Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Перейдемо до визначення поняття оператора. Оператором ˆ

називають рецепт, за яким за заданою ункцi¹ю

f

iíøó óíêöiþ

ψ(x) çíàõ äÿòü

ϕ(x):

ˆ

середнiх значень

ко рдинатиЯкбуло показано ранiше,ϕ(x) =äëÿfψ(обчисленняx).

величиниp ,

hpi, i âçагалi, замiсть середн¹позначення iзично¨

ψ(x), необхiдно викона

такi операцi¨:

hxi = Z

ψ (x)xψ(x)dx,

äå ñèìâ ëîì

hpi = Z

ψ (x)pψˆ (x)dx,

pˆ − ~d/dx

льсуДом

pˆ

опишемови осьпозначенопропоначення:операцiюзамiстьдиеренцiюваннясередн¹ значення=

iìïó-.

операцiю усередненняf , пишемо hâfñòàíii. З iншого бо

у, введемо атематичну

приклад,q сукупнiстьмивжемалиçìiííèõ, на яких задана хвильова ункцiя. На

дужками

ψ, ÿêó

êîæ

÷èìо кутовими

або рискою

h. . . = Z

ψ (q)(. . .)ψ(q)dq

å

(. . .) = Z

ψ (q)(. . .)ψ(q)dq,

ñередн¹ знàчення в анi

ˆ

A àêèé, ùî ¨¨

ψ(q) äîðiâíþ¹:

конуватисьЗiставленнязквантово¨урахуваннямпринципами102 hA = Z

ψ (q)Aψ(q)dq.

Операт ри, що задовольняють цю умову, називають

ими, або ермiтовими. В iнте ральнiй ормi умова самоспряже-

íостi може бути записана у виглядi:

еренцiюванняозгляньмодекiлькˆ транспонованийприкл дiв. Отже,ˆнехай задано оператор

äè

Z ψ1 (q)Aψ2

(q)dq =

Z ψ2(q)

Aψ1(q)

dq.

Знайдiмо спочатку

, знайти

+.оператор. М ¹мо

ˆ

ˆ

A = d/dx

A

Z

d

iнте ру¹мо частинàìè

o

ϕ1(x)

n

ϕ2(x)dx =

dx

ϕ2(x) dx ϕ1(x)dx.

деннiницяхПрипуска¹ться,виразуобластiдляiнтещо

=

− Z

d

оператораруваннявнесоквiддорiвню¹iмпульсу)добуткунулевi.хвиОтже,ëüî(яквихце булоункцiйпринавивегра-

g

d

d

dx

= −

dx

,

d

+

d

d

g

тором:Таким чином, оператîð äè åðåíöiювання

не ¹ ермiтовим опера-

dx

=

dx = −dx .

пульсуНаступний приклад dx

6=idx .

оператор iм-

d

+

d

îïåратор ìïульсу. Задано

знайтиМа¹моспряжений операторpˆ.= −i~

d

,

dx

g

d

d

p˜ˆ = −i~

d

104

dx

= i~

dx

,

pˆ+ = p˜ˆ

= −i~

dx

;

+

ЦiвинноОтже,операторизгляньмобутиоператордлязадаютьсщеiмпульсуiзично¨акязванiрiвностями:величини¹самоспряженимpˆоператори= p.ˆ. породженняоператором,iзнищенняякiпо-.

(íàïриклад,

ˆ+

ψN

√

ˆ

√

b

= N + 1 ψN +1,

bψN

= N ψN −1

-

деермiтовим:лазерi)нняйОчевидно,операторами,-частинок¹дномуiншими.хвильоваЧастинки,щой.хвильовiтомназиваютьóщонкцiяжописуютьквантовомуункцi¨бозонамитотожнихоператориакимистанiабочастбозехвльовиминок,породження-частинкамищоперебуваункцiяотони.зниДля

щмивютьψN

N

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

математично¨+, оператор числа частинок

+

¹

ˆ

+

b

6= b

N

= b

b

ˆ

iйнимисампроцесинадспроператорами.мо.Спостережяжточки(якутьениминазоруисуватисьриклад,(ермi.валькваовими)íтоваiвiртувеличининеермiтовимиальнемеханiкоператонапреда-

оператордженнямиставляюце .теорiяВисновокНеспостережувальозглянемоьслiми,знищення.iйлiNЗднактеперихiй=операторiвимиNëi.äi¨îòîíiâ)

Наприклад,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(A

± B)ψ = Aψ ± Bψ.

ˆ

ˆ

−i~

d

à ñóìà

A = x,

B = pˆ =

dx

,

(αx + pˆ)ψ = αxψ(x) − i~

dψ(x)

,

α = const.

