епоякiвсхронологiвйстосупричомуреважнощоань1авок,ек H |
|
iìïó |
ˆ |
|
темижучи,який визнача¹якцiлго¨¨ властбудь-востi,який не повинен |
a гамiль.Iнакше каH-, |
|||
ˆ |
|
виявилось, |
|
|
H мусить |
омутувати з |
змiщення |
||
ˆ |
a |
= e |
~ apˆ |
|
T = e |
|
|
||
операторде a ïîñòiéíèé âåêò ð, pˆ оператор iмпульсу. А це означа¹, що
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íдиц.ихьЗокм,зпеавторiвàуватиторичнприклад,пiзнiшðåеродотама,iмнею,íèõпипедеце- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перенесенччужихiсторi¨виявля¹ться, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
|
|
|
äàòèТакiiмпульс.причетностi¹МiжьсязсувивибулисторичнихдориторичнихНачалIсторикишим,нас¹вiдшука¹iнтеомуту¹часiдiйшлиантичнихпроблемацЕвклiданашiйподiй,¹анiраломтворiвпитзлишеаннямякепооператоромавхронологi¨:рухуòЦiцеронапраiсторi¨ворiвдавньпереписанiВiдродженнязаймило,2саме.Архiмеда,.датиВiдомо,всдодособiнас,iншихцихНьютон,цейщольсупрацьаборукописiвст.частвориУщобезпосередск.зв'язкустиснувши,Отже,батькрукнеобхiдноантописиперiо |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
îãî |
|
|
м сполошив тр дицiй |
||||||||||||
íà ï |
|
ядок час життя Ст |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
. |
епох. досi неарожуть |
|
|
ðàäè ç öèìè |
|
|
|
ÿìè ò |
|||||||||
вi сво¹¨ еврист |
|
¨ |
концепцi¨ |
|
|
|
™гиптушопричåð |
ííî ñòâî |
ено¨ кiлькос |
||||||||||||
|
Першим, хто висловив iдею про закон зб еження кiлькостi |
óõó í |
|
ñ |
|||||||||||||||||
|
|
терi¨ з ¨¨ рухом |
ñïîê ¹ , |
|
. Декарт (1596 1650), iнту |
|
èâíî â |
|
|
||||||||||||
èâøè öþ âåëè÷ |
|
як добут |
швидк |
íà |
|
|
è iзично¨ |
систем . За |
|||||||||||||
Äåê ðòîì, |
|
|
ì๠ëèøå |
|
áóâ |
|
|
|
протяжнiсть, |
|
îìó |
|
|
; å |
|||||||
винайшовстискуваннямипривоЛяйбнiцiмпульсуньматерiяоговинупроувiвнепорозумiнь,íàï ÿìîçìið,швидкнезмiнностiавластивiстькiлькiстьрозмiртерi¨ чи масу |
òiëà |
m |
|||||||||||||||||||
йшлос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
÷å i 1695),щедиладинслiджуючий iнте ралцюрухупроблемудонеправильних. процесЦя початкзiткненняозберiгâа розмиджа¹тьсòi. Хстьл,.попутâþéîçíàå îñ |
|||||||||||||||||||||
(1629 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
€. Â. |
|
|
|
(1646 1716). Драматична2 iñòîðiÿ,æèâó |
илущо , як пiзнiшея ¨¨ назвав |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
166 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv ֏ |
|||
|
ми мали твердження: якщо два |
|
|
омутують |
||||
ßêùî çáåðiã |
iзичнi величини, |
|
|
якихункцiйне омуту- |
||||
собою, то вони мають спiльну систему |
власнихз |
i âiä |
||||||
ìiæå, iíòå |
àëè |
руху вимiрюються |
|
i¹ю системи. |
||||
повiданiшеiзичнi величини можуть бути |
дночас |
|
âèìiðÿíi. Îò |
|||||
ють, то стан ¹ виродженим. Справдi, |
õ é ìè |
|
äâi içè÷íi |
|||||
|
|
, |
îï |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
величини A аютьсякимB |
вiдповiдаютьдночаснооператориоператориAìà¹ìîB. За умовою |
|||||||
симитема¹моˆ власнимиˆ двi рiзнi ункцiямисистемиˆ ˆ влгамiльснихтонiанаункцiйˆ ˆ |
. Функцi¨ |
|
||||||
Тобтоункцiя,х |
[A, H] = 0, |
[B, H] = 0, |
|
[A, B] |
6= 0. |
îáîõ |
||
|
|
енерю виродженняенерi¨ i¨ вiдповiда¹.Прикладомбiльше монiжˆпераж.Отже,днабутивласнаодноiль |
||||||
нийму власномурух частинки:тобтоз чена¹мо |
|
|
|
H |
|
|||
з рiзними |
|
|
2 |
|
|
|
лоских х |
èëü |