105

dx

ˆ ˆ

˜ ˜

ˆ ˆ

AB =

BA,

g

або остаточно

ABˆ ˆ

= Bˆ Aˆ ,

g

ˆ ˆ

+

+

+

Якщо оператори ¹ самоспряженими,(AB) = B

Aòî .

дермiтовiермiтовимоператори.Дiйсно,неˆçàêˆознамутуютьченняˆ ˆ ìiæñàìîбою,спряженостi,то¨хдобуток

неЯкщобу

+

= BA.

(AB)

ˆ ˆ +

ˆ ˆ

З iншого боку, за означенням(ABспряженостi) = AB. оператора,

тобто, щоб

ˆ ˆ

+

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

+ +

виконувалась перша рiвнiсть, необхiдно:

(AB) = B A

= BA,

4

ˆ ˆ

ˆ ˆ

AB = BA.

ми Опера. Аí орисимеi(ABòричний−BA)/äîá2, ùîóтокутвоiз множеннений åðìÿiтовимим на . оператора-

Äëÿ◦. Сидвохметризованийермiтових операторiвдобуток ермiтовихсиметризованийоператорiвдобуток.

ˆ ˆ

(AB+

ˆ ˆ

BA)/2 ¹ ермiтовим оператором. Справдi,

1

ˆ ˆ ˆ ˆ +

1

ˆ+ ˆ+

ˆ+

ˆ+

1

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

(A5B+BA) =

2 (B A +A B

) =

2

(BA + AB) =

2 (AB + BA).

◦

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ, ˆ

A B, òакож ¹ ермiтовим оператором:

i

+

i

i

2 (ABˆ ˆ − BAˆ ˆ)

= −2 (BAˆ ˆ − ABˆ ˆ) = 2 (ABˆ ˆ − BAˆ ˆ).

107

i îòæå,

Aˆ = (Aˆ + Aˆ+)/2 + i

Aˆ − Aˆ+ /2i,

äå

ˆ

ˆ

ˆ

A = B + iC,

ˆ

ˆ

ˆ+

ˆ

ˆ+

ермiтовi7 операториB = (A +. A )/2,

C = (A

− A )/2i

. Оберне ий оператор

−1 до оператора

ˆ.

За означенням,

ˆ

◦

A

A

ßêùî

AAˆ ˆ−1 = Aˆ−1Aˆ = 1.

операторакий

ˆ

унiтарнимˆ

оператором. Унiтарний

+

1

,

ма¹операторважливуназиваювластивiсть:A = A−

Z |Aψˆ (q)|2 dq = Z (Aψˆ (q)) Aψˆ (q) dq

тобто8 вiн збер га¹ н рму хвильово¨ˆ ˆ

óíêöi¨.

2

= Z

+

Aψ(q) dq = Z

|ψ(q)|

ψ (q)A

dq,

Функцiя вiд

îпе атора

ˆ

Ïiä.

óíêöi¹þ

◦

A.

ˆ

лора за степенямиf (A) розумi¹мо розклад ункцi¨ f (x) ó ðÿä Òåé-

x iç çàìiíîþ x

íà

ˆ

A:

f ′′(0)

f ′′′(0)

Як бачимо,f (Aˆ)öå=означенняf (0) + f ′(0)вимага¹Aˆ + àíàëiòè÷Aˆ + íîñòi Aˆóíêöi¨+ . . . .

2

3

2!

3!

108

f = f (x).

Ÿ 9. Власнi ункцi¨

власнi значення операторiв

à ¨õ

iнтерпретацiя

âèìiðþâ

hA

значесередi лише¹ь багатократA. Êiëüêiñíоюе характеристик¨х дастьоювiдхиленьнамiн виорìiрюванихàöiþ ïðî,

ан яко¨ченяопису¹тьсiзично¨ченнямхвильвелчиниовою ункцi¹юдляде-

кванйвономи ¨вимiрю¹мосистеми, стiзична

A

ÿêî¨Íåõ

ψажучи,(q). Ïîñòà

значеннязнами отр ма¹мо? Загалом

имоне питання:збiга¹тьсяякесереднiм

A

У кожному

повторенняматимемоˆ

деякi вiдхилення вiд

àêòi

hA

=

Z

ψ (q)Aψ(q)dq.

h

Ai = 0.

d

вiдхилення

розрахункуA вiдвведемоhAi ¹ операторсередн¹квадратичневiдхилення

вiдхилення. Для

éîã

A

hA

òàê ùî

ˆ

ˆ

:

A = A

− hAi,

h d

i

Z

Середн¹ квадратичне

:d d

2

d

2

Z

(

d

(q)

A Aψ(q)dq.