апрямками вектораp /2miмпульсувiдповiда¹ безлiч |
||||||||
|
ðiмпульсунiйозглянемiжатнеормiсобоювтародженрiвняння.момедновимiрномутузумовленерухукiлькостiдляпросторi:координатиiснуваннямруху,заумви òдвохаори=iмпульякихonstiнте-. |
|||||||
сунеЦералiвкбезмежНарешомутуютьопераруху:iок |
|
|
p |
|
|p| |
|
||
mv |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
ñòîëiòòмiркуваннями, спостерiг |
|
|
|
||||||
|
xˆ˙ = |
xH |
− Hx |
pˆ˙ = |
pˆH − Hpˆ |
, |
||||
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
ˆ |
pˆ2 |
|
|
|
pˆ = − ~ |
∂ |
|
|
|
|
H = 2m + U (x) |
|
∂x |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
òвеличиосвiту)теоретичнимиi,ривала(1773немайжерухупокизаквинайш,..тобто1829)омìЯкПригоназвумiстичнимиайжолодовелибеззаперечдийкислено¨узагтепердиннiмецький1841вживо¨альненнямище.iзя,ельтворцiвранiшевеимиа¹мо,оцiпокисилиозно¨гольцзакондослiдамилiкаруз'ясувалось,хвильi,прокровiособливо,1807(1821ундамезбереждовжувались.ово¨Ма¹рроцiлюдиднорiдностi(вiн1894),теорi¨енняДжмолодийщ(1814мавцих.аючиййакПсвiтрiзнихлишесправдiобох.перетворення1878)Äæпросторузанастулiкарнг)великих.домашнютемпературнихлiйськийДольдивольма¹мо(1818кiнцяза÷àñóîñâiòîþ,îìзаконiвдваенер,лiкарiнже1889)спрайXIXвiíàäi¨ |
|||||||||
нернусво¨мивуТрiзноманiтними(апрацьовано¨умовах,столiте.Юнцiйрали2поруцим, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
збереження ¹ простий i зрозумiлий принцип |
|
|
|
.167 |
||||||
|
|
pˆ˙ = −i~ ∂x i~, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂U |
|
|
|
|
|
|
|||
Отже, система |
ˆ |
1 |
|
2 |
2 |
|
pˆ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
− pˆ x) = m . |
|
|
|||||||
|
x˙ = 2im~ (xpˆ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
pˆ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∂U |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xˆ˙ = m , |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
велотрзвано¨аналог |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∂x |
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p˙ = |
|
|
|
|
|
|||||||
èчинму¹мотеовiдповiднðемиiвняньзкласЕренèчнихмиамiльтонаŸ 18еста:операторами.рiвняСтацiонква. íÖiüòîâàðíiормаль.вняiвiíстаниняянíiоюястановлятьрухузамiноюдляоперазмiстiзичнихорiвтак |
|||||||||||||||
Стани, у яких енер iя ма¹ певнi значення, |
зивають стацiо- |
||||||||||||||
нарними танами. Як уж вказувалось, якщо на |
|
íå äiþ ü |
|||||||||||||
Нехай ми ма¹моçìiííèõхвильове рiвняííÿ |
|
|
|
|
ÿ. |
||||||||||
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
рiвняннi,систему |
òî |
|||
зовстдi¹ iшнi ñèëè, òî {H, H}åð= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
анизаконзпевнимизбережензíà÷ÿåíнями¨. Уей ерхвильовомунерi¨,iязмiн¹íтеi раломроздiляютьсщоху,опису¹тоб |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
t |
|
Для роздiлення |
|
|
∂ψ(q, t) |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
||
|
~ застосó¹ìî= Hψметод(q, t).Ôóð'¹: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор амiльтона |
ψ(q, t) = ϕ(t)ψ(q). |
|
|
||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
H не залежить вiд часу, тому |
|
||||||||||||
àáî
168
~dϕ(t) ˆ
i dt ψ(q) = ϕ(t)Hψ(q),
ˆ
i~ ϕϕ˙ = Hψψ ,
де крапка означа¹ повну похiдну час м. Лiва частина цього
рiняiвнiстьдорiвнюютьянняочевидно¹ункцi¹юсталiйвикону¹ться,лишевеличинi,часуякщоякуt, заправамилiвапознаi праватiлькичимочастиничерезкоординатрiвнянq-.
E:
i~ ϕϕ˙ = E,
ˆ
першого рiвнянняотримузнахHψäèìî(q) = Eψ(q).
−iEt/~
оператораЗ д уг ¨ умовиер i¨ми ϕ¹ìî= Ceрiвняннянабувати. власнi значе ня для
ˆ
ïåâñШрединзповинноистемиарiвнянняи,оюма¹мо.енербути,ераЦеí.рiвнянняаi¹юхвильовуТакимзначення,власнiH. чином,Велзначенняназиваютьякiункцiю,чинаможедописуючитаEтакякмвласнi¹жопису¹змiстiндекси,ацiонарнимункцi¨енерстацiонарнiщоiя,i¨гамiльто.визнаОтже,нумеруютьрiвнястанича¹моiанаякнямз
|
|
En: |
|
|
|
Система |
|
óíêöié ˆn |
− |
n |
|
|
|
|
ψ (q, t) = e |
iEnt/~ψ (q), |
|
|
|
ψn(q, t) ¹ повною, i будь-яка ункцiя |
|||
|
|
|
Hψn(q) = Enψn(q). |
||
|
|
|
|
X |
|
вiрностiа личина |
|
ψ(q, t) = |
Cne−iEnt/~ψn(q), |
||
|
|
|
|
n |
|
iíòåÇðобимоалрiзнихтепер2значеньдорiвню¹,кiлькаенерзауваженьзгiдноi¨.з.принципомДлядискретнихсуперпозицi¨,станiвiсну¹iмо- |
|||
|Cn| |
|
|
|
це означа¹, |
Z |
|ψn(q, t)| dq = Z |
|ψn(q)| dq = 1 |
|
ùî |
2 |
2 |
|
|
|
|
Iншими¹знксловами,ючемалоюiмовiрнiстьтi ψ (q) достатньочастинкперебуванняруха¹тьсяшвидкочастинкиспада¹вобмеженонанабезбезмежносежностiуоб'¹мi169-.
n
Висновок: якщо частинка руха¹ться в обмеженiй д |
|
просто |
|
|||||||||
ðó ( iíiòíèé ðóõ), òî ¨¨ ðiâ |
ер i¨ ди етнi, вони ква туються. |
|||||||||||
Навпаки, у випадку неперерв |
îãî |
спектра |
хвильовiëÿíöió êöi¨ íîð |
|||||||||
|
|
(ií iíiò |
q) |
iìîâiðíiñòüé iíòå ðàë íå iñíó¹: |
R |
|ψE (q)| |
2 |
dq = |
∞. Öå |
|||
òПричиною ψE |
||||||||||||
означа¹,муютьсящона δ- óíêöiþ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
взагалiнеобмежеперервнимiтногорнiнти¹змдiявiнлише.енжностiУполяспонåлекенiйрспазбуi¨. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
цiонязгодомвза¹на¹кв |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
вакуумному |
|
|||
|
|
|
|
напружспада¹якщотоколирiвеенеромiпоказу¹лишеквадратичнiчастинкрештназнайтиюванняь,ннямиетичнийбезмежностiвипромiнюючидеякийдосвiд,частинкурухелектромагквазiсвiтласпектрчас,а¹тьсактичноабо |
|
|
||||||
iлянцiа¹,дмiннаеномуСтацiонарнимийi,перехтакиматомастанвiдстанiневизнаспонтдитьатомно¨чиляульом,ий.станом,слабоОтже,овимиперебува¹рух),нижнiйгосистеми, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
анронiв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
джнов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хоча середнi |
÷ ííÿ |
е остей по |
|
ó |
|
|
ñò |
|
||||
нi дорiвнюють |
|
÷åíî тей,ереднiв дмiн |
âiä íóëÿ. |
|
ÿ, |
|
|
|||||
óë âi, |
|
|
вiдхилен |
ïîäié |
||||||||
|
Òóò ìè òîðê |
¹ìîñü ïèò |
|
необоротностi iзичних |
||||||||
няiззущо ψ íà ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||