Використа¹моA) =самоспряженiстьψ (q)( A) ψ(qоператора)dq = ψ

h

i

Z

Z

A

|

d

d

d

|

d

2

=

( Aψ(q))(

Aψ(q)) dq = d(

Aψ(q))

2

dq.

Íà

öåé( виразA)

можна мати два погля

. Якщо нам вiдомий стан

ψäîðiâíþ¹(личиниq), то ми можемо обчислити середн¹

åiзичнихвiдоiстаниA. Ми також можемо знахоäèти за цi¹ю ормулою

àêi

Саме другийнувенехайëевiичин.погдержу¹моляд,дляiвiдповiякихприñтьвимiрюванняхнамнаквадратичнепитання,. якiâiäõèëçíà÷åííÿ

Îòæå,

ψ(q)

h(d

i

або в явному виглядi:

(

A)2

= 0

Z

Aψ(q)) 2 dq = 0.

109

d

Оскiльки пiд iнте ралом додатна величина, то цю умову можна

записати так:

àáî

Aψ(q)

= 0,

d

A1, A2, Сукупнiсть.називають. .

þòü âëàñíèми значеннями оператора ˆ

Ó ñòàíi

ˆ

ˆ

(A

− hA )ψ(q) = 0.

личини ψ(q), який задовольня¹ це

iâíÿ

ня, значення iзично¨ ве-

ˆ

A точно дорiвню¹ сво¹мусередньому значенню hA . Тому

надалi будемо пускати символˆ

îãî:

вiльнихУзагальномузначень випадкуAψöå(q)ðiâíÿí= Aψ(qÿ).ì๠ðîçâ'ÿçîê íå äëÿ äî

Aутворювати,лишедля

ïåâíèõ A1, A2, . . . .

неперерв

Сукупнiсймождåякому iнтервалiк. дискретВеличивласнимий яд значень, ак

A1, A2, . . .

значенням нкцi¨

чином,A вiдповiднi цим власним

ратора

ψ1(q),

ψ2(q), . . .

óíêöiÿìè îïå

ˆ.

власних значень оператора

ˆ власнi зна-

записатиоператораувиглядi:.Такимü

рiвняння

ченняспектромможнаA цього

íàA

дповiдають

власних ункцiй:

ажучи,

An

ìèöåψnäà¹(áóq). ßêùî ñò

аступнийψ(q) 6= ψn(q)

дi говорÿть, що це власне значення

ψn1, ψn2,

. . .

ψns. Ò -

Число

An ¹ виродж змежнократненимs- .

вернякийможíемось.бутитеперй

вироПджs

добезмежним,вимiрюваннятобтоiзично¨ма¹мовеличиниá

íi

повертA ст

,

íå çáiãà¹òüñ

власними ункцiями оператора

ˆ

ßêáèψ(q)

A.

умови,то кдеможне вимiрювання д вало б

äíå é òåæ

ψ(q) = ψn(q)

¹ìî

An

що вiдповiдьсляотримувати,кжноговимiрювання ми

à-

системувимiрюваннязастан

110значенняактi

. ßêi? Íà

узагпостулаталi, кто в. к жномурiзнi

чення,

хараПостулаттеризу¹тьс. Вимiрюваннясво¨м опернатоператорад слiдiм iзично¨ в личини A, ùî

iç ñóêупностi власних значень

ˆ

, . . .

A, дають значåííÿ A1 A2

ˆ

Iн ше кажучи, вимiрювання величиниA.

àêраздаютьiзсукупностiрiзнii,взагалi кажуч , щоразвiншiстанiзна спектромв але

операторiв,кн женму

A

ψ(q)

вiдповiдно¨,ьсящоераторiв.координати,¨хнiтiльки!переконатись,хвилявласнiзбiг¨мудеТобтоа¹тьсквантовiйiзично¨Бройлязначенняiмпульсу,яспектрщозiвеличинивласноюмехдаютькiнеæi--

атинимиютьмi.вимiрюваньча¹тьсiмпульсузакийзiстоператорамиенеравляюзмiстiй¹. плоскаЛегк

Ìè

òîðà

Самезначеньвжрезуцимпотенцiально¨оперщознмспостережувальнихвизнаанiй

тично¨вможлцiливихункцi¹юдовiльному.Оператори

A1, A2

, . . .

óíêöi¹þ

pr

Справдi, дiючи безпосередньо

оператором iмпульсу

ψp(r) = Cíàexpíå¨ ~ .

беручи похiднi за координатами, ма¹мо:

pˆ, тобто

також ¹ i

pˆψp(r) = pψp(r).

енерЦя i¨:ункцiя

власною

оператора кiнетично¨

pˆ

2

p2

ïðямкуичомуiмпульсуоскiльки

значення енер i¨

не залежить вiд на

âëàñíåψp(r) =

ψp(r)

2m

2m