принципучасi.та iвняння Шредин ераання¹оборотним у час : замiнаунаслiдокt ( t) ïсрукестрiнелюсâцатинийåíамивипромiненозв'язуванняетичнийполеêальних.i¨ласатомаВнесення.зiстацiонарнихПризалиша¹розв'iйтакдачстацiонарзкiвнеоборотностiпереведетон,муквантово¨йогорiвняннявiдборiблукаючинезмiннимйогоiв,механiки,розв'язкiврiвнянняШрединзновуознача¹,якщоВсес.Отже,¨хзбудженийераiтом,Шрединнеявнощодляоскiлькивоновiдбира¹тьсзаносибiльшесистемиприпуска¹власнiеранеможаннiк.цезначеняолитеорiюалишеопиься,омидна-
E
енерою,курсуяк изнача¹n спектр,квантнизкувомех¹ найважливiшоюiншиханiчнихвластивоистем,iзичноюанами,ей,або, якхвилькажуараковiòь,ункцi¨¨хнiйтиери
ψяннядляце170тережуванихукупностей,ивностi(рiвнянняq)рiзноманiтндозпрднвипромiнювасвяченаоляютьчастдопуска¹iмовiрностiвеличихнокзнрозрахзаданахточний,нядженнюiнших.овуватиперехЗрозумiло,поглинанняпросторовуаналiтичний.Фактичнодiврозв'язкiвнемiжлишещосвiтструктурунебiльшаðîçâ'ÿçîêсереднiлаiвндлннявсiхчастиназокреперерiзизначення.ШрединатопотенцiалiвЗìкiлькомашогоiнтенрозсiñерапо¨х-
n
ак ми задачами, що мають |
|
÷íèé ðîçâ'ÿçîê, |
ознайомимось |
|||||
ò наступних, акi, як теорiя збур нь та |
варiацiйний принц |
ï. |
|
|||||
ó |
|
|
роздiлах. Для iнших за ч розвинеìо наближенi |
|||||
|
|
На рiв яння Шредин |
ìî |
дивитись по- |
|
. À ñàìå, |
||
ц альну енер |
iю. Так постерановкжнапитан я у класичнiй |
механiцi |
||||||
âiдповiда¹ обчисленню сили чи |
потенцiалу за вiдомою тра¹кторi |
|||||||
|
но да¹ змогу за вiдомою хвильовою у кцi¹ю знахiншомудити потен |
|||||||
¹þ |
озгляньмо, наприклад, рух |
дновимiрному прос- |
||||||
|
( îðìó Áiíå). |
|
|
|
|
|||
зна¹мо,торiчастинкиоординатою x у силовомуназиваютьчастинкиполiпотенцiальноюсновним |
åíåð i¹þ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
èìй ,i хвильовуйанîго.Нагада¹мо,хвильовастаномункцiющоункцiя.основЯкстанминез- |
||
|
|
|
зв'язкуер роi¨основджеíèö |
|
|
|||
|
|
|
íå |
|
|
|
|
|
|
говузлiвстануоснов. Вiзьмiмо(дивийченням.Ÿ10)стандо.¹Уувагие |
|
|
|
|
|
||
Uма¹айнижчим= U (x) |
|
|
|
|
|
|
||
т му запису¹моψ = ψ¨¨(xàê:) завжд |
можна вибрати дiйсною додатною, |
|||||||
|
|
|
|
ψ = ceu, |
|
|
||
íÿ,c якесталавиплива¹нормування,зiстацiонарногодляункцi¨рiвнянняu = u(Шрединx) знаходимоера рiвнян-
− ~2 ψ′′ + U ψ = Eψ,
2m
Eнатоюенер iя основного стану, а шт их оз ача¹ похiдну за коорди- x. Отже, для u ма¹мо таке ðiâíÿííÿ:
Îñêiëüêè ó êöiÿ |
− |
~2 |
[u′′ + (u′)2] + U = E. |
|||||
2m |
||||||||
енерякщоiю. за умовою задана, |
|
|||||||
òåíöiÍàльнуприклад, |
u |
|
|
|
|
|
то звiдси й знаходимо по- |
|
|
|
|
u = −ax2, a > 0 то наше рiвняння ¹ таким: |
|||||
çâiäñè |
~2 |
(a − 2a2x2) + U = E, |
||||||
|
m |
|||||||
|
|
|
~2 |
a, |
171 |
|||
|
|
|
|
|
E = |
|
||
|
|
|
|
|
m |
|||